1. 新素养 推理能力 (2025·江苏苏州模拟) 如图, 在平面直角坐标系中, $ O $ 是原点, 抛物线 $ y = -\dfrac{1}{2}x^{2} + bx + c $ 经过 $ A(-1,0) $, $ B(4,0) $ 两点.
(1) 求该抛物线的函数表达式;
(2) 若 $ C(m,m - 1) $ 是抛物线上位于第一象限内的点, $ D $ 是线段 $ AB $ 上的一个动点 (不与点 $ A $, $ B $ 重合), 过点 $ D $ 分别作 $ DE // BC $, 交 $ AC $ 于点 $ E $, $ DF // AC $, 交 $ BC $ 于点 $ F $, 连接 $ EF $.
① 求证: 四边形 $ DECF $ 为矩形;
② 线段 $ EF $ 的长是否存在最小值? 若存在, 请求出最小值; 若不存在, 请说明理由.
(1) 求该抛物线的函数表达式;
(2) 若 $ C(m,m - 1) $ 是抛物线上位于第一象限内的点, $ D $ 是线段 $ AB $ 上的一个动点 (不与点 $ A $, $ B $ 重合), 过点 $ D $ 分别作 $ DE // BC $, 交 $ AC $ 于点 $ E $, $ DF // AC $, 交 $ BC $ 于点 $ F $, 连接 $ EF $.
① 求证: 四边形 $ DECF $ 为矩形;
② 线段 $ EF $ 的长是否存在最小值? 若存在, 请求出最小值; 若不存在, 请说明理由.
答案：
1.(1)因为抛物线$y=-\frac{1}{2}x^{2}+bx+c$经过$A(-1,0)$，$B(4,0)$两点，所以$\begin{cases}-\frac{1}{2}-b+c=0 \\ -8+4b+c=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}b=\frac{3}{2} \\ c=2 \end{cases}$，所以该抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x+2$.
(2)①如图，过点$C$作$CH⊥ x$轴于点$H$，则$\angle AHC=\angle BHC=90^{\circ}$.因为$A(-1,0)$，$B(4,0)$，所以$OA=1$，$OB=4$，所以$AB=OA+OB=5$.把点$C(m,m - 1)$代入$y=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x+2$，得$m - 1=-\frac{1}{2}m^{2}+\frac{3}{2}m+2$，解得$m = 3$或$-2$.因为点$C(m,m - 1)$位于第一象限，所以$m = 3$，所以$C(3,2)$，所以$OH = 3$，$CH = 2$，所以$AH = OA + OH = 4$，$BH = OB - OH = 1$，所以$AC^{2}=CH^{2}+AH^{2}=20$，$BC^{2}=CH^{2}+BH^{2}=5$，所以$AC^{2}+BC^{2}=25$.因为$AB^{2}=25$，所以$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$.因为$DE// BC$，$DF// AC$，所以$\angle CED = 180^{\circ}-\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle CFD = 180^{\circ}-\angle ACB = 90^{\circ}$，所以四边形$DECF$为矩形.
②如图，连接$CD$.因为四边形$DECF$为矩形，所以$EF = CD$.当$CD⊥ AB$时，$CD$的长最小，即$EF$的长最小.因为$C(3,2)$，所以$CD$长的最小值为$2$，所以$EF$长的最小值为$2$.
1.(1)因为抛物线$y=-\frac{1}{2}x^{2}+bx+c$经过$A(-1,0)$，$B(4,0)$两点，所以$\begin{cases}-\frac{1}{2}-b+c=0 \\ -8+4b+c=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}b=\frac{3}{2} \\ c=2 \end{cases}$，所以该抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x+2$.
(2)①如图，过点$C$作$CH⊥ x$轴于点$H$，则$\angle AHC=\angle BHC=90^{\circ}$.因为$A(-1,0)$，$B(4,0)$，所以$OA=1$，$OB=4$，所以$AB=OA+OB=5$.把点$C(m,m - 1)$代入$y=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x+2$，得$m - 1=-\frac{1}{2}m^{2}+\frac{3}{2}m+2$，解得$m = 3$或$-2$.因为点$C(m,m - 1)$位于第一象限，所以$m = 3$，所以$C(3,2)$，所以$OH = 3$，$CH = 2$，所以$AH = OA + OH = 4$，$BH = OB - OH = 1$，所以$AC^{2}=CH^{2}+AH^{2}=20$，$BC^{2}=CH^{2}+BH^{2}=5$，所以$AC^{2}+BC^{2}=25$.因为$AB^{2}=25$，所以$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$.因为$DE// BC$，$DF// AC$，所以$\angle CED = 180^{\circ}-\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle CFD = 180^{\circ}-\angle ACB = 90^{\circ}$，所以四边形$DECF$为矩形.
