1. (2025·江苏南京模拟)下列函数中,是二次函数的为 (
A.$ y = 3x $
B.$ y = -\dfrac{2}{x} $
C.$ y = x^{2} + 4 $
D.$ y = x^{2} - x(x + 1) $
C
)A.$ y = 3x $
B.$ y = -\dfrac{2}{x} $
C.$ y = x^{2} + 4 $
D.$ y = x^{2} - x(x + 1) $
答案：1. C
2. 下列说法中,正确的是 (
A.在二次函数中,自变量的取值范围是非零实数
B.在圆的面积公式 $ S = \pi r^{2} $ 中,$ S $ 是关于 $ r $ 的二次函数
C.函数 $ y = \dfrac{1}{2}(x - 1)(x + 4) $ 的常数项为 $ -4 $
D.在函数 $ y = 1 - \sqrt{2}x^{2} $ 中,一次项系数为 $ 1 $
B
)A.在二次函数中,自变量的取值范围是非零实数
B.在圆的面积公式 $ S = \pi r^{2} $ 中,$ S $ 是关于 $ r $ 的二次函数
C.函数 $ y = \dfrac{1}{2}(x - 1)(x + 4) $ 的常数项为 $ -4 $
D.在函数 $ y = 1 - \sqrt{2}x^{2} $ 中,一次项系数为 $ 1 $
答案：2. B
3. 若函数 $ y = (2 - a)x^{2} - x $ 是关于 $ x $ 的二次函数,则 $ a $ 的取值范围是 (
A.$ a \neq 0 $
B.$ a \neq 2 $
C.$ a ＜ 2 $
D.$ a ＞ 2 $
B
)A.$ a \neq 0 $
B.$ a \neq 2 $
C.$ a ＜ 2 $
D.$ a ＞ 2 $
答案：3. B
易错警示
在二次函数的表达式中，二次项系数不为0.
易错警示
在二次函数的表达式中，二次项系数不为0.
4. 给出下列关于 $ x $ 的函数: ① $ y = 6x^{2} $; ② $ y = -3x^{2} + 5 $; ③ $ y = 200x^{2} + 300x + 500 $; ④ $ y = x^{2} + \dfrac{1}{x} $; ⑤ $ y = x^{3} + 2x + 1 $; ⑥ $ y = (x + 1)^{2} - x^{2} $. 其中是二次函数的有
3
个.答案：4. 3
解析：
①$y = 6x^{2}$，是二次函数；
②$y = -3x^{2} + 5$，是二次函数；
③$y = 200x^{2} + 300x + 500$，是二次函数；
④$y = x^{2} + \dfrac{1}{x}$，不是二次函数；
⑤$y = x^{3} + 2x + 1$，不是二次函数；
⑥$y = (x + 1)^{2} - x^{2}=2x+1$，不是二次函数。
是二次函数的有3个。
②$y = -3x^{2} + 5$，是二次函数；
③$y = 200x^{2} + 300x + 500$，是二次函数；
④$y = x^{2} + \dfrac{1}{x}$，不是二次函数；
⑤$y = x^{3} + 2x + 1$，不是二次函数；
⑥$y = (x + 1)^{2} - x^{2}=2x+1$，不是二次函数。
是二次函数的有3个。
5. (教材 P7 练习 2 变式)若一个梯形的上底是 $ x $ cm,下底是 $ 8 $ cm,高是 $ (2x + 1) $ cm,则该梯形的面积 $ y $(cm²)与上底 $ x $(cm)之间的函数表达式是
$y=x^{2}+\frac{17}{2}x+4$
.答案：5. $y=x^{2}+\frac{17}{2}x+4$
解析：
梯形面积公式为 $ y = \frac{1}{2} × (上底 + 下底) × 高 $。
已知上底是 $ x \, \mathrm{cm} $，下底是 $ 8 \, \mathrm{cm} $，高是 $ (2x + 1) \, \mathrm{cm} $，代入公式得：
$\begin{aligned}y &= \frac{1}{2}(x + 8)(2x + 1) \\&= \frac{1}{2}(2x^2 + x + 16x + 8) \\&= \frac{1}{2}(2x^2 + 17x + 8) \\&= x^2 + \frac{17}{2}x + 4\end{aligned}$
$ y = x^2 + \frac{17}{2}x + 4 $
已知上底是 $ x \, \mathrm{cm} $，下底是 $ 8 \, \mathrm{cm} $，高是 $ (2x + 1) \, \mathrm{cm} $，代入公式得：
$\begin{aligned}y &= \frac{1}{2}(x + 8)(2x + 1) \\&= \frac{1}{2}(2x^2 + x + 16x + 8) \\&= \frac{1}{2}(2x^2 + 17x + 8) \\&= x^2 + \frac{17}{2}x + 4\end{aligned}$
$ y = x^2 + \frac{17}{2}x + 4 $
6. 已知关于 $ x $ 的函数 $ y = (m^{2} - m)x^{2} + (m - 1)x + 2 - 2m $.
