1. 若关于x的函数$y=(m+1)x^{m^{2}+1}+mx+1$是二次函数，则$m=$
1
.答案：1. 1
解析：
因为函数$y=(m+1)x^{m^{2}+1}+mx+1$是二次函数，所以需满足：
1. 二次项系数不为$0$：$m + 1 \neq 0$，即$m \neq -1$；
2. 自变量最高次数为$2$：$m^{2} + 1 = 2$，解得$m^{2}=1$，$m = \pm 1$。
综上，$m = 1$。
1
1. 二次项系数不为$0$：$m + 1 \neq 0$，即$m \neq -1$；
2. 自变量最高次数为$2$：$m^{2} + 1 = 2$，解得$m^{2}=1$，$m = \pm 1$。
综上，$m = 1$。
1
2. 已知函数$y=(m+2)x^{|m|}+2$是关于x的二次函数，那么m的值为
2
.答案：2. 2
解析：
解：由二次函数定义得：
$|m|=2$且$m+2\neq0$
解得$m=2$或$m=-2$，又$m\neq-2$，故$m=2$。
2
$|m|=2$且$m+2\neq0$
解得$m=2$或$m=-2$，又$m\neq-2$，故$m=2$。
2
3. 在二次函数$y=(x-2)^{2}-3$中，二次项系数、一次项系数及常数项的和为
-2
.答案：3. -2
解析：
解：将二次函数$y=(x - 2)^2 - 3$展开，得$y = x^2 - 4x + 4 - 3 = x^2 - 4x + 1$。
二次项系数为$1$，一次项系数为$-4$，常数项为$1$。
它们的和为$1 + (-4) + 1 = -2$。
-2
二次项系数为$1$，一次项系数为$-4$，常数项为$1$。
它们的和为$1 + (-4) + 1 = -2$。
-2
4. (2024·四川凉山)已知抛物线$y=\frac {2}{3}(x-1)^{2}+c$经过$(-2,y_{1}),(0,y_{2}),(\frac {5}{2},y_{3})$三点，则$y_{1},y_{2},y_{3}$之间的大小关系是(
A.$y_{1}＞y_{2}＞y_{3}$
B.$y_{2}＞y_{3}＞y_{1}$
C.$y_{3}＞y_{1}＞y_{2}$
D.$y_{1}＞y_{3}＞y_{2}$
D
)A.$y_{1}＞y_{2}＞y_{3}$
B.$y_{2}＞y_{3}＞y_{1}$
C.$y_{3}＞y_{1}＞y_{2}$
D.$y_{1}＞y_{3}＞y_{2}$
答案：4. D
解析：
抛物线$y = \frac{2}{3}(x - 1)^2 + c$的对称轴为直线$x = 1$，开口向上。
点$(-2, y_1)$到对称轴$x = 1$的距离为$| - 2 - 1|=3$；
点$(0, y_2)$到对称轴$x = 1$的距离为$|0 - 1| = 1$；
点$(\frac{5}{2}, y_3)$到对称轴$x = 1$的距离为$|\frac{5}{2}-1|=\frac{3}{2}$。
因为$3＞\frac{3}{2}＞1$，且抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大，所以$y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$。
D
点$(-2, y_1)$到对称轴$x = 1$的距离为$| - 2 - 1|=3$；
点$(0, y_2)$到对称轴$x = 1$的距离为$|0 - 1| = 1$；
点$(\frac{5}{2}, y_3)$到对称轴$x = 1$的距离为$|\frac{5}{2}-1|=\frac{3}{2}$。
因为$3＞\frac{3}{2}＞1$，且抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大，所以$y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$。
D
5. (2025·陕西)在平面直角坐标系中，二次函数$y=ax^{2}-2ax+a-3$的图像与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是(
A.图像的开口向下
B.当$x＞0$时，y随x增大而增大
C.函数的最小值小于$-3$
D.当$x=2$时，$y＜0$
D
)A.图像的开口向下
B.当$x＞0$时，y随x增大而增大
C.函数的最小值小于$-3$
D.当$x=2$时，$y＜0$
答案：5. D
解析：
二次函数$y=ax^{2}-2ax+a-3$，图像与x轴有两个交点且位于y轴两侧。
1. 判别式$\Delta=(-2a)^{2}-4a(a-3)=12a＞0$，得$a＞0$，图像开口向上，A错误。
2. 对称轴$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，当$x＞1$时y随x增大而增大，B错误。
3. 最小值$y=a(1)^{2}-2a(1)+a-3=-3$，C错误。
4. 当$x=2$时，$y=a(2)^{2}-2a(2)+a-3=a-3$，因$a＞0$且$a-3＜0$（由交点在y轴两侧得$a-3＜0$），故$y＜0$，D正确。
结论：D
1. 判别式$\Delta=(-2a)^{2}-4a(a-3)=12a＞0$，得$a＞0$，图像开口向上，A错误。
2. 对称轴$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，当$x＞1$时y随x增大而增大，B错误。
3. 最小值$y=a(1)^{2}-2a(1)+a-3=-3$，C错误。
4. 当$x=2$时，$y=a(2)^{2}-2a(2)+a-3=a-3$，因$a＞0$且$a-3＜0$（由交点在y轴两侧得$a-3＜0$），故$y＜0$，D正确。
结论：D
6. 已知抛物线的函数表达式为$y=(x-2)^{2}-9$，给出下列结论：
① 当$x=2$时，y取最小值$-9$；
② 若点$(3,y_{1}),(4,y_{2})$在其图像上，则$y_{2}＞y_{1}$；
③ 将其函数图像先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为$y=(x-5)^{2}-5$；
④ 该函数图像与x轴有两个交点，且两交点之间的距离为6.
