9. (2025·江苏常州模拟)如图，菱形 $ OABC $ 的顶点 $ O $，$ A $，$ C $ 都在抛物线 $ y = \frac{1}{3}x^2 $ 上，其中 $ O $ 是原点，对角线 $ OB $ 在 $ y $ 轴上，且 $ OB = 2 $，则菱形 $ OABC $ 的面积为(
A.$ 2\sqrt{2} $
B.$ 2\sqrt{3} $
C.4
D.$ 4\sqrt{3} $
B
)A.$ 2\sqrt{2} $
B.$ 2\sqrt{3} $
C.4
D.$ 4\sqrt{3} $
答案：9.B 解析：连接$AC$.因为菱形$OABC$的顶点$O,A$，$C$在抛物线$y=\frac{1}{3}x^{2}$上，对角线$OB$在$y$轴上，且$OB = 2$，所以点$A,C$的纵坐标均为1.在$y=\frac{1}{3}x^{2}$中，令$y = 1$，得$\frac{1}{3}x^{2}=1$，解得$x=\pm\sqrt{3}$，所以$A(\sqrt{3},1)$，
$C(-\sqrt{3},1)$，所以$AC = 2\sqrt{3}$，所以$S_{菱形OABC}=\frac{1}{2}OB· AC = 2\sqrt{3}$.故菱形$OABC$的面积为$2\sqrt{3}$.
$C(-\sqrt{3},1)$，所以$AC = 2\sqrt{3}$，所以$S_{菱形OABC}=\frac{1}{2}OB· AC = 2\sqrt{3}$.故菱形$OABC$的面积为$2\sqrt{3}$.
10. 当 $ k = $
-2
时，二次函数 $ y = (1 - k)x^{k^2 - 2} $ 有最小值.答案：10.$-2$
解析：
要使函数$y=(1 - k)x^{k^2 - 2}$为二次函数，则$k^2 - 2 = 2$，解得$k = \pm 2$。
当$k = 2$时，二次项系数$1 - k=1 - 2=-1\lt0$，抛物线开口向下，函数有最大值，不符合题意。
当$k=-2$时，二次项系数$1 - k = 1 - (-2)=3\gt0$，抛物线开口向上，函数有最小值，符合题意。
故$k=-2$。
当$k = 2$时，二次项系数$1 - k=1 - 2=-1\lt0$，抛物线开口向下，函数有最大值，不符合题意。
当$k=-2$时，二次项系数$1 - k = 1 - (-2)=3\gt0$，抛物线开口向上，函数有最小值，符合题意。
故$k=-2$。
11. 新趋势 开放探究 在平面直角坐标系中，函数 $ y_1 = x(x ＜ m) $ 的图像与函数 $ y_2 = x^2(x \geq m) $ 的图像组成图形 $ G $. 若对于任意实数 $ n $，经过点 $ P(0,n) $ 且与 $ x $ 轴平行的直线总与图形 $ G $ 有交点，则满足条件的实数 $ m $ 的值可以是
(答案不唯一)1
.(写出一个即可)答案：11.(答案不唯一)1
12. 如图，在平面直角坐标系中，$ O $ 是原点，垂直于 $ x $ 轴的直线 $ AB $ 分别与抛物线 $ C_1: y = x^2(x \geq 0) $ 和抛物线 $ C_2: y = \frac{1}{4}x^2(x \geq 0) $ 交于点 $ A $，$ B $，过点 $ A $ 作 $ CD // x $ 轴，分别与 $ y $ 轴和抛物线 $ C_2 $ 交于点 $ C $，$ D $，过点 $ B $ 作 $ EF // x $ 轴，分别与 $ y $ 轴和抛物线 $ C_1 $ 交于点 $ E $，$ F $，连接 $ AE $，$ DE $，$ OF $，则 $ \frac{S_{\triangle OFE}}{S_{\triangle EAD}} = $
$\frac{1}{6}$
.答案：12.$\frac{1}{6}$ 解析：设$A(a,a^{2})$，则$B(a,\frac{1}{4}a^{2}),C(0,a^{2})$，$D(2a,a^{2}),E(0,\frac{1}{4}a^{2}),F(\frac{1}{2}a,\frac{1}{4}a^{2})$，所以$EF=\frac{1}{2}a,AD = a,OE=\frac{1}{4}a^{2},CE=\frac{3}{4}a^{2}$，所以$\frac{S_{\triangle OFE}}{S_{\triangle EAD}}=\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}a×\frac{1}{4}a^{2}}{\frac{1}{2}× a×\frac{3}{4}a^{2}}=\frac{1}{6}$.
