20. (6分)新素养应用意识如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树CD的高度，用长为1m的竹竿AB作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点E，且点E，A，C在同一条直线上.已知AE = 3m，AC = 9m，求这棵小树的高度.
答案：20.由题意，得AB//CD，所以△ABE∽△CDE，所以$\frac{AB}{CD}=\frac{AE}{CE}$.因为AE = 3m，AC = 9m，所以CE = AE + AC = 12m，所以$\frac{AE}{CE}=\frac{1}{4}$.因为AB = 1m，所以CD = 4m.故这棵小树的高度为4m.
解析：
解：由题意，得$AB // CD$，所以$\triangle ABE ∼ \triangle CDE$，因此$\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{CE}$。
因为$AE = 3\ \mathrm{m}$，$AC = 9\ \mathrm{m}$，所以$CE = AE + AC = 3 + 9 = 12\ \mathrm{m}$，则$\frac{AE}{CE} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$。
又因为$AB = 1\ \mathrm{m}$，所以$\frac{1}{CD} = \frac{1}{4}$，解得$CD = 4\ \mathrm{m}$。
故这棵小树的高度为$4\ \mathrm{m}$。
因为$AE = 3\ \mathrm{m}$，$AC = 9\ \mathrm{m}$，所以$CE = AE + AC = 3 + 9 = 12\ \mathrm{m}$，则$\frac{AE}{CE} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$。
又因为$AB = 1\ \mathrm{m}$，所以$\frac{1}{CD} = \frac{1}{4}$，解得$CD = 4\ \mathrm{m}$。
故这棵小树的高度为$4\ \mathrm{m}$。
21. (8分)如图，矩形ABCD的边AD = 8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在边CD上的点P处，折痕与边BC交于点E.
(1)求证：△ECP∽△PDA；
(2)若△ECP与△PDA面积的比为1∶4，求边AB的长.
(1)求证：△ECP∽△PDA；
(2)若△ECP与△PDA面积的比为1∶4，求边AB的长.
答案：21.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以∠B = ∠C = ∠D = 90°，所以∠CEP + ∠CPE = 90°.由折叠的性质，得∠APE = ∠B = 90°，所以∠DPA + ∠CPE = 180° - ∠APE = 90°，所以∠CEP = ∠DPA，所以△ECP∽△PDA.
(2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB = CD，BC = AD = 8.因为△ECP∽△PDA，△ECP与△PDA面积的比为1:4，所以$\frac{CE}{DP}=\frac{PC}{AD}=\frac{1}{2}$，所以PC = 4.由折叠的性质，得PE = BE.设PE = BE = x，则CE = BC - BE = 8 - x.因为$CE^{2}+PC^{2}=PE^{2}$，所以$(8 - x)^{2}+4^{2}=x^{2}$，解得x = 5，所以BE = 5，CE = 3，所以DP = 6，所以AB = CD = DP + PC = 10.
(2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB = CD，BC = AD = 8.因为△ECP∽△PDA，△ECP与△PDA面积的比为1:4，所以$\frac{CE}{DP}=\frac{PC}{AD}=\frac{1}{2}$，所以PC = 4.由折叠的性质，得PE = BE.设PE = BE = x，则CE = BC - BE = 8 - x.因为$CE^{2}+PC^{2}=PE^{2}$，所以$(8 - x)^{2}+4^{2}=x^{2}$，解得x = 5，所以BE = 5，CE = 3，所以DP = 6，所以AB = CD = DP + PC = 10.
22. (8分)(2025·新疆改编)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A = 90°，BC = 4，AD = aBN，M是AB的中点，D，N分别是边AC，BC上的动点.
(1)当D，N分别是AC，BC的中点时，求a的值；
(2)若当a = $ \sqrt{2} $时，以C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似，求BN的长.
(1)当D，N分别是AC，BC的中点时，求a的值；
(2)若当a = $ \sqrt{2} $时，以C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似，求BN的长.
答案：22.(1)因为∠A = 90°，AB = AC，所以$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{2}AC$，所以$AC=\frac{\sqrt{2}}{2}BC$.因为BC = 4，所以$AC = 2\sqrt{2}$.因为D是AC的中点，所以$AD=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$.因为N是BC的中点，所以$BN=\frac{1}{2}BC=2$，所以$\frac{AD}{BN}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$AD=\frac{\sqrt{2}}{2}BN$，即a的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(2)当$a=\sqrt{2}$时，$AD=\sqrt{2}BN$.因为M是AB的中点，$AB = AC = 2\sqrt{2}$，所以$BM=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$.设BN = x，则$AD=\sqrt{2}x$，所以$CD = AC - AD = 2\sqrt{2}-\sqrt{2}x$.因为BC = 4，所以CN = BC - BN = 4 - x.因为以C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似，且∠B = ∠C，所以分类讨论如下：①若△CDN∽△BMN，则$\frac{CD}{BM}=\frac{CN}{BN}$，所以$\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{2}x}{\sqrt{2}}=\frac{4 - x}{x}$，该方程无解；②若△CDN∽△BNM，则$\frac{CD}{BN}=\frac{CN}{BM}$，所以$\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{2}x}{x}=\frac{4 - x}{\sqrt{2}}$，解得$x = 3 - \sqrt{5}$（$x = 3 + \sqrt{5}$不合题意，舍去）.综上所述，BN的长为$3 - \sqrt{5}$.
(2)当$a=\sqrt{2}$时，$AD=\sqrt{2}BN$.因为M是AB的中点，$AB = AC = 2\sqrt{2}$，所以$BM=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$.设BN = x，则$AD=\sqrt{2}x$，所以$CD = AC - AD = 2\sqrt{2}-\sqrt{2}x$.因为BC = 4，所以CN = BC - BN = 4 - x.因为以C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似，且∠B = ∠C，所以分类讨论如下：①若△CDN∽△BMN，则$\frac{CD}{BM}=\frac{CN}{BN}$，所以$\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{2}x}{\sqrt{2}}=\frac{4 - x}{x}$，该方程无解；②若△CDN∽△BNM，则$\frac{CD}{BN}=\frac{CN}{BM}$，所以$\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{2}x}{x}=\frac{4 - x}{\sqrt{2}}$，解得$x = 3 - \sqrt{5}$（$x = 3 + \sqrt{5}$不合题意，舍去）.综上所述，BN的长为$3 - \sqrt{5}$.