1. 下列各组线段中，是成比例线段的为(
A.$3,5,7,9$
B.$2,5,6,8$
C.$1,3,4,7$
D.$3,6,9,18$
D
)A.$3,5,7,9$
B.$2,5,6,8$
C.$1,3,4,7$
D.$3,6,9,18$
答案：1.D
2. 在一幅比例尺为$1:50000$的地图上，量得$A$，$B$两地之间的图上距离为$3cm$，则$A$，$B$两地之间的实际距离为
1.5
$km$。答案：2 1.5
解析：
设$A$，$B$两地之间的实际距离为$x$cm。
因为比例尺$=\frac{图上距离}{实际距离}$，已知比例尺为$1:50000$，图上距离为$3$cm，所以可得：
$\frac{1}{50000}=\frac{3}{x}$
解得$x = 3×50000 = 150000$cm。
因为$1$km$=100000$cm，所以$150000$cm$=\frac{150000}{100000}=1.5$km。
1.5
因为比例尺$=\frac{图上距离}{实际距离}$，已知比例尺为$1:50000$，图上距离为$3$cm，所以可得：
$\frac{1}{50000}=\frac{3}{x}$
解得$x = 3×50000 = 150000$cm。
因为$1$km$=100000$cm，所以$150000$cm$=\frac{150000}{100000}=1.5$km。
1.5
3. 已知$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{6}\neq0$，则$\frac{x + y - z}{x - y + z}=$
$\frac{1}{5}$
。答案：$3. \frac{1}{5}$
解析：
设$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{6}=k(k\neq0)$，则$x = 3k$，$y = 4k$，$z = 6k$。
$\frac{x + y - z}{x - y + z}=\frac{3k + 4k - 6k}{3k - 4k + 6k}=\frac{k}{5k}=\frac{1}{5}$
$\frac{1}{5}$
$\frac{x + y - z}{x - y + z}=\frac{3k + 4k - 6k}{3k - 4k + 6k}=\frac{k}{5k}=\frac{1}{5}$
$\frac{1}{5}$
4. 若$C$是线段$AB$的黄金分割点，且$AB = 2$，则$BC$的长为(
A.$\sqrt{5}-1$
B.$3-\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\sqrt{5}-1$或$3-\sqrt{5}$
D
)A.$\sqrt{5}-1$
B.$3-\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\sqrt{5}-1$或$3-\sqrt{5}$
答案：4. D
解析：
当点$C$靠近点$A$时，$BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×2=\sqrt{5}-1$；当点$C$靠近点$B$时，$BC=AB-\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$。故$BC$的长为$\sqrt{5}-1$或$3-\sqrt{5}$。
D
D
5. 新素养 应用意识 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体. 如图，已知舞台$AB$的长为$20m$，则主持人应走到离点$A$至少
7.64
$m$处；他向点$B$再走4.72
$m$，也处在比较得体的位置.($\sqrt{5}$取$2.236$)答案：5 7.64 4.72
6. 下列关于两个图形相似的叙述中，不正确的是(
A.位置可以不同
B.周长可以不同
C.形状可以不同
D.面积可以不同
C
)A.位置可以不同
B.周长可以不同
C.形状可以不同
D.面积可以不同
答案：6. C
7. 小明用一面放大镜观察一个三角形，则该三角形没有发生变化的是(
A.各边长
B.各内角度数
C.面积
D.周长
B
)A.各边长
B.各内角度数
C.面积
D.周长
答案：7. B
8. (2025·江苏镇江模拟)如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 6$，$BC = 8$，经过矩形的对称中心$O$的直线$EF$分别与$AD$，$BC$交于点$E$，$F$，且$FC = 2$。若$H$为$OE$的中点，连接$BH$并延长，与$AD$交于点$G$，则$BG$的长为(
A.$8$
B.$\sqrt{61}$
C.$3\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{13}$
D
)A.$8$
B.$\sqrt{61}$
C.$3\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{13}$
答案：8. D 解析：因为四边形 ABCD 为矩形，所以 AD=BC=8,∠A=90°,AD//BC,所以 ∠HEG=∠HFB, ∠HGE=∠HBF,所以 △HEG∽△HFB,所以$ \frac{GE}{BF}=\frac{HE}{HF}. $因为直线 EF 经过矩形的对称中心 O,所 以 AE=FC=2,OE=OF. 又 H 为 OE 的中点,所以$ HE=\frac{1}{2}OE,$所以$ \frac{HE}{HF}=\frac{1}{3},$所以$ \frac{GE}{BF}=\frac{1}{3}. $因为 BF= BC-FC=6,所以 GE=2,所以 AG=AE+GE=4.因 为 AB=6,所以$ BG=\sqrt{AB^{2}+AG^{2}}=2\sqrt{13}.$
9. （2024·上海）如图，在矩形$ABCD$中，$E$为边$CD$上一点，且$AE⊥ BD$。
（1）求证：$AD^{2}=DE· CD$；
（2）$F$为线段$AE$延长线上一点，且满足$EF = CF=\frac{1}{2}BD$，求证：$CE = AD$。
（1）求证：$AD^{2}=DE· CD$；
（2）$F$为线段$AE$延长线上一点，且满足$EF = CF=\frac{1}{2}BD$，求证：$CE = AD$。
答案：9. (1) 因为四边形 ABCD 为矩形,所以 BA=CD,∠BAD=∠ADE=90°.设 AE 与 BD 交于点 G, 则∠AGD=90°,所以 ∠DAE+∠ADB=90°.又 ∠ABD+∠ADB=90°,所以 ∠DAE=∠ABD,所以 △ADE∽△BAD,所以$ \frac{AD}{BA}=\frac{DE}{AD},$所以 AD²=DE·BA,所以 AD²=DE·CD.
(2) 连接 AC,交 BD 于点 O.因为四边形 ABCD 为矩形,所以$ AO=CO=\frac{1}{2}AC,BO=DO=\frac{1}{2}BD,AC=BD,$所以 AO=DO,所以 ∠OAD=∠ODA.因为 EF=CF,所以 ∠FCE=∠FEC.因 为∠AGD=90°,所以 ∠DAE+∠ODA=90°.因为 ∠ADE=90°,所以 ∠DAE+∠AED=90°,所以 ∠ODA=∠AED.因为 ∠FEC=∠AED,所以 ∠ODA=∠FEC,所以 ∠OAD=∠FCE.因为$ EF=\frac{1}{2}BD,$所以 EF=DO.在△FCE 和△OAD 中$,\begin{cases} ∠FCE=∠OAD,\\ ∠FEC=∠ODA,\\ EF=DO,\end{cases} $所以 △FCE≌△OAD,所 以 CE=AD.
(2) 连接 AC,交 BD 于点 O.因为四边形 ABCD 为矩形,所以$ AO=CO=\frac{1}{2}AC,BO=DO=\frac{1}{2}BD,AC=BD,$所以 AO=DO,所以 ∠OAD=∠ODA.因为 EF=CF,所以 ∠FCE=∠FEC.因 为∠AGD=90°,所以 ∠DAE+∠ODA=90°.因为 ∠ADE=90°,所以 ∠DAE+∠AED=90°,所以 ∠ODA=∠AED.因为 ∠FEC=∠AED,所以 ∠ODA=∠FEC,所以 ∠OAD=∠FCE.因为$ EF=\frac{1}{2}BD,$所以 EF=DO.在△FCE 和△OAD 中$,\begin{cases} ∠FCE=∠OAD,\\ ∠FEC=∠ODA,\\ EF=DO,\end{cases} $所以 △FCE≌△OAD,所 以 CE=AD.