解析：
解：设点$A$的坐标为$(a,a^{2})$，因为直线$AB$垂直于$x$轴且与抛物线$C_2:y = \frac{1}{4}x^2$交于点$B$，所以点$B$的坐标为$(a,\frac{1}{4}a^{2})$。
因为$CD // x$轴且过点$A$，所以点$C$的坐标为$(0,a^{2})$。对于抛物线$C_2$，当$y = a^{2}$时，$a^{2}=\frac{1}{4}x^2$，解得$x = 2a$（$x \geq 0$），所以点$D$的坐标为$(2a,a^{2})$。
因为$EF // x$轴且过点$B$，所以点$E$的坐标为$(0,\frac{1}{4}a^{2})$。对于抛物线$C_1$，当$y=\frac{1}{4}a^{2}$时，$\frac{1}{4}a^{2}=x^2$，解得$x = \frac{1}{2}a$（$x \geq 0$），所以点$F$的坐标为$(\frac{1}{2}a,\frac{1}{4}a^{2})$。
则$EF=\frac{1}{2}a$，$OE=\frac{1}{4}a^{2}$，$AD=2a - a=a$，$CE=a^{2}-\frac{1}{4}a^{2}=\frac{3}{4}a^{2}$。
$S_{\triangle OFE}=\frac{1}{2} × EF × OE=\frac{1}{2} × \frac{1}{2}a × \frac{1}{4}a^{2}=\frac{1}{16}a^{3}$，$S_{\triangle EAD}=\frac{1}{2} × AD × CE=\frac{1}{2} × a × \frac{3}{4}a^{2}=\frac{3}{8}a^{3}$。
所以$\frac{S_{\triangle OFE}}{S_{\triangle EAD}}=\frac{\frac{1}{16}a^{3}}{\frac{3}{8}a^{3}}=\frac{1}{6}$。
$\frac{1}{6}$
因为$CD // x$轴且过点$A$，所以点$C$的坐标为$(0,a^{2})$。对于抛物线$C_2$，当$y = a^{2}$时，$a^{2}=\frac{1}{4}x^2$，解得$x = 2a$（$x \geq 0$），所以点$D$的坐标为$(2a,a^{2})$。
因为$EF // x$轴且过点$B$，所以点$E$的坐标为$(0,\frac{1}{4}a^{2})$。对于抛物线$C_1$，当$y=\frac{1}{4}a^{2}$时，$\frac{1}{4}a^{2}=x^2$，解得$x = \frac{1}{2}a$（$x \geq 0$），所以点$F$的坐标为$(\frac{1}{2}a,\frac{1}{4}a^{2})$。
则$EF=\frac{1}{2}a$，$OE=\frac{1}{4}a^{2}$，$AD=2a - a=a$，$CE=a^{2}-\frac{1}{4}a^{2}=\frac{3}{4}a^{2}$。
$S_{\triangle OFE}=\frac{1}{2} × EF × OE=\frac{1}{2} × \frac{1}{2}a × \frac{1}{4}a^{2}=\frac{1}{16}a^{3}$，$S_{\triangle EAD}=\frac{1}{2} × AD × CE=\frac{1}{2} × a × \frac{3}{4}a^{2}=\frac{3}{8}a^{3}$。
所以$\frac{S_{\triangle OFE}}{S_{\triangle EAD}}=\frac{\frac{1}{16}a^{3}}{\frac{3}{8}a^{3}}=\frac{1}{6}$。
$\frac{1}{6}$
13. 如图，在平面直角坐标系中，$ O $ 是原点，直线 $ l $ 经过 $ A(4,0) $，$ B(0,4) $ 两点，它与抛物线 $ y = ax^2 $ 在第一象限内相交于点 $ P $. 若 $ \triangle AOP $ 的面积为 $ \frac{9}{2} $，求 $ a $ 的值.
