1. (教材P28习题1变式)若二次函数$ y = kx^{2} - 4x + 1 $的图像与x轴有交点，则k的取值范围是(
A.$ k \leqslant 4 $
B.$ k \geqslant 4 $
C.$ k ＜ 4 $且$ k \neq 0 $
D.$ k \leqslant 4 $且$ k \neq 0 $
D
)A.$ k \leqslant 4 $
B.$ k \geqslant 4 $
C.$ k ＜ 4 $且$ k \neq 0 $
D.$ k \leqslant 4 $且$ k \neq 0 $
答案：1.D
解析：
要使二次函数$y = kx^2 - 4x + 1$的图像与$x$轴有交点，需满足：
1. 函数为二次函数，所以$k \neq 0$；
2. 判别式$\Delta \geq 0$，即$(-4)^2 - 4k × 1 \geq 0$，解得$k \leq 4$。
综上，$k$的取值范围是$k \leq 4$且$k \neq 0$。
D
1. 函数为二次函数，所以$k \neq 0$；
2. 判别式$\Delta \geq 0$，即$(-4)^2 - 4k × 1 \geq 0$，解得$k \leq 4$。
综上，$k$的取值范围是$k \leq 4$且$k \neq 0$。
D
2. (2025·四川泸州)已知抛物线$ y = ax^{2} + bx + c $的对称轴为直线$ x = 1 $，与y轴的交点在x轴下方，且当$ x = - 1 $时，$ y ＞ 0 $，则下列结论正确的是(
A.$ 2a = b $
B.$ b^{2} - 4ac ＜ 0 $
C.$ a - 2b + 4c ＜ 0 $
D.$ 8a + c ＞ 0 $
D
)A.$ 2a = b $
B.$ b^{2} - 4ac ＜ 0 $
C.$ a - 2b + 4c ＜ 0 $
D.$ 8a + c ＞ 0 $
答案：
2.D 解析：因为抛物线$y=ax^{2}+bx+c$的对称轴为直线$x=1$，所以$-\frac{b}{2a}=1$，所以$2a=-b$，故选项A不合题意；因为该抛物线与$y$轴的交点在$x$轴下方，且当$x=-1$时，$y＞0$，所以该抛物线大致如图所示，由图可知该抛物线与$x$轴有两个交点，所以$b^{2}-4ac＞0$，故选项B不合题意；因为当$x=-2$时，$y＞0$，所以$4a-2b+c＞0$，所以$4a+4a+c＞0$，即$8a+c＞0$，故选项D符合题意；当$x=-\frac{1}{2}$时，$y=\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b+c=\frac{1}{4}(a-2b+4c)$。因为当$x=-\frac{1}{2}$时，$y$与$0$的大小无法判断，所以$a-2b+4c$与$0$的大小无法判断，故选项C不合题意。
2.D 解析：因为抛物线$y=ax^{2}+bx+c$的对称轴为直线$x=1$，所以$-\frac{b}{2a}=1$，所以$2a=-b$，故选项A不合题意；因为该抛物线与$y$轴的交点在$x$轴下方，且当$x=-1$时，$y＞0$，所以该抛物线大致如图所示，由图可知该抛物线与$x$轴有两个交点，所以$b^{2}-4ac＞0$，故选项B不合题意；因为当$x=-2$时，$y＞0$，所以$4a-2b+c＞0$，所以$4a+4a+c＞0$，即$8a+c＞0$，故选项D符合题意；当$x=-\frac{1}{2}$时，$y=\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b+c=\frac{1}{4}(a-2b+4c)$。因为当$x=-\frac{1}{2}$时，$y$与$0$的大小无法判断，所以$a-2b+4c$与$0$的大小无法判断，故选项C不合题意。
3. 已知抛物线$ y = x^{2} - 6x + c $与x轴只有一个交点，则$ c = $
9
。答案：3.9
解析：
解：抛物线$y = x^{2} - 6x + c$与$x$轴只有一个交点，
则判别式$\Delta = (-6)^{2} - 4×1× c = 0$，
即$36 - 4c = 0$，
解得$c = 9$。
9
则判别式$\Delta = (-6)^{2} - 4×1× c = 0$，
即$36 - 4c = 0$，
解得$c = 9$。
9
4. (2024·山东枣庄改编)已知抛物线$ y = ax^{2} + bx - 3(a ＞ 0) $经过点$ P(2, - 3) $，且与x轴的两个交点分别为$ (x_{1},0) $，$ (x_{2},0) $。若$ 4 ＜ x_{2} - x_{1} ＜ 6 $，则a的取值范围是
$\frac{3}{8}＜a＜1$
。答案：4.$\frac{3}{8}＜a＜1$
解析：
