A. 二次函数 $y = 2x^2 - 3$ 中，二次项系数 $2 ＞ 0$，抛物线开口向上，A错误；
B. 当 $x = 2$ 时，$y = 2×2^2 - 3 = 8 - 3 = 5$，抛物线经过点 $(2,5)$，B错误；
C. 抛物线对称轴为直线 $x = -\frac{b}{2a} = 0$，C错误；
D. 令 $y = 0$，则 $2x^2 - 3 = 0$，$x^2 = \frac{3}{2}$，$x = ±\sqrt{\frac{3}{2}}$，有两个不相等的实数根，抛物线与 $x$ 轴有两个交点，D正确。
答案：D

因为在正比例函数$y = ax$中，$y$随$x$增大而增大，所以$a＞0$。二次函数$y = ax^{2}+a$，由于$a＞0$，抛物线开口向上，且与$y$轴交于$(0,a)$，因为$a＞0$，所以交点在$y$轴正半轴。当$x = 0$时，$y=a＞0$；当$x$为任意实数时，$ax^{2}\geq0$，所以$y=ax^{2}+a\geq a＞0$，即函数图像上所有点的纵坐标都大于$0$，所以该二次函数的图像经过第一、二象限。
一、二

因为二次函数$y = mx^{2}+2m - 4$开口向上，所以$m＞0$。
其顶点坐标为$(0,2m - 4)$，因为顶点在$y$轴负半轴上，所以$2m - 4＜0$，即$m＜2$。
综上，$0＜m＜2$。
答案：C

函数$y = x^2 - 2$的图像开口向上，对称轴为$x = 0$。当$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而减小。
因为$a ＜ -1$，所以$a - 1 ＜ a ＜ a + 1 ＜ 0$。
由于在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，且$a - 1 ＜ a ＜ a + 1$，所以$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$。
C

解：因为抛物线$y = x^{2}+1$与双曲线$y = \frac{k}{x}$的交点$A$的横坐标是$1$，
将$x = 1$代入抛物线$y = x^{2}+1$，得$y=1^{2}+1=2$，
所以交点$A$的坐标为$(1,2)$，
将$A(1,2)$代入双曲线$y = \frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{1}$，解得$k = 2$，
则不等式$\frac{k}{x}-x^{2}-1＞0$可化为$\frac{2}{x}-x^{2}-1＞0$，即$\frac{2}{x}＞x^{2}+1$，
由函数图像可知，当$0＜x＜1$时，双曲线$y = \frac{2}{x}$的图像在抛物线$y = x^{2}+1$的图像上方，
所以不等式$\frac{k}{x}-x^{2}-1＞0$的解集是$0＜x＜1$。
$0＜x＜1$