11. (2024·四川内江)已知二次函数 $ y = x^{2}-2x + 1 $ 的图像向左平移 $ 2 $ 个单位长度得到抛物线 $ C $.若点 $ P(2,y_{1}) $，$ Q(3,y_{2}) $ 都在抛物线 $ C $ 上，则 $ y_{1} $_________$ y_{2} $.(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)
答案：11.$＜$
解析：
将二次函数$y = x^{2}-2x + 1$化为顶点式：$y=(x - 1)^{2}$。
图像向左平移$2$个单位长度，根据平移规律“左加右减”，得到抛物线$C$的解析式为$y=(x - 1 + 2)^{2}=(x + 1)^{2}$。
当$x = 2$时，$y_{1}=(2 + 1)^{2}=9$；当$x = 3$时，$y_{2}=(3 + 1)^{2}=16$。
因为$9＜16$，所以$y_{1}＜y_{2}$。
$＜$
图像向左平移$2$个单位长度，根据平移规律“左加右减”，得到抛物线$C$的解析式为$y=(x - 1 + 2)^{2}=(x + 1)^{2}$。
当$x = 2$时，$y_{1}=(2 + 1)^{2}=9$；当$x = 3$时，$y_{2}=(3 + 1)^{2}=16$。
因为$9＜16$，所以$y_{1}＜y_{2}$。
$＜$
12. 已知二次函数 $ y = 2x^{2}-4x - 1 $.若当 $ 0\leqslant x\leqslant a $ 时，$ y $ 的最大值为 $ 15 $，则 $ a = $
4
.答案：12.4
解析：
解：二次函数$y = 2x^2 - 4x - 1$，对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2×2} = 1$。
当$x = 0$时，$y = -1$；当$x = 1$时，$y = 2 - 4 - 1 = -3$。
令$y = 15$，则$2x^2 - 4x - 1 = 15$，$2x^2 - 4x - 16 = 0$，$x^2 - 2x - 8 = 0$，$(x - 4)(x + 2) = 0$，解得$x = 4$或$x = -2$（舍去）。
因为当$0\leqslant x\leqslant a$时，$y$的最大值为$15$，且抛物线开口向上，对称轴右侧$y$随$x$增大而增大，所以$a = 4$。
4
当$x = 0$时，$y = -1$；当$x = 1$时，$y = 2 - 4 - 1 = -3$。
令$y = 15$，则$2x^2 - 4x - 1 = 15$，$2x^2 - 4x - 16 = 0$，$x^2 - 2x - 8 = 0$，$(x - 4)(x + 2) = 0$，解得$x = 4$或$x = -2$（舍去）。
因为当$0\leqslant x\leqslant a$时，$y$的最大值为$15$，且抛物线开口向上，对称轴右侧$y$随$x$增大而增大，所以$a = 4$。
4
13. 已知抛物线 $ y = ax^{2}+4ax + 4a + 1 $ 经过 $ A(m,3) $，$ B(n,3) $ 两点.若线段 $ AB $ 的长不大于 $ 4 $，则代数式 $ a^{2}+a + 1 $ 的最小值是
$\frac{7}{4}$
.答案：13.$\frac{7}{4}$ 解析：因为$y=ax^{2}+4ax+4a+1=a(x+2)^{2}+1$，所以抛物线$y=ax^{2}+4ax+4a+1$的顶点坐标为$(-2,1)$。设该抛物线与$y$轴交于点$C$，则$C(0,4a+1)$。过点$C$作$CD// x$轴，交该抛物线于另一点$D$，则$CD=4$。因为该抛物线经过$A(m,3)$，$B(n,3)$两点，所以$a＞0$，$AB// x$轴.因为线段$AB$的长不大于4，所以$4a+1\geqslant3$，解得$a\geqslant\frac{1}{2}$。因为$a^{2}+a+1=(a+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}$，所以当$a=\frac{1}{2}$时，$a^{2}+a+1$取最小值，且最小值是$\frac{7}{4}$。
解析：
因为$y=ax^{2}+4ax + 4a + 1=a(x+2)^{2}+1$，所以抛物线顶点坐标为$(-2,1)$。
抛物线经过$A(m,3)$，$B(n,3)$两点，所以$AB// x$轴，且$a＞0$（抛物线开口向上）。
令$y=3$，则$a(x+2)^{2}+1=3$，即$(x+2)^{2}=\frac{2}{a}$，解得$x=-2\pm\sqrt{\frac{2}{a}}$。
所以$AB=\left|(-2+\sqrt{\frac{2}{a}})-(-2-\sqrt{\frac{2}{a}})\right|=2\sqrt{\frac{2}{a}}$。