解：将点$P(2, -3)$代入抛物线$y = ax^{2} + bx - 3$，得$4a + 2b - 3 = -3$，即$2a + b = 0$，所以$b = -2a$，抛物线方程为$y = ax^{2} - 2ax - 3$。
对于一元二次方程$ax^{2} - 2ax - 3 = 0$，由韦达定理得$x_{1} + x_{2} = 2$，$x_{1}x_{2} = -\frac{3}{a}$。
$x_{2} - x_{1} = \sqrt{(x_{1} + x_{2})^{2} - 4x_{1}x_{2}} = \sqrt{4 + \frac{12}{a}}$。
因为$4 ＜ x_{2} - x_{1} ＜ 6$，所以$16 ＜ 4 + \frac{12}{a} ＜ 36$，即$12 ＜ \frac{12}{a} ＜ 32$，解得$\frac{3}{8} ＜ a ＜ 1$。
$\frac{3}{8}＜a＜1$
对于一元二次方程$ax^{2} - 2ax - 3 = 0$，由韦达定理得$x_{1} + x_{2} = 2$，$x_{1}x_{2} = -\frac{3}{a}$。
$x_{2} - x_{1} = \sqrt{(x_{1} + x_{2})^{2} - 4x_{1}x_{2}} = \sqrt{4 + \frac{12}{a}}$。
因为$4 ＜ x_{2} - x_{1} ＜ 6$，所以$16 ＜ 4 + \frac{12}{a} ＜ 36$，即$12 ＜ \frac{12}{a} ＜ 32$，解得$\frac{3}{8} ＜ a ＜ 1$。
$\frac{3}{8}＜a＜1$
5. 新素养抽象能力规定：如果两个函数的图像关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”。例如：函数$ y = x + 3 $与$ y = - x + 3 $互为“Y函数”。若函数$ y = \frac{k}{4}x^{2} + (k - 1)x + k - 3 $的图像与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”的图像与x轴的交点坐标为
$(3,0)$或$(4,0)$
。答案：5.$(3,0)$或$(4,0)$ 解析：因为函数$y=\frac{k}{4}x^{2}+(k-1)x+k-3$的图像与$x$轴只有一个交点，所以分类讨论如下：①当$k=0$时，原函数即为$y=-x-3$，符合题意，且它的“$Y$函数”为$y=x-3$。在$y=x-3$中，令$y=0$，得$x-3=0$，解得$x=3$，所以它的“$Y$函数”的图像与$x$轴的交点坐标为$(3,0)$；②当$k\neq0$时，$(k-1)^{2}-4×\frac{k}{4}×(k-3)=0$，解得$k=-1$，则原函数即为$y=-\frac{1}{4}x^{2}-2x-4=-\frac{1}{4}(x+4)^{2}$，所以它的“$Y$函数”为$y=-\frac{1}{4}(x-4)^{2}$。在$y=-\frac{1}{4}(x-4)^{2}$中，令$y=0$，得$-\frac{1}{4}(x-4)^{2}=0$，解得$x_{1}=x_{2}=4$，所以它的“$Y$函数”的图像与$x$轴的交点坐标为$(4,0)$。综上所述，它的“$Y$函数”的图像与$x$轴的交点坐标为$(3,0)$或$(4,0)$。
解析：
①当$k = 0$时，原函数为$y=-x - 3$，其“Y函数”为$y = x - 3$。令$y = 0$，得$x - 3=0$，解得$x = 3$，交点坐标为$(3,0)$；
②当$k\neq0$时，$\Delta=(k - 1)^{2}-4×\frac{k}{4}×(k - 3)=0$，解得$k=-1$，原函数为$y=-\frac{1}{4}x^{2}-2x - 4=-\frac{1}{4}(x + 4)^{2}$，其“Y函数”为$y=-\frac{1}{4}(x - 4)^{2}$。令$y = 0$，得$-\frac{1}{4}(x - 4)^{2}=0$，解得$x = 4$，交点坐标为$(4,0)$。
综上，交点坐标为$(3,0)$或$(4,0)$。
②当$k\neq0$时，$\Delta=(k - 1)^{2}-4×\frac{k}{4}×(k - 3)=0$，解得$k=-1$，原函数为$y=-\frac{1}{4}x^{2}-2x - 4=-\frac{1}{4}(x + 4)^{2}$，其“Y函数”为$y=-\frac{1}{4}(x - 4)^{2}$。令$y = 0$，得$-\frac{1}{4}(x - 4)^{2}=0$，解得$x = 4$，交点坐标为$(4,0)$。
综上，交点坐标为$(3,0)$或$(4,0)$。
6. (2025·江苏连云港)已知二次函数$ y = x^{2} + 2(a + 1)x + 3a^{2} - 2a + 3 $，a为常数。