答案：13.设直线$l$的函数表达式为$y = kx + b$.把点$A(4,0)$，$B(0,4)$分别代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}4k + b = 0,\\b = 4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = - 1,\\b = 4,\end{cases}$所以直线$l$的函数表达式为$y = - x + 4$.因为点$P$在直线$l$上，所以可设点$P$的坐标为$(m,4 - m)(0＜m＜4)$.过点$P$作$PC⊥ OA$于点$C$，则$PC = 4 - m$.因为$OA = 4$，所以$S_{\triangle AOP}=\frac{1}{2}OA· PC = 8 - 2m$.又$S_{\triangle AOP}=\frac{9}{2}$，所以$8 - 2m=\frac{9}{2}$，解得$m=\frac{7}{4}$，则$4 - m=\frac{9}{4}$，所以$P(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$.因为点$P$在抛物线$y = ax^{2}$上，所以$\frac{9}{4}=a×(\frac{7}{4})^{2}$，解得$a=\frac{36}{49}$.
14. 如图，在平面直角坐标系中，$ O $ 是原点，$ \mathrm{Rt}\triangle OAB $ 的顶点 $ A(-2,4) $ 在抛物线 $ y = ax^2 $ 上，顶点 $ B $ 在 $ x $ 轴负半轴上，$ \angle OBA = 90° $. 将 $ \mathrm{Rt}\triangle OAB $ 绕点 $ O $ 顺时针旋转 $ 90° $，得到 $ \triangle OCD $，边 $ CD $ 与该抛物线交于点 $ P $，则点 $ P $ 的坐标为(
A.$ (\sqrt{2},\sqrt{2}) $
B.$ (2,2) $
C.$ (\sqrt{2},2) $
D.$ (2,\sqrt{2}) $
C
)A.$ (\sqrt{2},\sqrt{2}) $
B.$ (2,2) $
C.$ (\sqrt{2},2) $
D.$ (2,\sqrt{2}) $
答案：14.C 解析：因为点$A(- 2,4)$在抛物线$y = ax^{2}$上，所以$4 = 4a$，解得$a = 1$，所以$y = x^{2}$.因为点$B$在$x$轴负半轴上，$\angle OBA = 90^{\circ}$，所以$OB = 2$.由旋转的性质，得$OD = OB = 2$，$\angle ODC=\angle OBA = 90^{\circ}$，所以$CD// x$轴，所以点$P$的纵坐标为2.把$y = 2$代入$y = x^{2}$，得$x=\pm\sqrt{2}$.因为点$P$在第一象限，所以点$P$的坐标为$(\sqrt{2},2)$.
15. 亮点原创 如图，在平面直角坐标系中，点 $ B_0 $ 位于原点 $ O $，点 $ A_1 $，$ A_2 $，$ A_3 $，$ ··· $，$ A_n $ 在抛物线 $ y = x^2 $ 上，点 $ B_1 $，$ B_2 $，$ B_3 $，$ ··· $，$ B_n $ 在 $ y $ 轴上. 若 $ \triangle A_1B_0B_1 $，$ \triangle A_2B_1B_2 $，$ ··· $，$ \triangle A_nB_{n - 1}B_n $ 都为等腰直角三角形，则 $ \triangle A_{2025}B_{2024}B_{2025} $ 的腰长为
$2025\sqrt{2}$
.答案：15.$2025\sqrt{2}$ 解析：因为点$A_{1}$在抛物线$y = x^{2}$上，所以可设$A_{1}(a,a^{2})$.因为$\triangle A_{1}B_{0}B_{1}$为等腰直角三角形，所以$a = a^{2}$，解得$a_{1}=1,a_{2}=0$(不合题意，舍去)，则$A_{1}(1,1)$，所以$\triangle A_{1}B_{0}B_{1}$的腰长为$\sqrt{2}$.因为点$A_{2}$在抛物线$y = x^{2}$上，所以可设$A_{2}(b,b^{2})$.因
为$\triangle A_{2}B_{1}B_{2}$为等腰直角三角形，所以$b = b^{2}-2$，解得$b_{1}=\sqrt{2},b_{2}=-1$(不合题意，舍去)，则$A_{2}(2,4)$，所以$\triangle A_{2}B_{1}B_{2}$的腰长为$2\sqrt{2}$.同理可得$\triangle A_{3}B_{2}B_{3}$的腰长为$3\sqrt{2}$，$···$，$\triangle A_{n}B_{n - 1}B_{n}$的腰长为$\sqrt{2}n$，所以$\triangle A_{2025}B_{2024}B_{2025}$的腰长为$2025\sqrt{2}$.