因为线段$AB$的长不大于$4$，所以$2\sqrt{\frac{2}{a}}\leq4$，即$\sqrt{\frac{2}{a}}\leq2$，两边平方得$\frac{2}{a}\leq4$，解得$a\geq\frac{1}{2}$。
对于代数式$a^{2}+a + 1$，其对称轴为$a=-\frac{1}{2}$，在$a\geq\frac{1}{2}$时单调递增，所以当$a=\frac{1}{2}$时，取得最小值，最小值为$(\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2}+1=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{4}{4}=\frac{7}{4}$。
$\frac{7}{4}$
抛物线经过$A(m,3)$，$B(n,3)$两点，所以$AB// x$轴，且$a＞0$（抛物线开口向上）。
令$y=3$，则$a(x+2)^{2}+1=3$，即$(x+2)^{2}=\frac{2}{a}$，解得$x=-2\pm\sqrt{\frac{2}{a}}$。
所以$AB=\left|(-2+\sqrt{\frac{2}{a}})-(-2-\sqrt{\frac{2}{a}})\right|=2\sqrt{\frac{2}{a}}$。
因为线段$AB$的长不大于$4$，所以$2\sqrt{\frac{2}{a}}\leq4$，即$\sqrt{\frac{2}{a}}\leq2$，两边平方得$\frac{2}{a}\leq4$，解得$a\geq\frac{1}{2}$。
对于代数式$a^{2}+a + 1$，其对称轴为$a=-\frac{1}{2}$，在$a\geq\frac{1}{2}$时单调递增，所以当$a=\frac{1}{2}$时，取得最小值，最小值为$(\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2}+1=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{4}{4}=\frac{7}{4}$。
$\frac{7}{4}$
14. 新素养 几何直观 如图，已知二次函数 $ y = x^{2}+ax + 3 $ 的图像经过点 $ P(-2,3) $.
(1) 求 $ a $ 的值及该二次函数图像的顶点坐标；
(2) 已知点 $ Q(m,n) $ 在该二次函数的图像上.
① 当 $ m = 2 $ 时，求 $ n $ 的值；
② 若点 $ Q $ 到 $ y $ 轴的距离小于 $ 2 $，请根据函数图像直接写出 $ n $ 的取值范围.
(1) 求 $ a $ 的值及该二次函数图像的顶点坐标；
(2) 已知点 $ Q(m,n) $ 在该二次函数的图像上.
① 当 $ m = 2 $ 时，求 $ n $ 的值；
② 若点 $ Q $ 到 $ y $ 轴的距离小于 $ 2 $，请根据函数图像直接写出 $ n $ 的取值范围.
答案：14.(1)把点$P(-2,3)$代入$y=x^{2}+ax+3$，得$3=(-2)^{2}-2a+3$，解得$a=2$，所以$y=x^{2}+2x+3=(x+1)^{2}+2$，所以该二次函数图像的顶点坐标为$(-1,2)$。
(2)①把$x=2$代入$y=x^{2}+2x+3$，得$y=2^{2}+2×2+3=11$，所以当$m=2$时，$n=11$。
②因为点$Q$到$y$轴的距离小于2，所以$\vert m\vert＜2$，所以$-2＜m＜2$。因为点$Q(m,n)$在二次函数$y=x^{2}+2x+3$的图像上，所以当$m=2$时，$n=11$；当$m=-1$时，$n=2$；当$m=-2$时，$n=3$。根据函数图像可知$n$的取值范围为$2\leqslant n＜11$。
(2)①把$x=2$代入$y=x^{2}+2x+3$，得$y=2^{2}+2×2+3=11$，所以当$m=2$时，$n=11$。
②因为点$Q$到$y$轴的距离小于2，所以$\vert m\vert＜2$，所以$-2＜m＜2$。因为点$Q(m,n)$在二次函数$y=x^{2}+2x+3$的图像上，所以当$m=2$时，$n=11$；当$m=-1$时，$n=2$；当$m=-2$时，$n=3$。根据函数图像可知$n$的取值范围为$2\leqslant n＜11$。
15. 新素养 推理能力 (2025·江苏宿迁模拟)已知二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的部分图像如图所示，图像经过点 $ (-1,0) $，对称轴为直线 $ x = 2 $，给出下列结论：
① $ abc ＜ 0 $；
② $ 4a + c＞2b $；
③ $ 3b - 2c＞0 $；
④ 若点 $ A(-2,y_{1}) $，$ B(-\frac{1}{2},y_{2}) $，$ C(\frac{7}{2},y_{3}) $ 在该函数图像上，则 $ y_{1}＜y_{3}＜y_{2} $；
⑤ $ 4a + 2b\geqslant m(am + b) $($ m $ 为常数).
