9. 二次函数 $ y = 3x - \dfrac{1}{2}x^{2} $ 的二次项系数是
$-\frac{1}{2}$
,一次项系数是3
.答案：9. $-\frac{1}{2}$ 3
10. 使二次函数 $ y = x^{2} - 5x - 6 $ 的值为 $ 0 $ 的 $ x $ 的值是
6或$-1$
.答案：10. 6或$-1$
解析：
解：令 $ y = 0 $，则 $ x^{2} - 5x - 6 = 0 $
因式分解得 $ (x - 6)(x + 1) = 0 $
解得 $ x = 6 $ 或 $ x = -1 $
6或$-1$
因式分解得 $ (x - 6)(x + 1) = 0 $
解得 $ x = 6 $ 或 $ x = -1 $
6或$-1$
11. 如图,矩形的长是 $ 4 $ cm,宽是 $ 3 $ cm. 如果将长和宽都增加 $ x $ cm,那么矩形的面积增加 $ y $ cm².
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式;(不要求写出自变量 $ x $ 的取值范围)
(2) 当 $ x $ 的值为多少时,矩形的面积增加 $ 8 $ cm²?
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式;(不要求写出自变量 $ x $ 的取值范围)
(2) 当 $ x $ 的值为多少时,矩形的面积增加 $ 8 $ cm²?
答案：11. (1)由题意，得$y=(4+x)(3+x)-4×3=x^{2}+$ $7x$.故$y$与$x$之间的函数表达式为$y=x^{2}+7x$.
(2)把$y=8$代入$y=x^{2}+7x$，得$x^{2}+7x-8=0$， 解得$x_{1}=1,x_{2}=-8$(不合题意，舍去)，所以当$x$ 的值为1时，矩形的面积增加$8\mathrm{cm}^{2}$.
(2)把$y=8$代入$y=x^{2}+7x$，得$x^{2}+7x-8=0$， 解得$x_{1}=1,x_{2}=-8$(不合题意，舍去)，所以当$x$ 的值为1时，矩形的面积增加$8\mathrm{cm}^{2}$.
12. 某药店选购了一批消毒液,进价为每瓶 $ 10 $ 元,在销售过程中发现,每天销售量 $ y $(瓶)与每瓶售价 $ x $(元)之间存在一次函数关系(其中 $ 10 \leqslant x \leqslant 21 $,且 $ x $ 为整数). 当每瓶消毒液售价为 $ 12 $ 元时,每天销售量为 $ 90 $ 瓶;当每瓶消毒液售价为 $ 15 $ 元时,每天销售量为 $ 75 $ 瓶.
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式;
(2) 设该药店销售该消毒液每天的销售利润为 $ w $ 元,当每瓶消毒液售价为多少元时,药店销售该消毒液每天销售利润最大,最大利润是多少元?
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式;
(2) 设该药店销售该消毒液每天的销售利润为 $ w $ 元,当每瓶消毒液售价为多少元时,药店销售该消毒液每天销售利润最大,最大利润是多少元?
答案：12. (1)设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b$.把 点$(12,90)，(15,75)$分别代入$y=kx+b$，得 $\begin{cases}12k+b=90,\\15k+b=75.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-5,\\b=150.\end{cases}$所以$y$与$x$之间的 函数表达式为$y=-5x+150(10\leqslant x\leqslant21$，且$x$ 为整数).
(2)由题意，得$w=(x-10)(-5x+150)=-5x^{2}+$ $200x-1500=-5(x-20)^{2}+500$.因为$-5＜0$， 所以当$x=20$时$,w$取最大值,且最大值是500.故 当每瓶消毒液售价为20元时,药店销售该消毒液每天销售利润最大,最大利润是500元.
(2)由题意，得$w=(x-10)(-5x+150)=-5x^{2}+$ $200x-1500=-5(x-20)^{2}+500$.因为$-5＜0$， 所以当$x=20$时$,w$取最大值,且最大值是500.故 当每瓶消毒液售价为20元时,药店销售该消毒液每天销售利润最大,最大利润是500元.
13. 新素养 几何直观 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle BAD = \angle ACB = 90^{\circ} $,$ AB = AD $,$ AC = 4BC $. 设 $ CD = x $,四边形 $ ABCD $ 的面积为 $ y $,则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式是 (
A.$ y = \dfrac{2}{25}x^{2} $
B.$ y = \dfrac{4}{25}x^{2} $
C.$ y = \dfrac{2}{5}x^{2} $
D.$ y = \dfrac{4}{5}x^{2} $
C
)A.$ y = \dfrac{2}{25}x^{2} $
B.$ y = \dfrac{4}{25}x^{2} $
C.$ y = \dfrac{2}{5}x^{2} $
D.$ y = \dfrac{4}{5}x^{2} $
答案：13. C 解析:过点$D$作$DE⊥ AC$于点$E$，则 $\angle DEA=\angle DEC=90^{\circ}$，所以$\angle DAE+\angle ADE=$ $90^{\circ}$.因为$\angle BAD=\angle ACB=90^{\circ}$，所以$\angle DEA=$ $\angle ACB,\angle DAE+\angle BAC=90^{\circ}$，所以$\angle ADE=$ $\begin{cases}\angle DEA=\angle ACB,\\\angle BAC.在\triangle DAE和\triangle ABC中，\begin{cases}\angle ADE=\angle BAC,\\AD=BA,\end{cases}\end{cases}$
所以$\triangle DAE\cong\triangle ABC$，所以$AE=BC,DE=$ $AC$.设$AE=BC=a$.因为$AC=4BC$，所以$DE=$ $AC=4a$，所以$CE=AC-AE=3a$，所以$CD=$ $\sqrt{DE^{2}+CE^{2}}=5a$.因为$CD=x$，所以$5a=x$，所 以$a=\frac{1}{5}x$.因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC· AC=2a^{2}$， $S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC· DE=8a^{2}$，所以$y=S_{\mathrm{四边形}ABCD}=$ $S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}=10a^{2}=\frac{2}{5}x^{2}$.故$y$与$x$之间的函 数表达式是$y=\frac{2}{5}x^{2}$.
