10. (2025·江苏盐城模拟)已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $.若当 $ x = \frac{3}{2} $ 时，$ y $ 取最小值 $ - \frac{1}{4} $，且函数图像经过点 $ (0,2) $，则该二次函数的表达式为
$y=x^{2}-3x + 2$
.答案：$y=x^{2}-3x + 2$
解析：
解：因为二次函数当$x = \frac{3}{2}$时，$y$取最小值$-\frac{1}{4}$，所以设二次函数的顶点式为$y = a(x - \frac{3}{2})^{2} - \frac{1}{4}$。
又因为函数图像经过点$(0,2)$，将$x = 0$，$y = 2$代入得：
$2 = a(0 - \frac{3}{2})^{2} - \frac{1}{4}$
$2 = a× \frac{9}{4} - \frac{1}{4}$
$\frac{9}{4}a = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$
解得$a = 1$
所以二次函数表达式为$y = (x - \frac{3}{2})^{2} - \frac{1}{4}$，展开得：
$y = x^{2} - 3x + \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = x^{2} - 3x + 2$
$y=x^{2}-3x + 2$
又因为函数图像经过点$(0,2)$，将$x = 0$，$y = 2$代入得：
$2 = a(0 - \frac{3}{2})^{2} - \frac{1}{4}$
$2 = a× \frac{9}{4} - \frac{1}{4}$
$\frac{9}{4}a = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$
解得$a = 1$
所以二次函数表达式为$y = (x - \frac{3}{2})^{2} - \frac{1}{4}$，展开得：
$y = x^{2} - 3x + \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = x^{2} - 3x + 2$
$y=x^{2}-3x + 2$
11. 如图，抛物线 $ y = ax^{2} - 5ax + 4 $ 经过 $ \triangle ABC $ 的三个顶点，且 $ BC // x $ 轴，点 $ A $ 在 $ x $ 轴上，点 $ C $ 在 $ y $ 轴上.若 $ AC = BC $，则 $ a = $
$-\frac{1}{6}$
.答案：$-\frac{1}{6}$
解析：
解：当$x=0$时，$y=4$，则$C(0,4)$。
抛物线对称轴为$x=-\frac{-5a}{2a}=\frac{5}{2}$。
因为$BC // x$轴，所以$B$、$C$关于对称轴对称，$B(5,4)$，$BC=5$。
$AC=BC=5$，$OC=4$，在$Rt\triangle AOC$中，$OA=\sqrt{AC^{2}-OC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$，则$A(-3,0)$。
将$A(-3,0)$代入$y=ax^{2}-5ax + 4$，得$9a + 15a + 4=0$，解得$a=-\frac{1}{6}$。
$-\frac{1}{6}$
抛物线对称轴为$x=-\frac{-5a}{2a}=\frac{5}{2}$。
因为$BC // x$轴，所以$B$、$C$关于对称轴对称，$B(5,4)$，$BC=5$。
$AC=BC=5$，$OC=4$，在$Rt\triangle AOC$中，$OA=\sqrt{AC^{2}-OC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$，则$A(-3,0)$。
将$A(-3,0)$代入$y=ax^{2}-5ax + 4$，得$9a + 15a + 4=0$，解得$a=-\frac{1}{6}$。
$-\frac{1}{6}$
12. 新素养 几何直观 如图，直线 $ y = - 2x + 2 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A $，$ B $，以线段 $ AB $ 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形 $ ABC $，且 $ \angle BAC = 90^{\circ} $，则经过 $ A $，$ B $，$ C $ 三点的抛物线的函数表达式为
$y=\frac{5}{6}x^{2}-\frac{17}{6}x + 2$
.答案：$y=\frac{5}{6}x^{2}-\frac{17}{6}x + 2$ 解析：过点$C$作$CD ⊥ x$轴
于点$D$，则$\angle CDA = \angle AOB = 90^{\circ}$.在$y = -2x +2$中，令$x = 0$，得$y = 2$，所以$B(0,2)$，所以$OB =2$；令$y = 0$，得$-2x + 2 = 0$，解得$x = 1$，所以$A(1,0)$，所以$OA = 1$.因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以
$\angle CAD + \angle BAO = 90^{\circ}$.因为$\angle ABO + \angle BAO =90^{\circ}$，所以$\angle CAD = \angle ABO$.因为$\triangle ABC$为等腰
直角三角形，所以$CA = AB$.在$\triangle CAD$和$\triangle ABO$
中，$\begin{cases}\angle CDA = \angle AOB,\\\angle CAD = \angle ABO,\\CA = AB,\end{cases}$所以$\triangle CAD \cong \triangle ABO$，所
以$DC = OA = 1$，$DA = OB = 2$，所以$OD = OA +DA = 3$，所以$C(3,1)$.设经过$A$，$B$，$C$三点的抛
物线的函数表达式为$y = ax^{2}+bx + c$，则
$\begin{cases}a + b + c=0,\\c=2,\\9a + 3b + c=1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{5}{6},\\b=-\frac{17}{6},\\c=2,\end{cases}$
所以经过$A$，$B$，
$C$三点的抛物线的函数表达式为$y=\frac{5}{6}x^{2}-\frac{17}{6}x + 2$.