其中正确的有(
A.$ 5 $ 个
B.$ 4 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 2 $ 个
① $ abc ＜ 0 $；
② $ 4a + c＞2b $；
③ $ 3b - 2c＞0 $；
④ 若点 $ A(-2,y_{1}) $，$ B(-\frac{1}{2},y_{2}) $，$ C(\frac{7}{2},y_{3}) $ 在该函数图像上，则 $ y_{1}＜y_{3}＜y_{2} $；
⑤ $ 4a + 2b\geqslant m(am + b) $($ m $ 为常数).
其中正确的有(
C
)A.$ 5 $ 个
B.$ 4 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 2 $ 个
答案：15.C 解析：因为抛物线$y=ax^{2}+bx+c$的开口向下，所以$a＜0$。因为该抛物线的对称轴为直线$x=2$，所以$-\frac{b}{2a}=2$，所以$b=-4a$，所以$b＞0$。因为该抛物线与$y$轴正半轴相交，所以$c＞0$，所以$abc＜0$，故①正确；因为该抛物线经过点$(-1,0)$，所以$a-b+c=0$，所以$c=b-a=-5a$，所以$4a+c-2b=7a＜0$，即$4a+c＜2b$，故②错误；$3b-2c=-2a＞0$，故③正确；由题图可知，当$x＜2$时，$y$随$x$增大而增大；当$x＞2$时，$y$随$x$增大而减小.设点$A(-2,y_{1})$，$B(-\frac{1}{2},y_{2})$关于直线$x=2$的对称点分别为$A'$，$B'$，则$A'(6,y_{1})$，$B'(\frac{9}{2},y_{2})$。因为点$A'(6,y_{1})$，$B'(\frac{9}{2},y_{2})$，$C(\frac{7}{2},y_{3})$都在该抛物线上，且$2＜\frac{7}{2}＜\frac{9}{2}＜6$，所以$y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$，故④错误；因为当$x=2$时，二次函数$y=ax^{2}+bx+c$取最大值，所以$4a+2b+c\geqslant am^{2}+bm+c$，即$4a+2b\geqslant m(am+b)$，故⑤正确.综上所述，其中正确的结论有3个。
16. 若二次函数 $ y = a^{2}x^{2}-bx - c $ 的图像经过不同的六点 $ A(-1,n) $，$ B(5,n - 1) $，$ C(6,n + 1) $，$ D(\sqrt{2},y_{1}) $，$ E(2,y_{2}) $，$ F(4,y_{3}) $，则 $ y_{1} $，$ y_{2} $，$ y_{3} $ 之间的大小关系是
$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
.(用“$ ＜ $”号连接)答案：16.$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$ 解析：因为二次函数$y=a^{2}x^{2}-bx-c$的图像开口向上，经过$A(-1,n)$，$B(5,n-1)$，$C(6,n+1)$三点，且$n-1＜n＜n+1$，所以该函数图像的对称轴在直线$x=2$和直线$x=\frac{5}{2}$之间.因为$D(\sqrt{2},y_{1})$，$E(2,y_{2})$，$F(4,y_{3})$三点在该函数图像上，所以$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$之间的大小关系是$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$。
解析：
$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
17. 已知二次函数 $ y = -x^{2}+6x - 5 $.
(1) 求该二次函数图像的顶点坐标；
(2) 当 $ 1\leqslant x\leqslant 4 $ 时，该函数的最大值和最小值分别为多少？
(3) 当 $ t\leqslant x\leqslant t + 3 $ 时，该函数的最大值为 $ m $，最小值为 $ n $.若 $ m - n = 3 $，求 $ t $ 的值.
(1) 求该二次函数图像的顶点坐标；
(2) 当 $ 1\leqslant x\leqslant 4 $ 时，该函数的最大值和最小值分别为多少？
(3) 当 $ t\leqslant x\leqslant t + 3 $ 时，该函数的最大值为 $ m $，最小值为 $ n $.若 $ m - n = 3 $，求 $ t $ 的值.