其中正确的是(
A.②③④
B.①②④
C.①③
D.①②③④
① 当$x=2$时，y取最小值$-9$；
② 若点$(3,y_{1}),(4,y_{2})$在其图像上，则$y_{2}＞y_{1}$；
③ 将其函数图像先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为$y=(x-5)^{2}-5$；
④ 该函数图像与x轴有两个交点，且两交点之间的距离为6.
其中正确的是(
B
)A.②③④
B.①②④
C.①③
D.①②③④
答案：6. B
解析：
① 抛物线$y=(x-2)^{2}-9$开口向上，顶点坐标为$(2,-9)$，当$x=2$时，$y$取最小值$-9$，正确；
② 抛物线对称轴为$x=2$，当$x＞2$时，$y$随$x$增大而增大，$4＞3＞2$，则$y_{2}＞y_{1}$，正确；
③ 向左平移3个单位得$y=(x+1)^{2}-9$，再向上平移4个单位得$y=(x+1)^{2}-5$，错误；
④ 令$y=0$，$(x-2)^{2}-9=0$，$x-2=\pm3$，$x_{1}=5$，$x_{2}=-1$，两交点距离为$|5-(-1)|=6$，正确。
正确的是①②④，答案选B。
② 抛物线对称轴为$x=2$，当$x＞2$时，$y$随$x$增大而增大，$4＞3＞2$，则$y_{2}＞y_{1}$，正确；
③ 向左平移3个单位得$y=(x+1)^{2}-9$，再向上平移4个单位得$y=(x+1)^{2}-5$，错误；
④ 令$y=0$，$(x-2)^{2}-9=0$，$x-2=\pm3$，$x_{1}=5$，$x_{2}=-1$，两交点距离为$|5-(-1)|=6$，正确。
正确的是①②④，答案选B。
7. 如图是二次函数$y=ax^{2}+bx+c$图像的一部分，其对称轴为直线$x=-1$，且经过点$(-3,0)$.给出下列说法：
① $abc＜0$；
② $2a-b=0$；
③ $4a+2b+c＜0$；
④ 若$(-5,y_{1}),(\frac {5}{2},y_{2})$是抛物线上的两个点，则$y_{1}＞y_{2}$.
其中正确的是(
A.①②
B.②③
C.①②④
D.②③④
① $abc＜0$；
② $2a-b=0$；
③ $4a+2b+c＜0$；
④ 若$(-5,y_{1}),(\frac {5}{2},y_{2})$是抛物线上的两个点，则$y_{1}＞y_{2}$.
