1. 新素养 推理能力 若点 $ A(-1,y_1) $，$ B(\frac{1}{2},y_2) $，$ C(1,y_3) $ 都在二次函数 $ y = ax^2(a ＜ 0) $ 的图像上，则 $ y_1 $，$ y_2 $，$ y_3 $ 之间的大小关系为(
A.$ y_1 ＞ y_2 ＞ y_3 $
B.$ y_1 = y_3 ＞ y_2 $
C.$ y_1 ＜ y_2 ＜ y_3 $
D.$ y_1 = y_3 ＜ y_2 $
D
)A.$ y_1 ＞ y_2 ＞ y_3 $
B.$ y_1 = y_3 ＞ y_2 $
C.$ y_1 ＜ y_2 ＜ y_3 $
D.$ y_1 = y_3 ＜ y_2 $
答案：1.D
解析：
∵二次函数$y = ax^2(a ＜ 0)$，
∴抛物线开口向下，对称轴为$y$轴，
∵点$A(-1,y_1)$，$B(\frac{1}{2},y_2)$，$C(1,y_3)$，
∴点$A$与点$C$关于$y$轴对称，
∴$y_1 = y_3$，
∵$\vert -1\vert = 1$，$\vert \frac{1}{2}\vert = \frac{1}{2}$，且$1 ＞ \frac{1}{2}$，
又
∵抛物线开口向下，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小，
∴$y_1 = y_3 ＜ y_2$。
D
2. 给出下列关于函数 $ y = 3x^2 $ 和 $ y = -3x^2 $ 的图像的说法：
① 它们都是抛物线；
② 它们都是轴对称图形；
③ 它们的顶点相同，对称轴也相同；
④ 它们关于 $ x $ 轴对称.
其中正确的有(
A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
① 它们都是抛物线；
② 它们都是轴对称图形；
③ 它们的顶点相同，对称轴也相同；
④ 它们关于 $ x $ 轴对称.
其中正确的有(
A
)A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
答案：2.A 解析：在同一平面直角坐标系中分别画出函数$y = 3x^{2}$和$y = - 3x^{2}$的图像(图略)，观察图像可知①②③④都正确.故其中正确的说法有4个.
$·$易错警示$·$
二次函数$y = ax^{2}$与$y = - ax^{2}$的图像关于$x$轴对称.
$·$易错警示$·$
二次函数$y = ax^{2}$与$y = - ax^{2}$的图像关于$x$轴对称.
3. 已知二次函数 $ y = (2 - a)x^{a^2 - 3a - 2} $，在其图像对称轴的左侧，$ y $ 随 $ x $ 增大而减小，则 $ a $ 的值为
-1
.答案：3.$-1$
解析：
因为函数是二次函数，所以$a^2 - 3a - 2 = 2$且$2 - a \neq 0$。
解方程$a^2 - 3a - 2 = 2$，即$a^2 - 3a - 4 = 0$，因式分解得$(a - 4)(a + 1) = 0$，解得$a = 4$或$a = -1$。
又因为$2 - a \neq 0$，所以$a \neq 2$，故$a = 4$或$a = -1$。
二次函数对称轴为$y$轴，在对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，说明抛物线开口向上，即二次项系数大于$0$。
当$a = 4$时，$2 - a = 2 - 4 = -2 ＜ 0$，不符合；当$a = -1$时，$2 - a = 2 - (-1) = 3 ＞ 0$，符合。
所以$a$的值为$-1$。
解方程$a^2 - 3a - 2 = 2$，即$a^2 - 3a - 4 = 0$，因式分解得$(a - 4)(a + 1) = 0$，解得$a = 4$或$a = -1$。
又因为$2 - a \neq 0$，所以$a \neq 2$，故$a = 4$或$a = -1$。
二次函数对称轴为$y$轴，在对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，说明抛物线开口向上，即二次项系数大于$0$。
当$a = 4$时，$2 - a = 2 - 4 = -2 ＜ 0$，不符合；当$a = -1$时，$2 - a = 2 - (-1) = 3 ＞ 0$，符合。
所以$a$的值为$-1$。
4. 已知二次函数 $ y = ax^2 $ 的图像开口向上，则直线 $ y = ax - 1 $ 不经过第
二
象限.答案：4.二
5. (2025·江苏无锡模拟)已知 $ A $，$ B $ 为二次函数 $ y = x^2 $ 图像上的两点，且点 $ A $，$ B $ 关于该图像的对称轴对称. 若点 $ B $ 的坐标为 $ (3,m) $，则点 $ A $ 的坐标为
($- 3,9$)
.答案：5.($- 3,9$) 解析：因为点$A,B$关于函数$y = x^{2}$的图像的对称轴对称，点$B$的坐标为$(3,m)$，所以点$A$的横坐标为$- 3$.把$x = - 3$代入$y = x^{2}$，得$y = 9$，所以点$A$的坐标为($- 3,9$).