于点$D$，则$\angle CDA = \angle AOB = 90^{\circ}$.在$y = -2x +2$中，令$x = 0$，得$y = 2$，所以$B(0,2)$，所以$OB =2$；令$y = 0$，得$-2x + 2 = 0$，解得$x = 1$，所以$A(1,0)$，所以$OA = 1$.因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以
$\angle CAD + \angle BAO = 90^{\circ}$.因为$\angle ABO + \angle BAO =90^{\circ}$，所以$\angle CAD = \angle ABO$.因为$\triangle ABC$为等腰
直角三角形，所以$CA = AB$.在$\triangle CAD$和$\triangle ABO$
中，$\begin{cases}\angle CDA = \angle AOB,\\\angle CAD = \angle ABO,\\CA = AB,\end{cases}$所以$\triangle CAD \cong \triangle ABO$，所
以$DC = OA = 1$，$DA = OB = 2$，所以$OD = OA +DA = 3$，所以$C(3,1)$.设经过$A$，$B$，$C$三点的抛
物线的函数表达式为$y = ax^{2}+bx + c$，则
$\begin{cases}a + b + c=0,\\c=2,\\9a + 3b + c=1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{5}{6},\\b=-\frac{17}{6},\\c=2,\end{cases}$
所以经过$A$，$B$，
$C$三点的抛物线的函数表达式为$y=\frac{5}{6}x^{2}-\frac{17}{6}x + 2$.
13. 如图，抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 的顶点为 $ C $，与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，$ A(1,0) $，$ AB = 4 $，$ P $ 为线段 $ AB $ 上的动点，过点 $ P $ 作 $ PQ // BC $，交 $ AC $ 于点 $ Q $.
(1) 求该抛物线的函数表达式；
(2) 求 $ \triangle CPQ $ 面积的最大值，并求此时点 $ P $ 的坐标.
]
(1) 求该抛物线的函数表达式；
(2) 求 $ \triangle CPQ $ 面积的最大值，并求此时点 $ P $ 的坐标.
]答案：(1)因为$A(1,0)$，$AB = 4$，所以$B(-3,0)$.把点$A(1,0)$，$B(-3,0)$分别代入$y=x^{2}+bx + c$，得$\begin{cases}1 + b + c=0,\\9 - 3b + c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=2,\\c=-3,\end{cases}$所以该抛物线的函
数表达式为$y=x^{2}+2x - 3$.