②如图，连接$CD$.因为四边形$DECF$为矩形，所以$EF = CD$.当$CD⊥ AB$时，$CD$的长最小，即$EF$的长最小.因为$C(3,2)$，所以$CD$长的最小值为$2$，所以$EF$长的最小值为$2$.
2. 如图, 一次函数 $ y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}x - \sqrt{3} $ 的图像与坐标轴交于点 $ A $, $ B $, 二次函数 $ y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}x^{2} + bx + c $ 的图像经过 $ A $, $ B $ 两点.
(1) 求二次函数的表达式;
(2) 若点 $ B $ 关于抛物线对称轴的对称点为 $ C $, $ P $ 是对称轴上一动点, 则在抛物线上是否存在点 $ Q $, 使得以 $ B $, $ C $, $ P $, $ Q $ 四点为顶点的四边形是菱形? 若存在, 求出点 $ Q $ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
(1) 求二次函数的表达式;
(2) 若点 $ B $ 关于抛物线对称轴的对称点为 $ C $, $ P $ 是对称轴上一动点, 则在抛物线上是否存在点 $ Q $, 使得以 $ B $, $ C $, $ P $, $ Q $ 四点为顶点的四边形是菱形? 若存在, 求出点 $ Q $ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
答案：2.(1)在$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}$中，令$x = 0$，得$y=-\sqrt{3}$，所以$B(0,-\sqrt{3})$；令$y = 0$，得$\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}=0$，解得$x = 3$，所以$A(3,0)$.把点$A(3,0)$，$B(0,-\sqrt{3})$分别代入$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x^{2}+bx+c$，得$\begin{cases}3\sqrt{3}+3b+c=0 \\ c=-\sqrt{3} \end{cases}$，解得$b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，所以二次函数的表达式为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}$.
(2)因为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}(x - 1)^{2}-\frac{4\sqrt{3}}{3}$，所以该抛物线的对称轴为直线$x = 1$.因为点$B(0,-\sqrt{3})$和点$C$关于直线$x = 1$对称，所以$C(2,-\sqrt{3})$.设$P(1,m)$，$Q(n,\frac{\sqrt{3}}{3}n^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}n-\sqrt{3})$.当以$B$，$C$，$P$，$Q$四点为顶点的四边形是菱形时，分类讨论如下：①若$BC$为该菱形的对角线，则$\begin{cases}1 + n=0 + 2 \\ m+\frac{\sqrt{3}}{3}n^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}n-\sqrt{3}=-\sqrt{3}-\sqrt{3} \end{cases}$，解得$m=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$n = 1$，则$P(1,-\frac{2\sqrt{3}}{3})$，$Q(1,-\frac{4\sqrt{3}}{3})$，所以$BP^{2}=(0 - 1)^{2}+[-\sqrt{3}-(-\frac{2\sqrt{3}}{3})]^{2}=\frac{4}{3}$，$BQ^{2}=(0 - 1)^{2}+[-\sqrt{3}-(-\frac{4\sqrt{3}}{3})]^{2}=\frac{4}{3}$，所以$BP = BQ$，所以四边形$BQCP$是菱形；②若$BP$为该菱形的对角线，则$\begin{cases}2 + n=0 + 1 \\ -\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}n^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}n-\sqrt{3}=-\sqrt{3}+m \end{cases}$，解得$m = 0$，$n = -1$，则$P(1,0)$，$Q(-1,0)$，所以$BQ^{2}=[0-(-1)]^{2}+(-\sqrt{3}-0)^{2}=4$.因为$BC^{2}=(0 - 2)^{2}+[-\sqrt{3}-(-\sqrt{3})]^{2}=4$，所以$BQ = BC$，所以四边形$BQPC$是菱形；③若$BQ$为该菱形的对角线，则$\begin{cases}2 + 1=0 + n \\ -\sqrt{3}+m=-\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}n^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}n-\sqrt{3} \end{cases}$，解得$m = 0$，$n = 3$，则$P(1,0)$，$Q(3,0)$，所以$BP^{2}=(0 - 1)^{2}+(-\sqrt{3}-0)^{2}=4$，所以$BP = BC$，所以四边形$BCQP$是菱形.综上所述，存在满足题意的点$Q$，且点$Q$的坐标为$(1,-\frac{4\sqrt{3}}{3})$或$(-1,0)$或$(3,0)$.
