11. 已知二次函数$y=x^{2}+2x-10$，小明利用计算器列出了下表：
那么方程$x^{2}+2x-10=0$的一个近似根是(
A.-4.1
B.-4.2
C.-4.3
D.-4.4
那么方程$x^{2}+2x-10=0$的一个近似根是(
C
)A.-4.1
B.-4.2
C.-4.3
D.-4.4
答案：11. C
解析：
解：方程$x^{2}+2x - 10 = 0$的根即为二次函数$y = x^{2}+2x - 10$与$x$轴交点的横坐标。
由表格可知：
当$x=-4.3$时，$y=-0.11$；当$x=-4.4$时，$y=0.56$。
因为$y=-0.11$更接近$0$，所以方程$x^{2}+2x - 10 = 0$的一个近似根是$-4.3$。
C
由表格可知：
当$x=-4.3$时，$y=-0.11$；当$x=-4.4$时，$y=0.56$。
因为$y=-0.11$更接近$0$，所以方程$x^{2}+2x - 10 = 0$的一个近似根是$-4.3$。
C
12. 已知函数$y=ax^{2}-(3a+1)x+2a+1$（a为常数）.
（1）若该函数的图像与坐标轴只有两个交点，求a的值；
（2）若该函数的图像是开口向上的抛物线，与x轴相交于$A(x_{1},0),B(x_{2},0)$两点，且$x_{2}-x_{1}=2$，求该函数的表达式.
（1）若该函数的图像与坐标轴只有两个交点，求a的值；
（2）若该函数的图像是开口向上的抛物线，与x轴相交于$A(x_{1},0),B(x_{2},0)$两点，且$x_{2}-x_{1}=2$，求该函数的表达式.
答案：12. (1) 分类讨论如下：① 当 $a = 0$ 时，该函数即为 $y = -x + 1$，函数图像与坐标轴有两个交点，符合题意；② 当 $a≠0$ 且函数图像经过原点时，$2a + 1 = 0$，解得 $a = -\frac{1}{2}$，此时函数图像与坐标轴有两个交点，符合题意；③ 当 $a≠0$ 且函数图像与 $x$ 轴只有一个交点时，令 $y = 0$，得 $ax^2 - (3a + 1)x + 2a + 1 = 0$，则$(3a + 1)^2 - 4a(2a + 1) = 0$，解得 $a = -1$，此时函数图像与坐标轴有两个交点，符合题意. 综上所述，$a$ 的值为 $0$ 或 $-\frac{1}{2}$ 或 $-1$。
(2) 令 $y = 0$，得 $ax^2 - (3a + 1)x + 2a + 1 = 0$，解得 $x = 1$ 或 $x = \frac{1}{a} + 2$。因为函数图像开口向上，所以 $a＞0$，所以 $\frac{1}{a} + 2＞1$。因为 $x_2 - x_1 = 2$，所以 $x_2＞x_1$，所以 $x_1 = 1$，$x_2 = \frac{1}{a} + 2$，所以 $\frac{1}{a} + 2 - 1 = 2$，所以 $a = 1$。故该函数的表达式为 $y = x^2 - 4x + 3$。
(2) 令 $y = 0$，得 $ax^2 - (3a + 1)x + 2a + 1 = 0$，解得 $x = 1$ 或 $x = \frac{1}{a} + 2$。因为函数图像开口向上，所以 $a＞0$，所以 $\frac{1}{a} + 2＞1$。因为 $x_2 - x_1 = 2$，所以 $x_2＞x_1$，所以 $x_1 = 1$，$x_2 = \frac{1}{a} + 2$，所以 $\frac{1}{a} + 2 - 1 = 2$，所以 $a = 1$。故该函数的表达式为 $y = x^2 - 4x + 3$。
13. 新趋势 情境素材 （2024·山东滨州）春节期间，全国各影院上映多部影片.某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（张）与售价x（元/张）之间满足一次函数关系（$30\leqslant x\leqslant 80$，且x为整数），部分数据如下表所示：
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设该影院每天的利润（利润=票房收入-运营成本）为w（元），求w与x之间的函数表达式；
（3）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设该影院每天的利润（利润=票房收入-运营成本）为w（元），求w与x之间的函数表达式；
（3）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
答案：13. (1) 设 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y = kx + b$。把点$(40,164)$，$(50,124)$分别代入 $y = kx + b$，得$\begin{cases}40k + b = 164,\\50k + b = 124.\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -4,\\b = 324,\end{cases}$所以 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y = -4x + 324(30\leq x\leq80$，且 $x$ 为整数)。