所以$\triangle DAE\cong\triangle ABC$，所以$AE=BC,DE=$ $AC$.设$AE=BC=a$.因为$AC=4BC$，所以$DE=$ $AC=4a$，所以$CE=AC-AE=3a$，所以$CD=$ $\sqrt{DE^{2}+CE^{2}}=5a$.因为$CD=x$，所以$5a=x$，所 以$a=\frac{1}{5}x$.因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC· AC=2a^{2}$， $S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC· DE=8a^{2}$，所以$y=S_{\mathrm{四边形}ABCD}=$ $S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}=10a^{2}=\frac{2}{5}x^{2}$.故$y$与$x$之间的函 数表达式是$y=\frac{2}{5}x^{2}$.
14. 若菱形的两条对角线长的和为 $ 36 $ cm,则该菱形的面积 $ S $(cm²)与其中一条对角线的长 $ x $(cm)之间的函数表达式为
$S=-\frac{1}{2}x^{2}+18x$
,其中自变量 $ x $ 的取值范围是$0＜x＜36$
.答案：14. $S=-\frac{1}{2}x^{2}+18x$ $0＜x＜36$ 解析:由题意，得 $S=\frac{1}{2}x(36-x)=-\frac{1}{2}x^{2}+18x$.因为$x＞0$且 $36-x＞0$，所以自变量$x$的取值范围是$0＜$ $x＜36$.
解析：
$S=-\dfrac{1}{2}x^{2}+18x$；$0＜x＜36$
15. (2025·江苏苏州模拟)如图,正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 4 $ cm,动点 $ P $,$ Q $ 同时从点 $ A $ 出发,以 $ 1 $ cm/s 的速度分别沿 $ A \to B \to C $ 和 $ A \to D \to C $ 的路径向点 $ C $ 运动. 设运动的时间为 $ x $ s,由 $ P $,$ B $,$ D $,$ Q $ 四点确定的图形的面积为 $ y $ cm²,求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式.
答案：15. 由题意，得$x$的取值范围是$0\leqslant x\leqslant8，AB=AD=$ $BC=CD=4\mathrm{cm}，\angle A=\angle C=90^{\circ}$.分类讨论如 下:①当$0\leqslant x\leqslant4$时，$S_{\mathrm{四边形}BPQD}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle APQ}$且$AP=AQ=x\mathrm{cm}$，则$y=\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}x^{2}=$ $-\frac{1}{2}x^{2}+8$;②当$4＜x\leqslant8$时，$S_{\mathrm{四边形}BPQD}=S_{\triangle BCD}-$ $S_{\triangle CPQ}$且$CP=CQ=(8-x)\mathrm{cm}$，则$y=\frac{1}{2}×4×4-$ $\frac{1}{2}(8-x)^{2}=-\frac{1}{2}(x-8)^{2}+8$.综上所述$,y$与$x$之 间的函数表达式为$y=$ $\begin{cases}-\frac{1}{2}x^{2}+8(0\leqslant x\leqslant4),\\-\frac{1}{2}(x-8)^{2}+8(4＜x\leqslant8).\end{cases}$
解析：
解：由题意，得$0\leqslant x\leqslant8$，正方形$ABCD$边长为$4\,\mathrm{cm}$，$\angle A=\angle C=90°$。
①当$0\leqslant x\leqslant4$时，$AP=AQ=x\,\mathrm{cm}$，
$y=S_{\mathrm{四边形}BPQD}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle APQ}$
$=\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}x^2=-\frac{1}{2}x^2+8$。
②当$4＜ x\leqslant8$时，$CP=CQ=(8-x)\,\mathrm{cm}$，
$y=S_{\mathrm{四边形}BPQD}=S_{\triangle BCD}-S_{\triangle CPQ}$
$=\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}(8-x)^2=-\frac{1}{2}(x-8)^2+8$。
综上所述，$y$与$x$之间的函数表达式为
$y=\begin{cases}-\frac{1}{2}x^2+8 & (0\leqslant x\leqslant4),\\-\frac{1}{2}(x-8)^2+8 & (4＜ x\leqslant8).\end{cases}$
①当$0\leqslant x\leqslant4$时，$AP=AQ=x\,\mathrm{cm}$，
$y=S_{\mathrm{四边形}BPQD}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle APQ}$
$=\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}x^2=-\frac{1}{2}x^2+8$。
②当$4＜ x\leqslant8$时，$CP=CQ=(8-x)\,\mathrm{cm}$，
$y=S_{\mathrm{四边形}BPQD}=S_{\triangle BCD}-S_{\triangle CPQ}$
$=\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}(8-x)^2=-\frac{1}{2}(x-8)^2+8$。
综上所述，$y$与$x$之间的函数表达式为
$y=\begin{cases}-\frac{1}{2}x^2+8 & (0\leqslant x\leqslant4),\\-\frac{1}{2}(x-8)^2+8 & (4＜ x\leqslant8).\end{cases}$