(1) 若这个函数是二次函数,求 $ m $ 的取值范围;
(2) 若这个函数是一次函数,求 $ m $ 的值;
(3) 这个函数可能是正比例函数吗? 为什么?
(1) 若这个函数是二次函数,求 $ m $ 的取值范围;
(2) 若这个函数是一次函数,求 $ m $ 的值;
(3) 这个函数可能是正比例函数吗? 为什么?
答案：6. (1)因为函数$y=(m^{2}-m)x^{2}+(m-1)x+2-$ $2m$是二次函数，所以$m^{2}-m\neq0$，所以$m\neq0$且 $m\neq1$.故$m$的取值范围是$m\neq0$且$m\neq1$.
(2)因为函数$y=(m^{2}-m)x^{2}+(m-1)x+2-$ $2m$是一次函数，所以$m^{2}-m=0$且$m-1\neq0$，所 以$m=0$.
(3)不可能.理由如下:若函数$y=(m^{2}-m)x^{2}+$ $(m-1)x+2-2m$是正比例函数，则$m^{2}-m=0$， $2-2m=0$且$m-1\neq0$，这样的$m$不存在，所以这 个函数不可能是正比例函数.
(2)因为函数$y=(m^{2}-m)x^{2}+(m-1)x+2-$ $2m$是一次函数，所以$m^{2}-m=0$且$m-1\neq0$，所 以$m=0$.
(3)不可能.理由如下:若函数$y=(m^{2}-m)x^{2}+$ $(m-1)x+2-2m$是正比例函数，则$m^{2}-m=0$， $2-2m=0$且$m-1\neq0$，这样的$m$不存在，所以这 个函数不可能是正比例函数.
7. 已知函数 $ y = (1 + m)x^{m^{2} - 2m - 1} $ 是关于 $ x $ 的二次函数,则 $ m $ 的值是 (
A.$ 2 $
B.$ -1 $ 或 $ 3 $
C.$ 3 $
D.$ -1 \pm \sqrt{2} $
C
)A.$ 2 $
B.$ -1 $ 或 $ 3 $
C.$ 3 $
D.$ -1 \pm \sqrt{2} $
答案：7. C
解析：
要使函数$ y=(1 + m)x^{m^{2}-2m - 1} $是关于$ x $的二次函数，需满足：
1. 指数$ m^{2}-2m - 1 = 2 $，即$ m^{2}-2m - 3=0 $，因式分解得$(m - 3)(m + 1)=0$，解得$ m = 3 $或$ m=-1 $；
2. 系数$ 1 + m\neq0 $，即$ m\neq - 1 $。
综上，$ m = 3 $。
C
1. 指数$ m^{2}-2m - 1 = 2 $，即$ m^{2}-2m - 3=0 $，因式分解得$(m - 3)(m + 1)=0$，解得$ m = 3 $或$ m=-1 $；
2. 系数$ 1 + m\neq0 $，即$ m\neq - 1 $。
综上，$ m = 3 $。
C
8. 新趋势 情境素材 在下列 $ 4 $ 个不同的情境中,两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有 (
① 设正方形的边长为 $ x $,面积为 $ y $,$ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系;
② 2024 年巴黎奥运会男子篮球小组赛分为 $ 3 $ 组,每组都有 $ x $ 支球队,同组内每两支球队之间都要比赛一场,小组赛阶段比赛的总场数 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系;
③ 设正方体的棱长为 $ x $,表面积为 $ y $,$ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系;
④ 一辆汽车以 $ 120 $ km/h 的速度匀速行驶,汽车行驶的路程 $ y $(km)与行驶时间 $ x $(h)之间的函数关系.
A.$ 1 $ 个
B.$ 2 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 4 $ 个
C
)① 设正方形的边长为 $ x $,面积为 $ y $,$ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系;
② 2024 年巴黎奥运会男子篮球小组赛分为 $ 3 $ 组,每组都有 $ x $ 支球队,同组内每两支球队之间都要比赛一场,小组赛阶段比赛的总场数 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系;
③ 设正方体的棱长为 $ x $,表面积为 $ y $,$ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系;
④ 一辆汽车以 $ 120 $ km/h 的速度匀速行驶,汽车行驶的路程 $ y $(km)与行驶时间 $ x $(h)之间的函数关系.
A.$ 1 $ 个
B.$ 2 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 4 $ 个
答案：8. C 解析:两个变量所满足的函数关系属于二次函 数关系的是①②③，有3个.