7. 公路上正在行驶的甲车，发现前方 $ 20m $ 处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程 $ s(m) $、速度 $ v(m/s) $ 与时间 $ t(s) $ 之间的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图像如图所示。
(1) 当甲车减速至 $ 9m/s $ 时，它行驶的路程是多少？
(2) 若乙车以 $ 10m/s $ 的速度匀速行驶，则两车何时相距最近？最近距离是多少？
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(1) 当甲车减速至 $ 9m/s $ 时，它行驶的路程是多少？
(2) 若乙车以 $ 10m/s $ 的速度匀速行驶，则两车何时相距最近？最近距离是多少？
]答案：7.(1)设s与t之间的函数表达式为s=at²+bt.把点(1,15.5),(2,30)分别代入s=at²+bt,得$\begin{cases}a+b=15.5,\\4a+2b=30,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-0.5,\\b=16,\end{cases}$所以s=-0.5t²+16t.设v与t之间的函数表达式为v=mt+n.把点(0,16),(8,8)分别代入v=mt+n，得$\begin{cases}n=16,\\8m+n=8,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-1,\\n=16,\end{cases}$所以v=-t+16.在v=-t+16中,令v=9,得-t+16=9,解得t=7.在s=-0.5t²+16t中,令t=7,得s=-0.5×7²+16×7=87.5.故当甲车减速至9m/s 时，它行驶的路程是87.5m.
(2)设甲、乙两车之间的距离为y(m).由题意,得y=20+10t−(-0.5t²+16t)=0.5t²−6t+20=0.5(t−6)²+2.在v=-t+16中,令v=0,得-t+16=0,解得t=16,所以0≤t≤16,所以当t=6时，y取最小值2.故6s时两车相距最近，最近距离是2m.
(2)设甲、乙两车之间的距离为y(m).由题意,得y=20+10t−(-0.5t²+16t)=0.5t²−6t+20=0.5(t−6)²+2.在v=-t+16中,令v=0,得-t+16=0,解得t=16,所以0≤t≤16,所以当t=6时，y取最小值2.故6s时两车相距最近，最近距离是2m.
8. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为 $ P $，羽毛球距离地面的高度 $ h(m) $ 与其飞行的水平距离 $ s(m) $ 之间的函数表达式为 $ h = -\frac{1}{12}s^{2} + \frac{2}{3}s + \frac{3}{2} $。如图，已知球网 $ AB $ 距原点的水平距离为 $ 5m $，乙扣球的最大高度 $ CD $ 为 $ \frac{9}{4}m $，设乙的起跳点 $ C $ 的横坐标为 $ m $。若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则 $ m $ 的取值范围是
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$5＜m＜4+\sqrt{7}$
。]答案：$8.5＜m＜4+\sqrt{7} $解析:在$h=-\dfrac{1}{12}s²+\dfrac{2}{3}s+\dfrac{3}{2}$中,令$h=\dfrac{9}{4},$得$-\dfrac{1}{12}s²+\dfrac{2}{3}s+\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{4},$解得$s₁=4+\sqrt{7},s₂=4-\sqrt{7}.$因为乙接球失败，且OA=5m，所以m的取值范围是$5＜m＜4+\sqrt{7}.$
解析：
解：在$h = -\dfrac{1}{12}s^{2} + \dfrac{2}{3}s + \dfrac{3}{2}$中，令$h = \dfrac{9}{4}$，得：
$-\dfrac{1}{12}s^{2} + \dfrac{2}{3}s + \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{4}$
整理得：$s^{2} - 8s + 3 = 0$
解得：$s_{1} = 4 + \sqrt{7}$，$s_{2} = 4 - \sqrt{7}$
因为球网$AB$距原点的水平距离为$5m$，乙接球失败时球的高度高于乙扣球的最大高度，所以$m$的取值范围是$5 ＜ m ＜ 4 + \sqrt{7}$
$5 ＜ m ＜ 4 + \sqrt{7}$
$-\dfrac{1}{12}s^{2} + \dfrac{2}{3}s + \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{4}$
整理得：$s^{2} - 8s + 3 = 0$