(2)因为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}(x - 1)^{2}-\frac{4\sqrt{3}}{3}$，所以该抛物线的对称轴为直线$x = 1$.因为点$B(0,-\sqrt{3})$和点$C$关于直线$x = 1$对称，所以$C(2,-\sqrt{3})$.设$P(1,m)$，$Q(n,\frac{\sqrt{3}}{3}n^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}n-\sqrt{3})$.当以$B$，$C$，$P$，$Q$四点为顶点的四边形是菱形时，分类讨论如下：①若$BC$为该菱形的对角线，则$\begin{cases}1 + n=0 + 2 \\ m+\frac{\sqrt{3}}{3}n^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}n-\sqrt{3}=-\sqrt{3}-\sqrt{3} \end{cases}$，解得$m=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$n = 1$，则$P(1,-\frac{2\sqrt{3}}{3})$，$Q(1,-\frac{4\sqrt{3}}{3})$，所以$BP^{2}=(0 - 1)^{2}+[-\sqrt{3}-(-\frac{2\sqrt{3}}{3})]^{2}=\frac{4}{3}$，$BQ^{2}=(0 - 1)^{2}+[-\sqrt{3}-(-\frac{4\sqrt{3}}{3})]^{2}=\frac{4}{3}$，所以$BP = BQ$，所以四边形$BQCP$是菱形；②若$BP$为该菱形的对角线，则$\begin{cases}2 + n=0 + 1 \\ -\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}n^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}n-\sqrt{3}=-\sqrt{3}+m \end{cases}$，解得$m = 0$，$n = -1$，则$P(1,0)$，$Q(-1,0)$，所以$BQ^{2}=[0-(-1)]^{2}+(-\sqrt{3}-0)^{2}=4$.因为$BC^{2}=(0 - 2)^{2}+[-\sqrt{3}-(-\sqrt{3})]^{2}=4$，所以$BQ = BC$，所以四边形$BQPC$是菱形；③若$BQ$为该菱形的对角线，则$\begin{cases}2 + 1=0 + n \\ -\sqrt{3}+m=-\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}n^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}n-\sqrt{3} \end{cases}$，解得$m = 0$，$n = 3$，则$P(1,0)$，$Q(3,0)$，所以$BP^{2}=(0 - 1)^{2}+(-\sqrt{3}-0)^{2}=4$，所以$BP = BC$，所以四边形$BCQP$是菱形.综上所述，存在满足题意的点$Q$，且点$Q$的坐标为$(1,-\frac{4\sqrt{3}}{3})$或$(-1,0)$或$(3,0)$.
3. 新趋势 推导探究 如图, 已知抛物线 $ y = \dfrac{1}{2}x^{2} - x + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $, $ B $ 两点, 顶点 $ M $ 关于 $ x $ 轴的对称点是 $ M' $.
(1) 若点 $ A $ 的坐标为 $ (-4,0) $, 求该抛物线的函数表达式;
(2) 在 (1) 的条件下, 求四边形 $ AMBM' $ 的面积;
(3) 是否存在抛物线 $ y = \dfrac{1}{2}x^{2} - x + c $, 使得四边形 $ AMBM' $ 为正方形? 若存在, 请求出该抛物线的函数表达式; 若不存在, 请说明理由.
(1) 若点 $ A $ 的坐标为 $ (-4,0) $, 求该抛物线的函数表达式;
(2) 在 (1) 的条件下, 求四边形 $ AMBM' $ 的面积;
(3) 是否存在抛物线 $ y = \dfrac{1}{2}x^{2} - x + c $, 使得四边形 $ AMBM' $ 为正方形? 若存在, 请求出该抛物线的函数表达式; 若不存在, 请说明理由.
答案：3.(1)把点$A(-4,0)$代入$y=\frac{1}{2}x^{2}-x+c$，得$\frac{1}{2}×(-4)^{2}-(-4)+c=0$，解得$c=-12$，所以该抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x^{2}-x-12$.
