1. (教材 P22 练习 1 变式)已知二次函数 $ y = ax^{2} + 4x + c $，当 $ x = - 2 $ 时，$ y = - 1 $；当 $ x = 1 $ 时，$ y = 5 $，则该二次函数的表达式为(
A.$ y = 2x^{2} + 4x - 1 $
B.$ y = x^{2} + 4x - 2 $
C.$ y = - 2x^{2} + 4x + 1 $
D.$ y = 2x^{2} + 4x + 1 $
A
)A.$ y = 2x^{2} + 4x - 1 $
B.$ y = x^{2} + 4x - 2 $
C.$ y = - 2x^{2} + 4x + 1 $
D.$ y = 2x^{2} + 4x + 1 $
答案：A
解析：
解：将$x=-2$，$y=-1$代入$y=ax^{2}+4x+c$，得$a(-2)^{2}+4×(-2)+c=-1$，即$4a - 8 + c = -1$，化简为$4a + c = 7$；
将$x=1$，$y=5$代入$y=ax^{2}+4x+c$，得$a(1)^{2}+4×1 + c = 5$，即$a + 4 + c = 5$，化简为$a + c = 1$；
联立方程组$\begin{cases}4a + c = 7 \\ a + c = 1\end{cases}$，用第一个方程减第二个方程得：$3a = 6$，解得$a = 2$；
将$a = 2$代入$a + c = 1$，得$2 + c = 1$，解得$c = -1$；
所以二次函数表达式为$y = 2x^{2} + 4x - 1$。
A
将$x=1$，$y=5$代入$y=ax^{2}+4x+c$，得$a(1)^{2}+4×1 + c = 5$，即$a + 4 + c = 5$，化简为$a + c = 1$；
联立方程组$\begin{cases}4a + c = 7 \\ a + c = 1\end{cases}$，用第一个方程减第二个方程得：$3a = 6$，解得$a = 2$；
将$a = 2$代入$a + c = 1$，得$2 + c = 1$，解得$c = -1$；
所以二次函数表达式为$y = 2x^{2} + 4x - 1$。
A
2. 如图所示抛物线的函数表达式为(
A.$ y = - x^{2} - 2x + 3 $
B.$ y = - x^{2} - x + 2 $
C.$ y = - x^{2} - 3x + 2 $
D.$ y = - x^{2} + x + 2 $
B
)A.$ y = - x^{2} - 2x + 3 $
B.$ y = - x^{2} - x + 2 $
C.$ y = - x^{2} - 3x + 2 $
D.$ y = - x^{2} + x + 2 $
答案：B 解析：由题图可设该抛物线的函数表达式为$y=a(x + 2)(x - 1)$.把点$(0,2)$代入$y=a(x + 2)(x - 1)$，得$a × 2 × (-1)=2$，解得$a = -1$，所以
该抛物线的函数表达式为$y=-(x + 2)(x - 1)$，
即$y=-x^{2}-x + 2$.
该抛物线的函数表达式为$y=-(x + 2)(x - 1)$，
即$y=-x^{2}-x + 2$.
3. 新趋势 开放探究 写出经过点 $ (0,0) $，$ (- 2,0) $ 的抛物线的函数表达式：
$y=x^{2}+2x$
.(写一个即可)答案：(答案不唯一)$y=x^{2}+2x$
4. (2025·江苏常州模拟)如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 $ OABC $ 的顶点 $ A $，$ C $ 分别在 $ x $ 轴、$ y $ 轴的正半轴上，二次函数 $ y = - \frac{2}{3}x^{2} + bx + c $ 的图像经过 $ B $，$ C $ 两点，则该二次函数的表达式为
$y=-\frac{2}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x + 2$
.答案：$y=-\frac{2}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x + 2$
解析：
解：
∵正方形$OABC$的边长为2，顶点$A$，$C$分别在$x$轴、$y$轴的正半轴上，
∴点$C$的坐标为$(0,2)$，点$B$的坐标为$(2,2)$。
∵二次函数$y = -\frac{2}{3}x^{2} + bx + c$的图像经过$B$，$C$两点，
将$C(0,2)$代入函数得：$2 = -\frac{2}{3}×0^{2} + b×0 + c$，解得$c = 2$。
将$B(2,2)$和$c = 2$代入函数得：$2 = -\frac{2}{3}×2^{2} + b×2 + 2$，
即$2 = -\frac{8}{3} + 2b + 2$，
$0 = -\frac{8}{3} + 2b$，
$2b = \frac{8}{3}$，
解得$b = \frac{4}{3}$。
∴该二次函数的表达式为$y=-\frac{2}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x + 2$。