其中正确的是(
C
)A.①②
B.②③
C.①②④
D.②③④
答案：7. C 解析：因为函数图像开口向上，所以 $a＞0$。因为函数图像与 $y$ 轴的交点在 $x$ 轴下方，所以 $c＜0$。因为函数图像的对称轴是直线 $x=-1$，所以 $-\frac{b}{2a}=-1$，所以 $b=2a＞0$，所以 $abc＜0$，$2a - b = 0$，故①②正确；由对称性可知函数图像与 $x$ 轴的另一个交点坐标为$(1,0)$，所以当 $x = 2$ 时，$y＞0$，即 $4a + 2b + c＞0$，故③错误；点$(-5,y_1)$关于直线$x = -1$的对称点为$(3,y_1)$，则根据当 $x＞-1$ 时，$y$ 随 $x$ 增大而增大，且$\frac{5}{2}＜3$，得$y_2＜y_1$，故④正确。
解析：
解：①
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$；与$y$轴交于负半轴，
∴$c＜0$；对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-1$，得$b=2a＞0$，则$abc＜0$，①正确。
②由对称轴$x=-1$得$-\frac{b}{2a}=-1$，即$b=2a$，$2a - b=0$，②正确。
③抛物线与$x$轴交于$(-3,0)$，对称轴$x=-1$，则另一交点为$(1,0)$；当$x=2$时，$y=4a + 2b + c＞0$，③错误。
④点$(-5,y_1)$关于$x=-1$对称点为$(3,y_1)$，$x＞-1$时$y$随$x$增大而增大，$\frac{5}{2}＜3$，则$y_2＜y_1$，④正确。
综上，正确的是①②④，答案选C。
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$；与$y$轴交于负半轴，
∴$c＜0$；对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-1$，得$b=2a＞0$，则$abc＜0$，①正确。
②由对称轴$x=-1$得$-\frac{b}{2a}=-1$，即$b=2a$，$2a - b=0$，②正确。
③抛物线与$x$轴交于$(-3,0)$，对称轴$x=-1$，则另一交点为$(1,0)$；当$x=2$时，$y=4a + 2b + c＞0$，③错误。
④点$(-5,y_1)$关于$x=-1$对称点为$(3,y_1)$，$x＞-1$时$y$随$x$增大而增大，$\frac{5}{2}＜3$，则$y_2＜y_1$，④正确。
综上，正确的是①②④，答案选C。
8. 新素养 运算能力 已知二次函数的图像经过点$(0,0),(1,-3),(2,-8)$，则该二次函数的表达式为
$y = -x^2 - 2x$
.答案：8. $y = -x^2 - 2x$
解析：
解：设二次函数的表达式为$y = ax^2 + bx + c$。
因为函数图像经过点$(0,0)$，所以将$x = 0$，$y = 0$代入表达式得：$0 = a × 0^2 + b × 0 + c$，解得$c = 0$。
函数图像经过点$(1,-3)$，将$x = 1$，$y = -3$，$c = 0$代入得：$-3 = a × 1^2 + b × 1 + 0$，即$a + b = -3$。
函数图像经过点$(2,-8)$，将$x = 2$，$y = -8$，$c = 0$代入得：$-8 = a × 2^2 + b × 2 + 0$，即$4a + 2b = -8$，化简为$2a + b = -4$。
联立方程$\begin{cases}a + b = -3 \\ 2a + b = -4\end{cases}$，用第二个方程减去第一个方程得：$2a + b - (a + b) = -4 - (-3)$，即$a = -1$。
将$a = -1$代入$a + b = -3$，得$-1 + b = -3$，解得$b = -2$。
所以二次函数的表达式为$y = -x^2 - 2x$。
因为函数图像经过点$(0,0)$，所以将$x = 0$，$y = 0$代入表达式得：$0 = a × 0^2 + b × 0 + c$，解得$c = 0$。
函数图像经过点$(1,-3)$，将$x = 1$，$y = -3$，$c = 0$代入得：$-3 = a × 1^2 + b × 1 + 0$，即$a + b = -3$。
函数图像经过点$(2,-8)$，将$x = 2$，$y = -8$，$c = 0$代入得：$-8 = a × 2^2 + b × 2 + 0$，即$4a + 2b = -8$，化简为$2a + b = -4$。
联立方程$\begin{cases}a + b = -3 \\ 2a + b = -4\end{cases}$，用第二个方程减去第一个方程得：$2a + b - (a + b) = -4 - (-3)$，即$a = -1$。
将$a = -1$代入$a + b = -3$，得$-1 + b = -3$，解得$b = -2$。
所以二次函数的表达式为$y = -x^2 - 2x$。
9. 已知二次函数图像的顶点坐标为$(1,-1)$，且经过原点$(0,0)$，求该二次函数的表达式.
答案：9. 设该二次函数的表达式为 $y = a(x - 1)^2 - 1$。因为该二次函数的图像经过原点$(0,0)$，所以 $a×(0 - 1)^2 - 1 = 0$，解得 $a = 1$。故该二次函数的表达式为 $y = (x - 1)^2 - 1 = x^2 - 2x$。
10. 二次函数$y=x^{2}+2x-1$的图像与x轴的交点的个数是(
A.0
B.1
C.2
D.1或2
C
)A.0
B.1
C.2
D.1或2
答案：10. C
解析：
要判断二次函数$y = x^{2}+2x - 1$的图像与$x$轴交点的个数，需计算其判别式$\Delta$。
对于二次函数$y=ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在函数$y = x^{2}+2x - 1$中，$a = 1$，$b = 2$，$c=-1$，则：
$\begin{aligned}\Delta&=2^{2}-4×1×(-1)\\&=4 + 4\\&=8\end{aligned}$
因为$\Delta=8＞0$，所以二次函数的图像与$x$轴有$2$个交点。
C
对于二次函数$y=ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在函数$y = x^{2}+2x - 1$中，$a = 1$，$b = 2$，$c=-1$，则：
$\begin{aligned}\Delta&=2^{2}-4×1×(-1)\\&=4 + 4\\&=8\end{aligned}$
因为$\Delta=8＞0$，所以二次函数的图像与$x$轴有$2$个交点。
C