23. (8分)新素养推理能力如图，在△ABC中，D，E是边AB上的点，CD平分∠BCE，且BC² = BD·BA.求证：
(1)△CED∽△ACD；
(2)$ \frac{BA}{BC} = \frac{CE}{ED} $.
(1)△CED∽△ACD；
(2)$ \frac{BA}{BC} = \frac{CE}{ED} $.
答案：23.(1)因为$BC^{2}=BD·BA$，所以$\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{BA}$.又∠CBD = ∠ABC，所以△BCD∽△BAC，所以∠BCD = ∠A.因为CD平分∠BCE，所以∠ECD = ∠BCD，所以∠ECD = ∠A.又∠EDC = ∠CDA，所以△CED∽△ACD.
(2)因为△BAC∽△BCD，所以$\frac{BA}{BC}=\frac{AC}{CD}$.因为△CED∽△ACD，所以$\frac{CE}{AC}=\frac{ED}{CD}$，所以$\frac{CE}{ED}=\frac{AC}{CD}$，所以$\frac{BA}{BC}=\frac{CE}{ED}$.
(2)因为△BAC∽△BCD，所以$\frac{BA}{BC}=\frac{AC}{CD}$.因为△CED∽△ACD，所以$\frac{CE}{AC}=\frac{ED}{CD}$，所以$\frac{CE}{ED}=\frac{AC}{CD}$，所以$\frac{BA}{BC}=\frac{CE}{ED}$.
24. (8分)(2024·广东深圳)如图，在△ABD中，AB = BD，⊙O为△ABD的外接圆，BE为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，连接DC并延长交BE于点E.
(1)求证：DE⊥BE；
(2)若AB = $ 5\sqrt{6} $，BE = 5，求⊙O的半径.
(1)求证：DE⊥BE；
(2)若AB = $ 5\sqrt{6} $，BE = 5，求⊙O的半径.
答案：24.(1)连接BO并延长交AD于点H，连接OD.因为AB = BD，OA = OD，所以点B，O都在AD的垂直平分线上，所以BH垂直平分AD，所以∠OBA = ∠OBD.因为BE为⊙O的切线，所以OB⊥BE，所以∠OBE = 90°，所以∠OBD + ∠DBE = 90°.因为OA = OB，所以∠OAB = ∠OBA，所以∠OAB = ∠OBD.因为∠BDE = ∠OAB，所以∠BDE = ∠OBD，所以∠BDE + ∠DBE = 90°，所以∠E = 90°，所以DE⊥BE.
(2)因为∠BHD = ∠OBE = ∠E = 90°，所以四边形BHDE为矩形，所以AH = DH = BE = 5.因为∠AHB = 90°，$AB = 5\sqrt{6}$，所以$BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=5\sqrt{5}$.设⊙O的半径为r，则OA = OB = r，所以OH = BH - OB = $5\sqrt{5}-r$.因为$AH^{2}+OH^{2}=OA^{2}$，所以$5^{2}+(5\sqrt{5}-r)^{2}=r^{2}$，解得$r = 3\sqrt{5}$，即⊙O的半径为$3\sqrt{5}$.
(2)因为∠BHD = ∠OBE = ∠E = 90°，所以四边形BHDE为矩形，所以AH = DH = BE = 5.因为∠AHB = 90°，$AB = 5\sqrt{6}$，所以$BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=5\sqrt{5}$.设⊙O的半径为r，则OA = OB = r，所以OH = BH - OB = $5\sqrt{5}-r$.因为$AH^{2}+OH^{2}=OA^{2}$，所以$5^{2}+(5\sqrt{5}-r)^{2}=r^{2}$，解得$r = 3\sqrt{5}$，即⊙O的半径为$3\sqrt{5}$.