为$\triangle A_{2}B_{1}B_{2}$为等腰直角三角形，所以$b = b^{2}-2$，解得$b_{1}=\sqrt{2},b_{2}=-1$(不合题意，舍去)，则$A_{2}(2,4)$，所以$\triangle A_{2}B_{1}B_{2}$的腰长为$2\sqrt{2}$.同理可得$\triangle A_{3}B_{2}B_{3}$的腰长为$3\sqrt{2}$，$···$，$\triangle A_{n}B_{n - 1}B_{n}$的腰长为$\sqrt{2}n$，所以$\triangle A_{2025}B_{2024}B_{2025}$的腰长为$2025\sqrt{2}$.
16. 如图，已知直线 $ AB: y = kx + 2k + 4 $ 与抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 交于 $ A $，$ B $ 两点.
(1)直线 $ AB $ 总经过一个定点 $ C $，请直接写出点 $ C $ 的坐标；
(2)当 $ k = -\frac{1}{2} $ 时，在直线 $ AB $ 下方的抛物线上求一点 $ P $，使 $ \triangle ABP $ 的面积为 5.
(1)直线 $ AB $ 总经过一个定点 $ C $，请直接写出点 $ C $ 的坐标；
(2)当 $ k = -\frac{1}{2} $ 时，在直线 $ AB $ 下方的抛物线上求一点 $ P $，使 $ \triangle ABP $ 的面积为 5.
答案：16.(1)因为$y = kx + 2k + 4 = k(x + 2)+4$，所以当$x = - 2$时，$y = 4$，所以点$C$的坐标为$(- 2,4)$.
(2)当$k = -\frac{1}{2}$时，直线$AB$的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}x + 3$，$-\frac{1}{2}x + 3$.联立方程组$\begin{cases}y = -\frac{1}{2}x + 3,\\y = \frac{1}{2}x^{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}x = - 3,\\y = \frac{9}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x = 2,\\y = 2,\end{cases}$所以$A(- 3,\frac{9}{2})$，$B(2,2)$.设$P(m,\frac{1}{2}m^{2})(- 3＜m＜2)$，过点$P$作$PD// y$轴交直线$AB$于点$D$，则$D(m,-\frac{1}{2}m + 3)$，所以$PD = -\frac{1}{2}m + 3-\frac{1}{2}m^{2}$，所以$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}PD·(x_{B}-x_{A})=\frac{1}{2}×(-\frac{1}{2}m + 3-\frac{1}{2}m^{2})×[2-(- 3)]=-\frac{5}{4}m^{2}-\frac{5}{4}m+\frac{15}{2}$.又$S_{\triangle ABP}=5$，所以$-\frac{5}{4}m^{2}-\frac{5}{4}m+\frac{15}{2}=5$，解得$m_{1}=-2,m_{2}=1$.当$m = - 2$时，$\frac{1}{2}m^{2}=2$，所以$P(- 2,2)$；当$m = 1$时，$\frac{1}{2}m^{2}=\frac{1}{2}$，所以$P(1,\frac{1}{2})$.综上所述，点$P$的坐标为$(- 2,2)$或$(1,\frac{1}{2})$.
(2)当$k = -\frac{1}{2}$时，直线$AB$的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}x + 3$，$-\frac{1}{2}x + 3$.联立方程组$\begin{cases}y = -\frac{1}{2}x + 3,\\y = \frac{1}{2}x^{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}x = - 3,\\y = \frac{9}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x = 2,\\y = 2,\end{cases}$所以$A(- 3,\frac{9}{2})$，$B(2,2)$.设$P(m,\frac{1}{2}m^{2})(- 3＜m＜2)$，过点$P$作$PD// y$轴交直线$AB$于点$D$，则$D(m,-\frac{1}{2}m + 3)$，所以$PD = -\frac{1}{2}m + 3-\frac{1}{2}m^{2}$，所以$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}PD·(x_{B}-x_{A})=\frac{1}{2}×(-\frac{1}{2}m + 3-\frac{1}{2}m^{2})×[2-(- 3)]=-\frac{5}{4}m^{2}-\frac{5}{4}m+\frac{15}{2}$.又$S_{\triangle ABP}=5$，所以$-\frac{5}{4}m^{2}-\frac{5}{4}m+\frac{15}{2}=5$，解得$m_{1}=-2,m_{2}=1$.当$m = - 2$时，$\frac{1}{2}m^{2}=2$，所以$P(- 2,2)$；当$m = 1$时，$\frac{1}{2}m^{2}=\frac{1}{2}$，所以$P(1,\frac{1}{2})$.综上所述，点$P$的坐标为$(- 2,2)$或$(1,\frac{1}{2})$.