∵正方形$OABC$的边长为2，顶点$A$，$C$分别在$x$轴、$y$轴的正半轴上，
∴点$C$的坐标为$(0,2)$，点$B$的坐标为$(2,2)$。
∵二次函数$y = -\frac{2}{3}x^{2} + bx + c$的图像经过$B$，$C$两点，
将$C(0,2)$代入函数得：$2 = -\frac{2}{3}×0^{2} + b×0 + c$，解得$c = 2$。
将$B(2,2)$和$c = 2$代入函数得：$2 = -\frac{2}{3}×2^{2} + b×2 + 2$，
即$2 = -\frac{8}{3} + 2b + 2$，
$0 = -\frac{8}{3} + 2b$，
$2b = \frac{8}{3}$，
解得$b = \frac{4}{3}$。
∴该二次函数的表达式为$y=-\frac{2}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x + 2$。
5. 已知二次函数有最大值 4，且图像与 $ x $ 轴两交点间的距离是 8，对称轴为直线 $ x = - 3 $，则该二次函数的表达式为
$y=-\frac{1}{4}x^{2}-\frac{3}{2}x + \frac{7}{4}$
.答案：$y=-\frac{1}{4}x^{2}-\frac{3}{2}x + \frac{7}{4}$ 解析：因为该函数图像与
$x$轴两交点间的距离是$8$，对称轴为直线$x = -3$，所
以该函数图像与$x$轴的两个交点的坐标分别是$(-7,0)$，$(1,0)$，故可设该二次函数的表达式为$y=a(x + 7)(x - 1)$.由题意，得该函数图像的顶点坐标是$(-3,4)$，所以$a × (-3 + 7) × (-3 - 1)=4$，解得$a = -\frac{1}{4}$，所以该二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{4}(x + 7)(x - 1)=-\frac{1}{4}x^{2}-\frac{3}{2}x + \frac{7}{4}$.
易错警示
若已知二次函数的图像与$x$轴的两个交点坐标$(x_1,0)$，$(x_2,0)$，则可设交点式$y = a(x -x_1)(x - x_2)$，从而求出函数表达式.
$x$轴两交点间的距离是$8$，对称轴为直线$x = -3$，所
以该函数图像与$x$轴的两个交点的坐标分别是$(-7,0)$，$(1,0)$，故可设该二次函数的表达式为$y=a(x + 7)(x - 1)$.由题意，得该函数图像的顶点坐标是$(-3,4)$，所以$a × (-3 + 7) × (-3 - 1)=4$，解得$a = -\frac{1}{4}$，所以该二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{4}(x + 7)(x - 1)=-\frac{1}{4}x^{2}-\frac{3}{2}x + \frac{7}{4}$.
易错警示
若已知二次函数的图像与$x$轴的两个交点坐标$(x_1,0)$，$(x_2,0)$，则可设交点式$y = a(x -x_1)(x - x_2)$，从而求出函数表达式.
6. (2023·浙江宁波)如图，已知二次函数 $ y = x^{2} + bx + c $ 的图像经过点 $ A(1,- 2) $，$ B(0,- 5) $.
(1) 求该二次函数的表达式及图像的顶点坐标；
(2) 当 $ y \leq - 2 $ 时，请根据图像直接写出 $ x $ 的取值范围.
]
(1) 求该二次函数的表达式及图像的顶点坐标；
(2) 当 $ y \leq - 2 $ 时，请根据图像直接写出 $ x $ 的取值范围.
]答案：(1)因为二次函数$y=x^{2}+bx + c$的图像经过点$A(1,-2)$，$B(0,-5)$，所以$\begin{cases}1 + b + c=-2,\\c=-5,\end{cases}$解得
$\begin{cases}b=2,\\c=-5,\end{cases}$
所以该二次函数的表达式为$y=x^{2}+2x - 5$.因为$y=x^{2}+2x - 5=(x + 1)^{2}-6$，所以该
二次函数图像的顶点坐标为$(-1,-6)$.
(2)因为二次函数$y=x^{2}+2x - 5$的图像经过点$A(1,-2)$，且对称轴为直线$x = -1$，所以该二次函数的图像也经过点$(-3,-2)$.结合题图可知，当$y \leq -2$时，$x$的取值范围为$-3 \leq x \leq 1$.
$\begin{cases}b=2,\\c=-5,\end{cases}$
所以该二次函数的表达式为$y=x^{2}+2x - 5$.因为$y=x^{2}+2x - 5=(x + 1)^{2}-6$，所以该
二次函数图像的顶点坐标为$(-1,-6)$.
(2)因为二次函数$y=x^{2}+2x - 5$的图像经过点$A(1,-2)$，且对称轴为直线$x = -1$，所以该二次函数的图像也经过点$(-3,-2)$.结合题图可知，当$y \leq -2$时，$x$的取值范围为$-3 \leq x \leq 1$.