(2) 由题意，得 $w = xy - 2000 = x(-4x + 324) - 2000 = -4x^2 + 324x - 2000$。故 $w$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $w = -4x^2 + 324x - 2000(30\leq x\leq80$，且 $x$ 为整数)。
(3) 由(2)，得 $w = -4x^2 + 324x - 2000 = -4(x - 40.5)^2 + 4561$。因为 $-4＜0$，$30\leq x\leq80$，且 $x$ 为整数，所以当 $x = 40$ 或 $41$ 时，$w$ 取最大值，且最大值为$-4×(40 - 40.5)^2 + 4561 = 4560$。故该影院将电影票售价定为 $40$ 元/张或 $41$ 元/张时，每天获利最大，最大利润是 $4560$ 元。
(2) 由题意，得 $w = xy - 2000 = x(-4x + 324) - 2000 = -4x^2 + 324x - 2000$。故 $w$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $w = -4x^2 + 324x - 2000(30\leq x\leq80$，且 $x$ 为整数)。
(3) 由(2)，得 $w = -4x^2 + 324x - 2000 = -4(x - 40.5)^2 + 4561$。因为 $-4＜0$，$30\leq x\leq80$，且 $x$ 为整数，所以当 $x = 40$ 或 $41$ 时，$w$ 取最大值，且最大值为$-4×(40 - 40.5)^2 + 4561 = 4560$。故该影院将电影票售价定为 $40$ 元/张或 $41$ 元/张时，每天获利最大，最大利润是 $4560$ 元。
14. （2025·江苏宿迁模拟）某游乐场的圆形喷水池中心O处有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的C，D两点为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为$y=-\frac {1}{6}(x-5)^{2}+6$.
（1）求雕塑OA的高；
（2）求落水点C，D之间的距离；
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，$OE=10\ \mathrm{m}$，$EF=1.8\ \mathrm{m}$，$EF⊥OD$.问：雕塑顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明.
（1）求雕塑OA的高；
（2）求落水点C，D之间的距离；
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，$OE=10\ \mathrm{m}$，$EF=1.8\ \mathrm{m}$，$EF⊥OD$.问：雕塑顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明.
答案：14. (1) 在 $y = -\frac{1}{6}(x - 5)^2 + 6$ 中，令 $x = 0$，得 $y = -\frac{1}{6}×(0 - 5)^2 + 6 = \frac{11}{6}$。故雕塑 $OA$ 的高为$\frac{11}{6}m$。
(2) 在 $y = -\frac{1}{6}(x - 5)^2 + 6$ 中，令 $y = 0$，得$-\frac{1}{6}(x - 5)^2 + 6 = 0$，解得 $x_1 = -1$，$x_2 = 11$，所以 $D(11,0)$，所以 $OD = 11m$。由对称性可知 $OC = OD = 11m$，所以 $CD = OC + OD = 22m$。故落水点 $C$，$D$ 之间的距离为 $22m$。
(3) 在 $y = -\frac{1}{6}(x - 5)^2 + 6$ 中，令 $x = 10$，得 $y = -\frac{1}{6}×(10 - 5)^2 + 6 = \frac{11}{6}≈1.83$。因为 $EF = 1.8m$，$EF⊥OD$，且 $1.83＞1.8$，所以雕塑顶部 $F$ 不会碰到水柱。
(2) 在 $y = -\frac{1}{6}(x - 5)^2 + 6$ 中，令 $y = 0$，得$-\frac{1}{6}(x - 5)^2 + 6 = 0$，解得 $x_1 = -1$，$x_2 = 11$，所以 $D(11,0)$，所以 $OD = 11m$。由对称性可知 $OC = OD = 11m$，所以 $CD = OC + OD = 22m$。故落水点 $C$，$D$ 之间的距离为 $22m$。
(3) 在 $y = -\frac{1}{6}(x - 5)^2 + 6$ 中，令 $x = 10$，得 $y = -\frac{1}{6}×(10 - 5)^2 + 6 = \frac{11}{6}≈1.83$。因为 $EF = 1.8m$，$EF⊥OD$，且 $1.83＞1.8$，所以雕塑顶部 $F$ 不会碰到水柱。