答案：17.(1)因为$y=-x^{2}+6x-5=-(x-3)^{2}+4$，所以该二次函数图像的顶点坐标为$(3,4)$。
(2)由(1)，得二次函数$y=-x^{2}+6x-5$的图像开口向下，对称轴为直线$x=3$，且当$x＜3$时，$y$随$x$增大而增大；当$x＞3$时，$y$随$x$增大而减小；当$x=3$时，$y$的值最大，最大值为4。在$y=-x^{2}+6x-5$中，令$x=1$，得$y=-1^{2}+6×1-5=0$；令$x=4$，得$y=-4^{2}+6×4-5=3$。故当$1\leqslant x\leqslant4$时，该函数的最大值为4，最小值为0。
(3)在$y=-x^{2}+6x-5$中，令$x=t$，得$y=-t^{2}+6t-5$；令$x=t+3$，得$y=-(t+3)^{2}+6(t+3)-5=-t^{2}+4$。当$t\leqslant x\leqslant t+3$时，分类讨论如下：①当$t+3＜3$，即$t＜0$时，$y$随$x$增大而增大，则$m=-t^{2}+4$，$n=-t^{2}+6t-5$，所以$m-n=9-6t$。因为$m-n=3$，所以$9-6t=3$，解得$t=1$(不合题意，舍去)；②当$t\leqslant3\leqslant t+3$，即$0\leqslant t\leqslant3$时，$m=4$。若$0\leqslant t\leqslant\frac{3}{2}$，则$n=-t^{2}+6t-5$，所以$m-n=t^{2}-6t+9$，所以$t^{2}-6t+9=3$，解得$t_{1}=3-\sqrt{3}$，$t_{2}=3+\sqrt{3}$(不合题意，舍去)；若$\frac{3}{2}＜t\leqslant3$，则$n=-t^{2}+4$，所以$m-n=t^{2}$，所以$t^{2}=3$，解得$t_{1}=\sqrt{3}$，$t_{2}=-\sqrt{3}$(不合题意，舍去)；③当$t\geqslant3$时，$y$随$x$增大而减小，则$m=-t^{2}+6t-5$，$n=-t^{2}+4$，所以$m-n=6t-9$，所以$6t-9=3$，解得$t=2$(不合题意，舍去).综上所述，$t$的值为$3-\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$。
(2)由(1)，得二次函数$y=-x^{2}+6x-5$的图像开口向下，对称轴为直线$x=3$，且当$x＜3$时，$y$随$x$增大而增大；当$x＞3$时，$y$随$x$增大而减小；当$x=3$时，$y$的值最大，最大值为4。在$y=-x^{2}+6x-5$中，令$x=1$，得$y=-1^{2}+6×1-5=0$；令$x=4$，得$y=-4^{2}+6×4-5=3$。故当$1\leqslant x\leqslant4$时，该函数的最大值为4，最小值为0。
(3)在$y=-x^{2}+6x-5$中，令$x=t$，得$y=-t^{2}+6t-5$；令$x=t+3$，得$y=-(t+3)^{2}+6(t+3)-5=-t^{2}+4$。当$t\leqslant x\leqslant t+3$时，分类讨论如下：①当$t+3＜3$，即$t＜0$时，$y$随$x$增大而增大，则$m=-t^{2}+4$，$n=-t^{2}+6t-5$，所以$m-n=9-6t$。因为$m-n=3$，所以$9-6t=3$，解得$t=1$(不合题意，舍去)；②当$t\leqslant3\leqslant t+3$，即$0\leqslant t\leqslant3$时，$m=4$。若$0\leqslant t\leqslant\frac{3}{2}$，则$n=-t^{2}+6t-5$，所以$m-n=t^{2}-6t+9$，所以$t^{2}-6t+9=3$，解得$t_{1}=3-\sqrt{3}$，$t_{2}=3+\sqrt{3}$(不合题意，舍去)；若$\frac{3}{2}＜t\leqslant3$，则$n=-t^{2}+4$，所以$m-n=t^{2}$，所以$t^{2}=3$，解得$t_{1}=\sqrt{3}$，$t_{2}=-\sqrt{3}$(不合题意，舍去)；③当$t\geqslant3$时，$y$随$x$增大而减小，则$m=-t^{2}+6t-5$，$n=-t^{2}+4$，所以$m-n=6t-9$，所以$6t-9=3$，解得$t=2$(不合题意，舍去).综上所述，$t$的值为$3-\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$。