7. 若抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的顶点是 $ A(2,1) $，且经过点 $ B(1,0) $，则该抛物线的函数表达式为(
A.$ y = x^{2} + 4x + 3 $
B.$ y = - x^{2} + 4x - 3 $
C.$ y = x^{2} - 4x + 3 $
D.$ y = - x^{2} + 4x + 3 $
B
)A.$ y = x^{2} + 4x + 3 $
B.$ y = - x^{2} + 4x - 3 $
C.$ y = x^{2} - 4x + 3 $
D.$ y = - x^{2} + 4x + 3 $
答案：B
解析：
解：
∵抛物线顶点是$A(2,1)$，
∴设抛物线表达式为$y=a(x - 2)^2 + 1$。
∵抛物线经过点$B(1,0)$，
∴$0 = a(1 - 2)^2 + 1$，
即$0 = a + 1$，解得$a = -1$。
∴抛物线表达式为$y = - (x - 2)^2 + 1 = -x^2 + 4x - 4 + 1 = -x^2 + 4x - 3$。
答案：B
∵抛物线顶点是$A(2,1)$，
∴设抛物线表达式为$y=a(x - 2)^2 + 1$。
∵抛物线经过点$B(1,0)$，
∴$0 = a(1 - 2)^2 + 1$，
即$0 = a + 1$，解得$a = -1$。
∴抛物线表达式为$y = - (x - 2)^2 + 1 = -x^2 + 4x - 4 + 1 = -x^2 + 4x - 3$。
答案：B
8. 已知抛物线经过点 $ A(2,0) $，$ B(- 1,0) $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，且 $ OC = 2 $，则该抛物线的函数表达式为(
A.$ y = x^{2} - x - 2 $
B.$ y = - x^{2} + x + 2 $
C.$ y = - x^{2} + x + 2 $ 或 $ y = x^{2} - x - 2 $
D.$ y = - x^{2} - x - 2 $ 或 $ y = x^{2} + x + 2 $
C
)A.$ y = x^{2} - x - 2 $
B.$ y = - x^{2} + x + 2 $
C.$ y = - x^{2} + x + 2 $ 或 $ y = x^{2} - x - 2 $
D.$ y = - x^{2} - x - 2 $ 或 $ y = x^{2} + x + 2 $
答案：C
解析：
∵抛物线经过点$A(2,0)$，$B(-1,0)$，
∴设抛物线表达式为$y=a(x - 2)(x + 1)$。
∵抛物线与$y$轴交于点$C$，$OC = 2$，
∴点$C$坐标为$(0,2)$或$(0,-2)$。
当$C(0,2)$时，代入表达式得：
$2=a(0 - 2)(0 + 1)$，
$2=-2a$，
解得$a=-1$，
此时表达式为$y=-(x - 2)(x + 1)=-x^{2}+x + 2$。
当$C(0,-2)$时，代入表达式得：
$-2=a(0 - 2)(0 + 1)$，
$-2=-2a$，
解得$a=1$，
此时表达式为$y=(x - 2)(x + 1)=x^{2}-x - 2$。
综上，抛物线表达式为$y=-x^{2}+x + 2$或$y=x^{2}-x - 2$。
C
9. 已知二次函数 $ y = x^{2} + bx + c $ 的图像经过点 $ B(0,- 2) $，它与反比例函数 $ y = - \frac{8}{x}(x \lt 0) $ 的图像交于点 $ A(m,4) $，则该二次函数的表达式为(
A.$ y = x^{2} - x - 2 $
B.$ y = x^{2} - x + 2 $
C.$ y = x^{2} + x - 2 $
D.$ y = x^{2} + x + 2 $
A
)A.$ y = x^{2} - x - 2 $
B.$ y = x^{2} - x + 2 $
C.$ y = x^{2} + x - 2 $
D.$ y = x^{2} + x + 2 $
答案：A 解析：因为点$A(m,4)$在函数$y=-\frac{8}{x}(x＜0)$的
图像上，所以$4 = -\frac{8}{m}$，所以$m = -2$，所以$A(-2,4)$.因为二次函数$y=x^{2}+bx + c$的图像经过点$A(-2,4)$，$B(0,-2)$，所以$\begin{cases}4 - 2b + c=4,\\c=-2,\end{cases}$解得
$\begin{cases}b=-1,\\c=-2,\end{cases}$
所以该二次函数的表达式为$y=x^{2}-x - 2$.
图像上，所以$4 = -\frac{8}{m}$，所以$m = -2$，所以$A(-2,4)$.因为二次函数$y=x^{2}+bx + c$的图像经过点$A(-2,4)$，$B(0,-2)$，所以$\begin{cases}4 - 2b + c=4,\\c=-2,\end{cases}$解得
$\begin{cases}b=-1,\\c=-2,\end{cases}$
所以该二次函数的表达式为$y=x^{2}-x - 2$.