(1) 若该二次函数的图像与直线$ y = 2a^{2} $有两个交点，求a的取值范围；
(2) 若该二次函数的图像与x轴有交点，求a的值；
(3) 求证：该二次函数的图像不经过原点。
(1) 若该二次函数的图像与直线$ y = 2a^{2} $有两个交点，求a的取值范围；
(2) 若该二次函数的图像与x轴有交点，求a的值；
(3) 求证：该二次函数的图像不经过原点。
答案：6.(1)因为二次函数$y=x^{2}+2(a+1)x+3a^{2}-2a+3$的图像与直线$y=2a^{2}$有两个交点，所以关于$x$的方程$x^{2}+2(a+1)x+3a^{2}-2a+3=2a^{2}$，即$x^{2}+2(a+1)x+a^{2}-2a+3=0$有两个不相等的实数根，所以$4(a+1)^{2}-4(a^{2}-2a+3)＞0$，解得$a＞\frac{1}{2}$。故$a$的取值范围为$a＞\frac{1}{2}$。
(2)因为二次函数$y=x^{2}+2(a+1)x+3a^{2}-2a+3$的图像与$x$轴有交点，所以$4(a+1)^{2}-4(3a^{2}-2a+3)\geq0$，即$(a-1)^{2}\leq0$。又$(a-1)^{2}\geq0$，所以$a-1=0$，所以$a=1$。
(3)因为当$x=0$时，$y=3a^{2}-2a+3=3(a-\frac{1}{3})^{2}+\frac{8}{3}＞0$，所以该二次函数的图像不经过原点。
(2)因为二次函数$y=x^{2}+2(a+1)x+3a^{2}-2a+3$的图像与$x$轴有交点，所以$4(a+1)^{2}-4(3a^{2}-2a+3)\geq0$，即$(a-1)^{2}\leq0$。又$(a-1)^{2}\geq0$，所以$a-1=0$，所以$a=1$。
(3)因为当$x=0$时，$y=3a^{2}-2a+3=3(a-\frac{1}{3})^{2}+\frac{8}{3}＞0$，所以该二次函数的图像不经过原点。
7. (2024·四川达州)已知抛物线$ y = - x^{2} + bx + c $与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是(
A.$ b + c ＞ 1 $
B.$ b = 2 $
C.$ b^{2} + 4c ＜ 0 $
D.$ c ＜ 0 $
A
)A.$ b + c ＞ 1 $
B.$ b = 2 $
C.$ b^{2} + 4c ＜ 0 $
D.$ c ＜ 0 $
答案：7.A
解析：
设抛物线与x轴交点的横坐标分别为$x_1$、$x_2$，则$x_1 ＜ 1$，$x_2 ＞ 1$，即$(x_1 - 1)(x_2 - 1) ＜ 0$。
由韦达定理得：$x_1 + x_2 = b$，$x_1x_2 = -c$。
$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 = -c - b + 1 ＜ 0$，整理得$b + c ＞ 1$。
A
由韦达定理得：$x_1 + x_2 = b$，$x_1x_2 = -c$。
$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 = -c - b + 1 ＜ 0$，整理得$b + c ＞ 1$。
A
8. (2025·江苏扬州模拟)已知二次函数$ y = (x - a - 1)(x - a + 1) - 3a + 7 $的图像与x轴没有交点，且当$ x ＜ - 1 $时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围是(
A.$ a ＜ 2 $
B.$ a ＞ - 1 $
C.$ - 1 ＜ a \leqslant 2 $
D.$ - 1 \leqslant a ＜ 2 $
D
)A.$ a ＜ 2 $
B.$ a ＞ - 1 $
C.$ - 1 ＜ a \leqslant 2 $
D.$ - 1 \leqslant a ＜ 2 $
答案：8.D
解析：
解题步骤：
1. 化简二次函数表达式
$ y = (x - a - 1)(x - a + 1) - 3a + 7 $
$ = [(x - a) - 1][(x - a) + 1] - 3a + 7 $
$ = (x - a)^2 - 1 - 3a + 7 $
$ = (x - a)^2 - 3a + 6 $
2. 图像与x轴无交点的条件
二次函数开口向上（二次项系数为1＞0），与x轴无交点需判别式 $ \Delta ＜ 0 $：
$ y = (x - a)^2 - 3a + 6 $ 展开为 $ y = x^2 - 2ax + a^2 - 3a + 6 $
$ \Delta = (-2a)^2 - 4 × 1 × (a^2 - 3a + 6) = 4a^2 - 4a^2 + 12a - 24 = 12a - 24 $
