25. (10分)已知在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则边角总满足关系式：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
(1)如图①，若a = 6，∠B = 45°，∠C = 75°，求b的值；
(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD(如图②).若CD⊥AB，AC = 14 m，AB = 10 m，sin∠ACB = $\frac{5\sqrt{3}}{14}$，求景观桥CD的长度.
(1)如图①，若a = 6，∠B = 45°，∠C = 75°，求b的值；
(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD(如图②).若CD⊥AB，AC = 14 m，AB = 10 m，sin∠ACB = $\frac{5\sqrt{3}}{14}$，求景观桥CD的长度.
答案：25.(1)因为∠B = 45°，∠C = 75°，所以∠A = 180° - ∠B - ∠C = 60°。因为$\frac{a}{sinA}$ = $\frac{b}{sinB}$，a = 6，所以$\frac{6}{sin60°}$ = $\frac{b}{sin45°}$，所以b = 2$\sqrt{6}$。
(2)因为$\frac{AC}{sinB}$ = $\frac{AB}{sin∠ACB}$，AC = 14m，AB = 10m，sin∠ACB = $\frac{5\sqrt{3}}{14}$，所以$\frac{14}{sinB}$ = $\frac{10}{\frac{5\sqrt{3}}{14}}$，所以sinB = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以∠B = 60°。因为CD⊥AB，所以∠ADC = ∠BDC = 90°。设AD = xm，则BD = AB - AD = (10 - x)m，所以CD = BD·tanB = $\sqrt{3}$(10 - x)m。因为AD² + CD² = AC²，所以x² + 3(10 - x)² = 14²，解得x₁ = 2，x₂ = 13（不合题意，舍去），则CD = 8$\sqrt{3}$m。故景观桥CD的长度为8$\sqrt{3}$m。
(2)因为$\frac{AC}{sinB}$ = $\frac{AB}{sin∠ACB}$，AC = 14m，AB = 10m，sin∠ACB = $\frac{5\sqrt{3}}{14}$，所以$\frac{14}{sinB}$ = $\frac{10}{\frac{5\sqrt{3}}{14}}$，所以sinB = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以∠B = 60°。因为CD⊥AB，所以∠ADC = ∠BDC = 90°。设AD = xm，则BD = AB - AD = (10 - x)m，所以CD = BD·tanB = $\sqrt{3}$(10 - x)m。因为AD² + CD² = AC²，所以x² + 3(10 - x)² = 14²，解得x₁ = 2，x₂ = 13（不合题意，舍去），则CD = 8$\sqrt{3}$m。故景观桥CD的长度为8$\sqrt{3}$m。
26. (12分)新素养 应用意识 如图①是一台实物投影仪的示意图，折线B - A - O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO = 6.8 cm，CD = 8 cm，AB = 30 cm，BC = 35 cm.(结果精确到0.1，参考数据：sin 70°≈0.94，cos 20°≈0.94，sin 36.8°≈0.60，cos 53.2°≈0.60)
(1)如图①，若∠ABC = 70°，BC//OE.
① 填空：∠BAO =
② 求投影探头的端点D到桌面OE的距离；
(2)如图②，将(1)中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时，求∠ABC的度数.
(1)如图①，若∠ABC = 70°，BC//OE.
① 填空：∠BAO =
160°
；② 求投影探头的端点D到桌面OE的距离；
(2)如图②，将(1)中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时，求∠ABC的度数.
答案：26.(1)①160° ②延长OA交BC于点F。因为AO⊥OE，所以∠AOE = 90°。因为BC//OE，所以∠OFB = ∠AOE = 90°。因为AB = 30cm，∠ABC = 70°，所以AF = AB·sin∠ABC≈30×0.94 = 28.2(cm)。因为AO = 6.8cm，CD = 8cm，所以AO + AF - CD = 27.0cm。故投影探头的端点D到桌面OE的距离约为27.0cm。
(2)过点B作BH⊥CD，交DC的延长线于点H，则∠H = 90°，CH = 27.0 - 6 = 21(cm)。因为BC = 35cm，所以sin∠CBH = $\frac{CH}{BC}$ = 0.6，所以∠CBH≈36.8°。因为∠ABH = 70°，所以∠ABC = ∠ABH - ∠CBH = 33.2°。故∠ABC的度数约为33.2°。
(2)过点B作BH⊥CD，交DC的延长线于点H，则∠H = 90°，CH = 27.0 - 6 = 21(cm)。因为BC = 35cm，所以sin∠CBH = $\frac{CH}{BC}$ = 0.6，所以∠CBH≈36.8°。因为∠ABH = 70°，所以∠ABC = ∠ABH - ∠CBH = 33.2°。故∠ABC的度数约为33.2°。