(2)因为$y=x^{2}+2x - 3=(x + 1)^{2}-4$，所以$C(-1,-4)$.设直线$BC$的函数表达式为$y=kx + t$.把点$B(-3,0)$，$C(-1,-4)$分别代入$y=kx + t$，得$\begin{cases}-3k + t=0,\\-k + t=-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\t=-6,\end{cases}$
直线$BC$的函数表达式为$y=-2x - 6$.同理可得
直线$AC$的函数表达式为$y=2x - 2$.设$P(m,0)$
($-3 \leq m \leq 1$).因为$PQ // BC$，所以可设直线$PQ$
的函数表达式为$y=-2x + n$.把点$P(m,0)$代入$y=-2x + n$，得$-2m + n = 0$，所以$n = 2m$，所以直线$PQ$的函数表达式为$y=-2x + 2m$.联立方程组$\begin{cases}y=-2x + 2m,\\y=2x - 2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\frac{m + 1}{2},\\y=m - 1,\end{cases}$所以$Q(\frac{m + 1}{2},m - 1)$.过点$C$，$Q$分别作$CE ⊥ x$轴于点$E$，$QF ⊥ x$轴于点$F$，则$CE = 4$，$QF = 1 - m$.因为$AP = 1 - m$，所以$S_{\triangle APC}=\frac{1}{2}AP · CE = 2(1 - m)$，$S_{\triangle APQ}=\frac{1}{2}AP · QF = \frac{1}{2}(1 - m)^{2}$，所以$S_{\triangle CPQ}=S_{\triangle APC}-S_{\triangle APQ}=\frac{1}{2}m^{2}-m + \frac{3}{2}=-\frac{1}{2}(m +1)^{2}+2$.当$m = -1$时，$S_{\triangle CPQ}$取最大值$2$，此时点$P$的坐标为$(-1,0)$.故$\triangle CPQ$面积的最大值为$2$，此时点$P$的坐标为$(-1,0)$.
数表达式为$y=x^{2}+2x - 3$.
(2)因为$y=x^{2}+2x - 3=(x + 1)^{2}-4$，所以$C(-1,-4)$.设直线$BC$的函数表达式为$y=kx + t$.把点$B(-3,0)$，$C(-1,-4)$分别代入$y=kx + t$，得$\begin{cases}-3k + t=0,\\-k + t=-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\t=-6,\end{cases}$
直线$BC$的函数表达式为$y=-2x - 6$.同理可得
直线$AC$的函数表达式为$y=2x - 2$.设$P(m,0)$
($-3 \leq m \leq 1$).因为$PQ // BC$，所以可设直线$PQ$
的函数表达式为$y=-2x + n$.把点$P(m,0)$代入$y=-2x + n$，得$-2m + n = 0$，所以$n = 2m$，所以直线$PQ$的函数表达式为$y=-2x + 2m$.联立方程组$\begin{cases}y=-2x + 2m,\\y=2x - 2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\frac{m + 1}{2},\\y=m - 1,\end{cases}$所以$Q(\frac{m + 1}{2},m - 1)$.过点$C$，$Q$分别作$CE ⊥ x$轴于点$E$，$QF ⊥ x$轴于点$F$，则$CE = 4$，$QF = 1 - m$.因为$AP = 1 - m$，所以$S_{\triangle APC}=\frac{1}{2}AP · CE = 2(1 - m)$，$S_{\triangle APQ}=\frac{1}{2}AP · QF = \frac{1}{2}(1 - m)^{2}$，所以$S_{\triangle CPQ}=S_{\triangle APC}-S_{\triangle APQ}=\frac{1}{2}m^{2}-m + \frac{3}{2}=-\frac{1}{2}(m +1)^{2}+2$.当$m = -1$时，$S_{\triangle CPQ}$取最大值$2$，此时点$P$的坐标为$(-1,0)$.故$\triangle CPQ$面积的最大值为$2$，此时点$P$的坐标为$(-1,0)$.