解得：$s_{1} = 4 + \sqrt{7}$，$s_{2} = 4 - \sqrt{7}$
因为球网$AB$距原点的水平距离为$5m$，乙接球失败时球的高度高于乙扣球的最大高度，所以$m$的取值范围是$5 ＜ m ＜ 4 + \sqrt{7}$
$5 ＜ m ＜ 4 + \sqrt{7}$
9. 新素养 应用意识 (2025·江苏宿迁模拟)如图是轮滑场地的截面示意图，平台 $ AB $ 距 $ x $ 轴(水平)$ 18m $，与 $ y $ 轴交于点 $ B $，与滑道 $ y = \frac{k}{x}(x \geq 1) $ 交于点 $ A $，且 $ AB = 1m $。运动员(看成点)在 $ BA $ 方向获得速度 $ v m/s $ 后，从点 $ A $ 处向右下飞向滑道，点 $ M $ 是下落路线的某位置。忽略空气阻力，实验表明：点 $ M $ 与点 $ A $ 的竖直距离 $ h(m) $ 与飞出时间 $ t(s) $ 的平方成正比，且当 $ t = 1 $ 时，$ h = 5 $；点 $ M $ 与点 $ A $ 的水平距离是 $ vt m $。
(1) 求 $ k $ 的值，并用 $ t $ 表示 $ h $；
(2) 若 $ v = 5 $，用 $ t $ 表示点 $ M $ 的横坐标 $ x $ 和纵坐标 $ y $，并求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式(不要求写出自变量 $ x $ 的取值范围)及 $ y = 13 $ 时运动员与正下方滑道的竖直距离；
(3) 若运动员甲、乙同时从 $ A $ 处飞出，速度分别是 $ 5m/s $，$ v_{乙}m/s $，则当甲距 $ x $ 轴 $ 1.8m $，且乙位于甲右侧超过 $ 4.5m $ 的位置时，求 $ t $ 的值及 $ v_{乙} $ 的取值范围。
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(1) 求 $ k $ 的值，并用 $ t $ 表示 $ h $；
(2) 若 $ v = 5 $，用 $ t $ 表示点 $ M $ 的横坐标 $ x $ 和纵坐标 $ y $，并求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式(不要求写出自变量 $ x $ 的取值范围)及 $ y = 13 $ 时运动员与正下方滑道的竖直距离；
(3) 若运动员甲、乙同时从 $ A $ 处飞出，速度分别是 $ 5m/s $，$ v_{乙}m/s $，则当甲距 $ x $ 轴 $ 1.8m $，且乙位于甲右侧超过 $ 4.5m $ 的位置时，求 $ t $ 的值及 $ v_{乙} $ 的取值范围。
]答案：9.(1)由题意，得点A的坐标为(1,18).把点A(1,18)代入$y=\dfrac{k}{x}，$得$18=\dfrac{k}{1}，$解得k=18.设h=at².把t=1，h=5代入h=at²，得a=5，所以h=5t².
(2)因为v=5，AB=1m，所以x=5t+1.因为h=5t²，OB=18m，所以y=-5t²+18.由x=5t+1，得$t=\dfrac{1}{5}(x-1)，$所以$y=-\dfrac{1}{5}(x-1)²+18，$即$y=-\dfrac{1}{5}x²+\dfrac{2}{5}x+\dfrac{89}{5}.$在$y=-\dfrac{1}{5}(x-1)²+18$中，令y=13，得$-\dfrac{1}{5}(x-1)²+18=13，$解得x₁=6，x₂=-4(不合题意，舍去).把x=6代入$y=\dfrac{18}{x}，$得y=3，所以y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离是13-3=10(m).
(3)在y=-5t²+18中，令y=1.8，得-5t²+18=1.8，解得t=1.8(负值舍去).当t=1.8时，甲所在位置的横坐标是5×1.8+1=10，乙所在位置的横坐标是1.8v_Z+1.由题意，得1.8v_Z+1＞10+4.5，解得v_Z＞7.5.故t的值为1.8，v_Z的取值范围是v_Z＞7.5.
(2)因为v=5，AB=1m，所以x=5t+1.因为h=5t²，OB=18m，所以y=-5t²+18.由x=5t+1，得$t=\dfrac{1}{5}(x-1)，$所以$y=-\dfrac{1}{5}(x-1)²+18，$即$y=-\dfrac{1}{5}x²+\dfrac{2}{5}x+\dfrac{89}{5}.$在$y=-\dfrac{1}{5}(x-1)²+18$中，令y=13，得$-\dfrac{1}{5}(x-1)²+18=13，$解得x₁=6，x₂=-4(不合题意，舍去).把x=6代入$y=\dfrac{18}{x}，$得y=3，所以y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离是13-3=10(m).
(3)在y=-5t²+18中，令y=1.8，得-5t²+18=1.8，解得t=1.8(负值舍去).当t=1.8时，甲所在位置的横坐标是5×1.8+1=10，乙所在位置的横坐标是1.8v_Z+1.由题意，得1.8v_Z+1＞10+4.5，解得v_Z＞7.5.故t的值为1.8，v_Z的取值范围是v_Z＞7.5.