1. (2025·云南)如图，在△ABC中，已知D，E分别是边AB，AC上的点，且DE//BC.若$\frac { A D } { A B } = \frac { 1 } { 2 }，$则$\frac { D E } { B C }$等于(
A.$ \frac { 1 } { 2 }$
B.$ \frac { 1 } { 3 }$
C.$\frac { 1 } { 4 }$
D.$\frac { 1 } { 5 }$
A
)A.$ \frac { 1 } { 2 }$
B.$ \frac { 1 } { 3 }$
C.$\frac { 1 } { 4 }$
D.$\frac { 1 } { 5 }$
答案：1.A
解析：
证明：
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$，
∵$\frac{AD}{AB} = \frac{1}{2}$，
∴$\frac{DE}{BC} = \frac{1}{2}$。
A
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$，
∵$\frac{AD}{AB} = \frac{1}{2}$，
∴$\frac{DE}{BC} = \frac{1}{2}$。
A
2. 如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC//EF//DB.若BE=5，BF=3，AE=BC，则$$\frac { B D } { A C }$$的值为(
$A.\frac { 2 } { 3 }$
$B.\frac { 1 } { 2 }$
$C.\frac { 3 } { 5 }$
$D.\frac { 2 } { 5 }$
A
)$A.\frac { 2 } { 3 }$
$B.\frac { 1 } { 2 }$
$C.\frac { 3 } { 5 }$
$D.\frac { 2 } { 5 }$
答案：2.A
解析：
证明：设 $ AE = BC = x $，$ FC = BC - BF = x - 3 $。
因为 $ AC // EF $，所以 $ \frac{BE}{BA} = \frac{BF}{BC} $。
$ BA = AE + BE = x + 5 $，则 $ \frac{5}{x + 5} = \frac{3}{x} $。
解得 $ x = \frac{15}{2} $，即 $ BC = \frac{15}{2} $，$ FC = \frac{15}{2} - 3 = \frac{9}{2} $。
因为 $ EF // DB $，所以 $ \frac{CE}{CD} = \frac{CF}{CB} = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{15}{2}} = \frac{3}{5} $，则 $ \frac{DE}{CD} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} $。
又因为 $ AC // DB $，所以 $ \frac{BD}{AC} = \frac{DE}{CE} = \frac{\frac{2}{5}CD}{\frac{3}{5}CD} = \frac{2}{3} $。
$\boxed{A}$
因为 $ AC // EF $，所以 $ \frac{BE}{BA} = \frac{BF}{BC} $。
$ BA = AE + BE = x + 5 $，则 $ \frac{5}{x + 5} = \frac{3}{x} $。
解得 $ x = \frac{15}{2} $，即 $ BC = \frac{15}{2} $，$ FC = \frac{15}{2} - 3 = \frac{9}{2} $。
因为 $ EF // DB $，所以 $ \frac{CE}{CD} = \frac{CF}{CB} = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{15}{2}} = \frac{3}{5} $，则 $ \frac{DE}{CD} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} $。
又因为 $ AC // DB $，所以 $ \frac{BD}{AC} = \frac{DE}{CE} = \frac{\frac{2}{5}CD}{\frac{3}{5}CD} = \frac{2}{3} $。
$\boxed{A}$
3. (2025·江苏扬州模拟)如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，点G，H在AD上，且AE//HC//GF.若AH=8，HG=5，GD=4，则下列线段中，最长的是(
A.CF
B.DF
C.BE
D.CE
A
)A.CF
B.DF
C.BE
D.CE
答案：3.A 解析：因为AH=8,HG=5,GD=4,所以AD=AH+HG+GD=17.因为四边形ABCD为菱形，所以BC=CD=AD=17,AD//BC.因为AE//HC,所以四边形AECH为平行四边形，所以CE=AH=8,所以BE=BC-CE=9.因为HC//GF，所以$\frac{DF}{CF}=\frac{GD}{HG}=\frac{4}{5}$,所以$DF=\frac{4}{9}CD=\frac{68}{9}$,$CF=\frac{5}{9}CD=\frac{85}{9}$.因为$\frac{85}{9}＞9＞8＞\frac{68}{9}$,所以最长的线段是CF.
4. 新素养几何直观(2023·北京)如图，直线AD，BC交于点O，AB//EF//CD.若AO=2，OF=1，FD=2，则$$\frac { B E } { E C } =$$
成比例的基本事实及推论
$\frac{3}{2}$
.成比例的基本事实及推论
答案：4.$\frac{3}{2}$
解析：
解：
∵AB//EF，
∴$\frac{AO}{OF}=\frac{BO}{OE}$，
∵AO=2，OF=1，
∴$\frac{2}{1}=\frac{BO}{OE}$，即BO=2OE。
∵EF//CD，
∴$\frac{OF}{FD}=\frac{OE}{EC}$，
∵OF=1，FD=2，
∴$\frac{1}{2}=\frac{OE}{EC}$，即EC=2OE。
∵BE=BO+OE=2OE+OE=3OE，
∴$\frac{BE}{EC}=\frac{3OE}{2OE}=\frac{3}{2}$。
$\frac{3}{2}$
∵AB//EF，
∴$\frac{AO}{OF}=\frac{BO}{OE}$，
∵AO=2，OF=1，
∴$\frac{2}{1}=\frac{BO}{OE}$，即BO=2OE。
∵EF//CD，
∴$\frac{OF}{FD}=\frac{OE}{EC}$，
∵OF=1，FD=2，
∴$\frac{1}{2}=\frac{OE}{EC}$，即EC=2OE。
∵BE=BO+OE=2OE+OE=3OE，
∴$\frac{BE}{EC}=\frac{3OE}{2OE}=\frac{3}{2}$。
$\frac{3}{2}$
5. (教材P54练习1变式)如图，在△ABC中，DE//FG//BC，AD:DF:FB=2:3:4.若EG=4，则AC=
]
12
.]