14. 新素养 推理能力 已知函数 $ y = a(x - h)^{2} + k(a \neq 0) $.当 $ x = 1 $ 时，$ y = 1 $；当 $ x = 8 $ 时，$ y = 8 $.下列判断正确的是(
A.若 $ h = 4 $，则 $ a \lt 0 $
B.若 $ h = 5 $，则 $ a \gt 0 $
C.若 $ h = 6 $，则 $ a \lt 0 $
D.若 $ h = 7 $，则 $ a \gt 0 $
C
)A.若 $ h = 4 $，则 $ a \lt 0 $
B.若 $ h = 5 $，则 $ a \gt 0 $
C.若 $ h = 6 $，则 $ a \lt 0 $
D.若 $ h = 7 $，则 $ a \gt 0 $
答案：C 解析：把$x = 1$，$y = 1$和$x = 8$，$y = 8$分别代入$y=a(x - h)^{2}+k$，得$\begin{cases}a(1 - h)^{2}+k=1,\\a(8 - h)^{2}+k=8.\end{cases}$
两式相
减并整理，得$a(9 - 2h)=1$，所以$a = \frac{1}{9 - 2h}$.若$h = 4$，则$a = 1 ＞ 0$，故选项A错误；若$h = 5$，则$a = -1 ＜ 0$，故选项B错误；若$h = 6$，则$a =-\frac{1}{3}＜0$，故选项C正确；若$h = 7$，则$a =-\frac{1}{5}＜0$，故选项D错误.
两式相
减并整理，得$a(9 - 2h)=1$，所以$a = \frac{1}{9 - 2h}$.若$h = 4$，则$a = 1 ＞ 0$，故选项A错误；若$h = 5$，则$a = -1 ＜ 0$，故选项B错误；若$h = 6$，则$a =-\frac{1}{3}＜0$，故选项C正确；若$h = 7$，则$a =-\frac{1}{5}＜0$，故选项D错误.
15. 亮点原创 在二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 中，函数 $ y $ 与自变量 $ x $ 的部分对应值如下表：
则 $ (a + b + c)(a - b + c) = $
则 $ (a + b + c)(a - b + c) = $
2025
.答案：2025 解析：因为当$x = 1$和$x = 5$时，$y$的值都
为$25$，所以$a + b + c = 25$，且二次函数$y=ax^{2}+bx + c$的图像的对称轴为直线$x=\frac{1 + 5}{2}=3$.因为
当$x = 7$时，$y = 81$，所以当$x = 3 × 2 - 7 = -1$时，$y = 81$，即$a - b + c = 81$，所以$(a + b + c)(a - b +c)=25 × 81 = 2025$.
为$25$，所以$a + b + c = 25$，且二次函数$y=ax^{2}+bx + c$的图像的对称轴为直线$x=\frac{1 + 5}{2}=3$.因为
当$x = 7$时，$y = 81$，所以当$x = 3 × 2 - 7 = -1$时，$y = 81$，即$a - b + c = 81$，所以$(a + b + c)(a - b +c)=25 × 81 = 2025$.
16. 如图，抛物线 $ y = ax^{2} + 4x + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，直线 $ y = - x + 5 $ 经过点 $ B $，$ C $.
(1) 求该抛物线的函数表达式；
(2) 已知点 $ D(1,0) $，$ P $ 为抛物线对称轴上一动点，$ Q $ 为抛物线上一动点，连接 $ BP $，$ CP $.
① 若 $ \angle CPB = 90^{\circ} $，求点 $ P $ 的坐标；
② 若以 $ C $，$ D $，$ P $，$ Q $ 四点为顶点的四边形是平行四边形，求点 $ P $ 的坐标.
]
(1) 求该抛物线的函数表达式；
(2) 已知点 $ D(1,0) $，$ P $ 为抛物线对称轴上一动点，$ Q $ 为抛物线上一动点，连接 $ BP $，$ CP $.
① 若 $ \angle CPB = 90^{\circ} $，求点 $ P $ 的坐标；
② 若以 $ C $，$ D $，$ P $，$ Q $ 四点为顶点的四边形是平行四边形，求点 $ P $ 的坐标.
]
答案：(1)在$y = -x + 5$中，令$x = 0$，得$y = 5$，所以$C(0,5)$；令$y = 0$，得$-x + 5 = 0$，解得$x = 5$，所以$B(5,0)$.因为抛物线$y=ax^{2}+4x + c$经过$B$，$C$两
点，所以$\begin{cases}25a + 20 + c=0,\\c=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\c=5,\end{cases}$
所以该
抛物线的函数表达式为$y=-x^{2}+4x + 5$.