解析：
因为二次函数$y = x^2$的对称轴为$y$轴，点$A$，$B$关于该对称轴对称，点$B$的坐标为$(3,m)$，所以点$A$的横坐标为$-3$。把$x=-3$代入$y = x^2$，得$y=(-3)^2=9$，所以点$A$的坐标为$(-3,9)$。
6. (教材 P13 练习 2 变式)已知 $ y = (m + 2)x^{m^2 + m - 4} $ 是关于 $ x $ 的二次函数.
(1)求 $ m $ 的值；
(2)当 $ m $ 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标；此时 $ x $ 在什么范围内时，$ y $ 随 $ x $ 增大而增大？
(3)当 $ m $ 为何值时，函数取最大值？最大值为多少？此时 $ x $ 在什么范围内时，$ y $ 随 $ x $ 增大而减小？
(1)求 $ m $ 的值；
(2)当 $ m $ 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标；此时 $ x $ 在什么范围内时，$ y $ 随 $ x $ 增大而增大？
(3)当 $ m $ 为何值时，函数取最大值？最大值为多少？此时 $ x $ 在什么范围内时，$ y $ 随 $ x $ 增大而减小？
答案：6.(1)由题意，得$m^{2}+m - 4 = 2$且$m + 2\neq0$，解得$m_{1}=2,m_{2}=- 3$.故$m$的值为2或$- 3$.
(2)当$m = 2$时，$m + 2 = 4＞0$，抛物线有最低点，此时二次函数的表达式为$y = 4x^{2}$，所以抛物线的最低点的坐标为$(0,0)$；当$x＞0$时，$y$随$x$增大而增大.
(3)当$m = - 3$时，$m + 2 = - 1＜0$，抛物线开口向下，函数取最大值，此时二次函数的表达式为$y = - x^{2}$，所以函数的最大值为0；当$x＞0$时，$y$随$x$增大而减小.
(2)当$m = 2$时，$m + 2 = 4＞0$，抛物线有最低点，此时二次函数的表达式为$y = 4x^{2}$，所以抛物线的最低点的坐标为$(0,0)$；当$x＞0$时，$y$随$x$增大而增大.
(3)当$m = - 3$时，$m + 2 = - 1＜0$，抛物线开口向下，函数取最大值，此时二次函数的表达式为$y = - x^{2}$，所以函数的最大值为0；当$x＞0$时，$y$随$x$增大而减小.
7. 关于二次函数 $ y = -2x^2 $ 的图像和性质，下列说法正确的是(
A.函数图像开口向上
B.当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 增大而增大
C.函数图像的顶点坐标为 $ (0,-2) $
D.当 $ x = 0 $ 时，$ y $ 取最小值 0
B
)A.函数图像开口向上
B.当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 增大而增大
C.函数图像的顶点坐标为 $ (0,-2) $
D.当 $ x = 0 $ 时，$ y $ 取最小值 0
答案：7.B
解析：
对于二次函数$y = -2x^2$：
因为二次项系数$-2 ＜ 0$，所以函数图像开口向下，A选项错误；
其对称轴为$x = 0$，当$x ＜ 0$时，$y$随$x$增大而增大，B选项正确；
函数图像的顶点坐标为$(0,0)$，C选项错误；
当$x = 0$时，$y$取最大值$0$，D选项错误。
B
因为二次项系数$-2 ＜ 0$，所以函数图像开口向下，A选项错误；
其对称轴为$x = 0$，当$x ＜ 0$时，$y$随$x$增大而增大，B选项正确；
函数图像的顶点坐标为$(0,0)$，C选项错误；
当$x = 0$时，$y$取最大值$0$，D选项错误。
B
8. 新素养 几何直观 二次函数 $ y = ax^2 $ 与一次函数 $ y = ax + a $ 在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是(
D
)答案：8.D
解析：
解：一次函数$y = ax + a = a(x + 1)$，过定点$(-1, 0)$，排除选项C。
当$a＞0$时，二次函数$y = ax^2$开口向上，一次函数$y = ax + a$过一、二、三象限，选项B、D符合开口向上；选项B中一次函数与y轴交点在负半轴，即$a＜0$，矛盾，选项D符合。
当$a＜0$时，二次函数$y = ax^2$开口向下，一次函数$y = ax + a$过二、三、四象限，选项A符合开口向下；但选项A中一次函数与y轴交点在负半轴，即$a＜0$，此时二次函数开口向下，一次函数过二、三、四象限，而选项A中一次函数过二、四象限，矛盾。
综上，图像可能是D。
D
当$a＞0$时，二次函数$y = ax^2$开口向上，一次函数$y = ax + a$过一、二、三象限，选项B、D符合开口向上；选项B中一次函数与y轴交点在负半轴，即$a＜0$，矛盾，选项D符合。
当$a＜0$时，二次函数$y = ax^2$开口向下，一次函数$y = ax + a$过二、三、四象限，选项A符合开口向下；但选项A中一次函数与y轴交点在负半轴，即$a＜0$，此时二次函数开口向下，一次函数过二、三、四象限，而选项A中一次函数过二、四象限，矛盾。
综上，图像可能是D。
D