(2)过点$M$作$MC⊥ x$轴于点$C$.因为$y=\frac{1}{2}x^{2}-x-12=\frac{1}{2}(x - 1)^{2}-\frac{25}{2}$，所以该抛物线的顶点$M$的坐标为$(1,-\frac{25}{2})$，所以$MC=\frac{25}{2}$.因为点$A$的坐标为$(-4,0)$，所以由抛物线的对称性可知点$B$的坐标为$(6,0)$，所以$OB = 6$.因为$OA = 4$，所以$AB = OA + OB = 10$，所以$S_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}AB· MC=\frac{125}{2}$.因为点$M'$与点$M$关于$x$轴对称，所以$S_{四边形AMBM'}=2S_{\triangle ABM}=125$.故四边形$AMBM'$的面积为$125$.
(3)因为点$M$与点$M'$关于直线$AB$对称，所以若四边形$AMBM'$为正方形，则$\triangle ABM$为等腰直角三角形.过点$M$作$MN⊥ x$轴于点$N$，则$MN=NB=\frac{1}{2}AB$.因为抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}-x+c$的对称轴为直线$x = 1$，$M$为该抛物线的顶点，所以$N(1,0)$，所以$ON = 1$.设$B(m,0)$，则$OB = m$，所以$MN = NB = OB - ON = m - 1$，所以$M(1,1 - m)$.因为抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}-x+c$经过点$M$，$B$，所以$\begin{cases}\frac{1}{2}-1+c=1-m \\ \frac{1}{2}m^{2}-m+c=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 1 \\ c=\frac{1}{2} \end{cases}$或$\begin{cases}m = 3 \\ c=-\frac{3}{2} \end{cases}$.当$c=\frac{1}{2}$时，$y=\frac{1}{2}x^{2}-x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(x - 1)^{2}$，不合题意，舍去；当$c=-\frac{3}{2}$时，$y=\frac{1}{2}x^{2}-x-\frac{3}{2}$，此时$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$M(1,-2)$，$M'(1,2)$，符合题意.综上所述，存在满足题意的抛物线，且该抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x^{2}-x-\frac{3}{2}$.
(2)过点$M$作$MC⊥ x$轴于点$C$.因为$y=\frac{1}{2}x^{2}-x-12=\frac{1}{2}(x - 1)^{2}-\frac{25}{2}$，所以该抛物线的顶点$M$的坐标为$(1,-\frac{25}{2})$，所以$MC=\frac{25}{2}$.因为点$A$的坐标为$(-4,0)$，所以由抛物线的对称性可知点$B$的坐标为$(6,0)$，所以$OB = 6$.因为$OA = 4$，所以$AB = OA + OB = 10$，所以$S_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}AB· MC=\frac{125}{2}$.因为点$M'$与点$M$关于$x$轴对称，所以$S_{四边形AMBM'}=2S_{\triangle ABM}=125$.故四边形$AMBM'$的面积为$125$.
(3)因为点$M$与点$M'$关于直线$AB$对称，所以若四边形$AMBM'$为正方形，则$\triangle ABM$为等腰直角三角形.过点$M$作$MN⊥ x$轴于点$N$，则$MN=NB=\frac{1}{2}AB$.因为抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}-x+c$的对称轴为直线$x = 1$，$M$为该抛物线的顶点，所以$N(1,0)$，所以$ON = 1$.设$B(m,0)$，则$OB = m$，所以$MN = NB = OB - ON = m - 1$，所以$M(1,1 - m)$.因为抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}-x+c$经过点$M$，$B$，所以$\begin{cases}\frac{1}{2}-1+c=1-m \\ \frac{1}{2}m^{2}-m+c=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 1 \\ c=\frac{1}{2} \end{cases}$或$\begin{cases}m = 3 \\ c=-\frac{3}{2} \end{cases}$.当$c=\frac{1}{2}$时，$y=\frac{1}{2}x^{2}-x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(x - 1)^{2}$，不合题意，舍去；当$c=-\frac{3}{2}$时，$y=\frac{1}{2}x^{2}-x-\frac{3}{2}$，此时$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$M(1,-2)$，$M'(1,2)$，符合题意.综上所述，存在满足题意的抛物线，且该抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x^{2}-x-\frac{3}{2}$.