(2)①因为抛物线$y=-x^{2}+4x + 5$的对称轴为
直线$x=-\frac{4}{2 × (-1)}=2$，所以可设点$P$的坐标
为$(2,t)$.因为$B(5,0)$，$C(0,5)$，所以$CP^{2}=(2 -0)^{2}+(t - 5)^{2}=t^{2}-10t + 29$，$BP^{2}=(2 - 5)^{2}+(t - 0)^{2}=t^{2}+9$，$BC^{2}=(0 - 5)^{2}+(5 - 0)^{2}=50$.因为$\angle CPB = 90^{\circ}$，所以$CP^{2}+BP^{2}=BC^{2}$，所
以$t^{2}-10t + 29 + t^{2}+9 = 50$，解得$t_1 = -1$，$t_2 = 6$，
所以点$P$的坐标为$(2,-1)$或$(2,6)$.
②由题意，得$C(0,5)$，$D(1,0)$.设$P(2,n)$，$Q(m,-m^{2}+4m + 5)$.当以$C$，$D$，$P$，$Q$四点为顶点
的四边形是平行四边形时，分类讨论如下：若$CD$
为该平行四边形的对角线，则$\begin{cases}2 + m=0 + 1,\\n+(-m^{2}+4m + 5)=5 + 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1,\\n=5,\end{cases}$
所以$P(2,5)$；若$CP$为该平行四边形的对角线，则$\begin{cases}1 + m=0 + 2,\\0+(-m^{2}+4m + 5)=5 + n,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=1,\\n=3,\end{cases}$
所以$P(2,3)$；若$CQ$为该平行四边形的对角线，则$\begin{cases}0 + m=1 + 2,\\5+(-m^{2}+4m + 5)=0 + n,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=3,\\n=13,\end{cases}$
所以$P(2,13)$.综上所述，点$P$的坐标为$(2,5)$或$(2,3)$或$(2,13)$.
点，所以$\begin{cases}25a + 20 + c=0,\\c=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\c=5,\end{cases}$
所以该
抛物线的函数表达式为$y=-x^{2}+4x + 5$.
(2)①因为抛物线$y=-x^{2}+4x + 5$的对称轴为
直线$x=-\frac{4}{2 × (-1)}=2$，所以可设点$P$的坐标
为$(2,t)$.因为$B(5,0)$，$C(0,5)$，所以$CP^{2}=(2 -0)^{2}+(t - 5)^{2}=t^{2}-10t + 29$，$BP^{2}=(2 - 5)^{2}+(t - 0)^{2}=t^{2}+9$，$BC^{2}=(0 - 5)^{2}+(5 - 0)^{2}=50$.因为$\angle CPB = 90^{\circ}$，所以$CP^{2}+BP^{2}=BC^{2}$，所
以$t^{2}-10t + 29 + t^{2}+9 = 50$，解得$t_1 = -1$，$t_2 = 6$，
所以点$P$的坐标为$(2,-1)$或$(2,6)$.
②由题意，得$C(0,5)$，$D(1,0)$.设$P(2,n)$，$Q(m,-m^{2}+4m + 5)$.当以$C$，$D$，$P$，$Q$四点为顶点
的四边形是平行四边形时，分类讨论如下：若$CD$
为该平行四边形的对角线，则$\begin{cases}2 + m=0 + 1,\\n+(-m^{2}+4m + 5)=5 + 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-1,\\n=5,\end{cases}$
所以$P(2,5)$；若$CP$为该平行四边形的对角线，则$\begin{cases}1 + m=0 + 2,\\0+(-m^{2}+4m + 5)=5 + n,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=1,\\n=3,\end{cases}$
所以$P(2,3)$；若$CQ$为该平行四边形的对角线，则$\begin{cases}0 + m=1 + 2,\\5+(-m^{2}+4m + 5)=0 + n,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=3,\\n=13,\end{cases}$
所以$P(2,13)$.综上所述，点$P$的坐标为$(2,5)$或$(2,3)$或$(2,13)$.