答案：5.12
解析：
解：
∵DE//FG//BC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$\frac{AF}{AB}=\frac{AG}{AC}$。
∵AD:DF:FB=2:3:4，
设AD=2k，DF=3k，FB=4k，
则AB=AD+DF+FB=2k+3k+4k=9k，AF=AD+DF=5k。
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{2k}{9k}=\frac{2}{9}$，$\frac{AG}{AC}=\frac{5k}{9k}=\frac{5}{9}$。
∴AG - AE = $\frac{5}{9}AC - \frac{2}{9}AC = \frac{3}{9}AC = \frac{1}{3}AC$。
∵EG=AG - AE=4，
∴$\frac{1}{3}AC=4$，
∴AC=12。
∵DE//FG//BC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$\frac{AF}{AB}=\frac{AG}{AC}$。
∵AD:DF:FB=2:3:4，
设AD=2k，DF=3k，FB=4k，
则AB=AD+DF+FB=2k+3k+4k=9k，AF=AD+DF=5k。
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{2k}{9k}=\frac{2}{9}$，$\frac{AG}{AC}=\frac{5k}{9k}=\frac{5}{9}$。
∴AG - AE = $\frac{5}{9}AC - \frac{2}{9}AC = \frac{3}{9}AC = \frac{1}{3}AC$。
∵EG=AG - AE=4，
∴$\frac{1}{3}AC=4$，
∴AC=12。
6. 如图，在△ABC中，D，E为边AB的三等分点，EF//DG//AC，H为AF与DG的交点.若DH=a，则GH=
3a
.答案：6.3a 解析：因为D,E为AB的三等分点,所以$\frac{AD}{AE}=\frac{1}{2},\frac{BE}{BD}=\frac{1}{2}$.因为EF//DG,所以△ADH∽△AEF,△BEF∽△BDG,所以$\frac{DH}{EF}=\frac{AD}{AE}=\frac{1}{2}$,$\frac{EF}{DG}=\frac{BE}{BD}=\frac{1}{2}$.因为DH=a,所以EF=2a,所以DG=4a,所以GH=DG-DH=3a.
解析：
解：
∵D，E为AB的三等分点，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{1}{2}$，$\frac{BE}{BD}=\frac{1}{2}$。
∵EF//DG，
∴△ADH∽△AEF，△BEF∽△BDG。
∴$\frac{DH}{EF}=\frac{AD}{AE}=\frac{1}{2}$，$\frac{EF}{DG}=\frac{BE}{BD}=\frac{1}{2}$。
∵DH=a，
∴EF=2a，DG=4a。
∴GH=DG-DH=4a - a=3a。
故答案为3a。
∵D，E为AB的三等分点，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{1}{2}$，$\frac{BE}{BD}=\frac{1}{2}$。
∵EF//DG，
∴△ADH∽△AEF，△BEF∽△BDG。
∴$\frac{DH}{EF}=\frac{AD}{AE}=\frac{1}{2}$，$\frac{EF}{DG}=\frac{BE}{BD}=\frac{1}{2}$。
∵DH=a，
∴EF=2a，DG=4a。
∴GH=DG-DH=4a - a=3a。
故答案为3a。
7. 如图，点A，B，C分别在线段OD，OE，OF上，且AB//DE，BC//EF.
(1)指出图中所有的相似三角形，并说明理由；
(2)若OA=6 cm，OC比AD长2 cm，AD比CF长0.5 cm，求AD的长.
(1)指出图中所有的相似三角形，并说明理由；
(2)若OA=6 cm，OC比AD长2 cm，AD比CF长0.5 cm，求AD的长.
答案：7.(1)△OAB∽△ODE,△OBC∽△OEF.理由如下：因为AB//DE,所以△OAB∽△ODE.因为BC//EF,所以△OBC∽△OEF.
(2)设AD=x cm,则OC=(x+2)cm,CF=(x-0.5)cm.因为AB//DE,BC//EF,所以$\frac{OA}{AD}=\frac{OB}{BE}$,$\frac{OB}{BE}=\frac{OC}{CF}$,所以$\frac{OA}{AD}=\frac{OC}{CF}$,所以$\frac{6}{x}=\frac{x+2}{x-0.5}$,解得x=1或3.经检验,它们都是原分式方程的解.故AD的长为1cm或3cm.
(2)设AD=x cm,则OC=(x+2)cm,CF=(x-0.5)cm.因为AB//DE,BC//EF,所以$\frac{OA}{AD}=\frac{OB}{BE}$,$\frac{OB}{BE}=\frac{OC}{CF}$,所以$\frac{OA}{AD}=\frac{OC}{CF}$,所以$\frac{6}{x}=\frac{x+2}{x-0.5}$,解得x=1或3.经检验,它们都是原分式方程的解.故AD的长为1cm或3cm.
8. (2024·河南)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为OC的中点，EF//AB交BC于点F.若AB=4，则EF的长为(
$A.\frac { 1 } { 2 }$
B.1
$C.\frac { 4 } { 3 }$
D.2
D
)$A.\frac { 1 } { 2 }$
B.1
$C.\frac { 4 } { 3 }$
D.2
答案：8.D