令 $ \Delta ＜ 0 $：$ 12a - 24 ＜ 0 \Rightarrow a ＜ 2 $
3. 单调性条件
抛物线对称轴为 $ x = a $，开口向上，当 $ x ＜ -1 $ 时 $ y $ 随 $ x $ 增大而减小，需对称轴 $ x = a \geq -1 $
4. 综合条件
联立 $ a ＜ 2 $ 和 $ a \geq -1 $，得 $ -1 \leq a ＜ 2 $
结论：
$-1 \leqslant a ＜ 2$
答案：D
1. 化简二次函数表达式
$ y = (x - a - 1)(x - a + 1) - 3a + 7 $
$ = [(x - a) - 1][(x - a) + 1] - 3a + 7 $
$ = (x - a)^2 - 1 - 3a + 7 $
$ = (x - a)^2 - 3a + 6 $
2. 图像与x轴无交点的条件
二次函数开口向上（二次项系数为1＞0），与x轴无交点需判别式 $ \Delta ＜ 0 $：
$ y = (x - a)^2 - 3a + 6 $ 展开为 $ y = x^2 - 2ax + a^2 - 3a + 6 $
$ \Delta = (-2a)^2 - 4 × 1 × (a^2 - 3a + 6) = 4a^2 - 4a^2 + 12a - 24 = 12a - 24 $
令 $ \Delta ＜ 0 $：$ 12a - 24 ＜ 0 \Rightarrow a ＜ 2 $
3. 单调性条件
抛物线对称轴为 $ x = a $，开口向上，当 $ x ＜ -1 $ 时 $ y $ 随 $ x $ 增大而减小，需对称轴 $ x = a \geq -1 $
4. 综合条件
联立 $ a ＜ 2 $ 和 $ a \geq -1 $，得 $ -1 \leq a ＜ 2 $
结论：
$-1 \leqslant a ＜ 2$
答案：D
9. 在平面直角坐标系中，已知函数$ y_{1} = x^{2} + ax + 1 $，$ y_{2} = x^{2} + bx + 2 $，$ y_{3} = x^{2} + cx + 4 $，其中a，b，c为正实数，且满足$ b^{2} = ac $。设函数$ y_{1} $，$ y_{2} $，$ y_{3} $的图像与x轴的交点个数分别为$ M_{1} $，$ M_{2} $，$ M_{3} $，则下列判断正确的是(
A.若$ M_{1} = 2 $，$ M_{2} = 2 $，则$ M_{3} = 0 $
B.若$ M_{1} = 1 $，$ M_{2} = 0 $，则$ M_{3} = 0 $
C.若$ M_{1} = 0 $，$ M_{2} = 2 $，则$ M_{3} = 0 $
D.若$ M_{1} = 0 $，$ M_{2} = 0 $，则$ M_{3} = 0 $
B
)A.若$ M_{1} = 2 $，$ M_{2} = 2 $，则$ M_{3} = 0 $
B.若$ M_{1} = 1 $，$ M_{2} = 0 $，则$ M_{3} = 0 $
C.若$ M_{1} = 0 $，$ M_{2} = 2 $，则$ M_{3} = 0 $
D.若$ M_{1} = 0 $，$ M_{2} = 0 $，则$ M_{3} = 0 $
答案：9.B 解析：关于$x$的一元二次方程$x^{2}+ax+1=0$，$x^{2}+bx+2=0$，$x^{2}+cx+4=0$的根的判别式分别为$a^{2}-4$，$b^{2}-8$，$c^{2}-16$。因为$b^{2}=ac$，所以$c^{2}=\frac{b^{4}}{a^{2}}$，所以$c^{2}-16=\frac{b^{4}}{a^{2}}-16$。对于选项A，若$M_{1}=2$，$M_{2}=2$，则$a^{2}-4＞0$，$b^{2}-8＞0$，所以$a^{2}＞4$，$b^{2}＞8$，所以$c^{2}-16$与$0$的大小无法比较，故选项A错误；对于选项B，若$M_{1}=1$，$M_{2}=0$，则$a^{2}-4=0$，$b^{2}-8＜0$，所以$a^{2}=4$，$b^{2}＜8$，所以$c^{2}-16=\frac{b^{4}}{a^{2}}-16＜\frac{8^{2}}{4}-16=0$，所以$M_{3}=0$，故选项B正确；对于选项C，若$M_{1}=0$，$M_{2}=2$，则$a^{2}-4＜0$，$b^{2}-8＞0$，所以$a^{2}＜4$，$b^{2}＞8$，所以$c^{2}-16=\frac{b^{4}}{a^{2}}-16＞\frac{8^{2}}{4}-16=0$，所以$M_{3}=2$，故选项C错误；对于选项D，若$M_{1}=0$，$M_{2}=0$，则$a^{2}-4＜0$，$b^{2}-8＜0$，所以$a^{2}＜4$，$b^{2}＜8$，所以$c^{2}-16$与$0$的大小无法比较，故选项D错误。