1. 在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的 $ m $ 个小球，其中有 5 个黑球，从袋中任意摸出一球，记下其颜色，之后把它放回袋中，这称为一次摸球试验. 搅匀后，再继续进行摸球试验. 以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的统计表：
根据统计表，可以估计出 $ m $ 的值是(
A.5
B.10
C.15
D.20
根据统计表，可以估计出 $ m $ 的值是(
B
)A.5
B.10
C.15
D.20
答案：1.B
解析：
随着试验次数增加，摸出黑球的频率逐渐稳定。当试验次数为100000时，摸出黑球次数为50007，频率约为$\frac{50007}{100000}\approx0.5$。
由概率定义，摸出黑球的概率$P=\frac{5}{m}\approx0.5$，解得$m\approx10$。
B
由概率定义，摸出黑球的概率$P=\frac{5}{m}\approx0.5$，解得$m\approx10$。
B
2. (2025·内蒙古)如图，在平面直角坐标系中，$\triangle OAB$ 的顶点坐标分别是 $ O(0,0) $，$ A(2,1) $，$ B(1,2) $，以原点 $ O $ 为位似中心，在第三象限画 $\triangle OA'B'$ 与 $\triangle OAB$ 位似. 若 $\triangle OA'B'$ 与 $\triangle OAB$ 的相似比为 $ 2:1 $，则点 $ A $ 的对应点 $ A' $ 的坐标为(
A.$ (-2,-1) $
B.$ (-4,-2) $
C.$ (-1,-2) $
D.$ (-2,-4) $
B
)A.$ (-2,-1) $
B.$ (-4,-2) $
C.$ (-1,-2) $
D.$ (-2,-4) $
答案：2.B
解析：
解：
∵以原点$O$为位似中心，$\triangle OA'B'$与$\triangle OAB$的相似比为$2:1$，且$\triangle OA'B'$在第三象限，
$A(2,1)$，
∴点$A$的对应点$A'$的坐标为$(2×(-2),1×(-2))=(-4,-2)$。
答案：B
∵以原点$O$为位似中心，$\triangle OA'B'$与$\triangle OAB$的相似比为$2:1$，且$\triangle OA'B'$在第三象限，
$A(2,1)$，
∴点$A$的对应点$A'$的坐标为$(2×(-2),1×(-2))=(-4,-2)$。
答案：B
3. (2024·广东深圳)如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高 $ 1.8 \, \mathrm{m} $ 的测量仪 $ EF $ 测得顶端 $ A $ 的仰角为 $ 45^{\circ} $，小军在小明的前面 $ 5 \, \mathrm{m} $ 处用高 $ 1.5 \, \mathrm{m} $ 的测量仪 $ CD $ 测得顶端 $ A $ 的仰角为 $ 53^{\circ} $，则电子厂 $ AB $ 的高度约为(参考数据：$\sin 53^{\circ} \approx \frac{4}{5}$，$\cos 53^{\circ} \approx \frac{3}{5}$，$\tan 53^{\circ} \approx \frac{4}{3}$)(
A.$ 22.7 \, \mathrm{m} $
B.$ 22.4 \, \mathrm{m} $
C.$ 21.2 \, \mathrm{m} $
D.$ 23.0 \, \mathrm{m} $
A
)A.$ 22.7 \, \mathrm{m} $
B.$ 22.4 \, \mathrm{m} $
C.$ 21.2 \, \mathrm{m} $
D.$ 23.0 \, \mathrm{m} $
答案：3.A
解析：
解：设电子厂高度为$AB = h\,\mathrm{m}$，$MN = x\,\mathrm{m}$。
由题意得：$EN = 5\,\mathrm{m}$，$EM = EN + NM = 5 + x\,\mathrm{m}$，$AM = h - 1.8\,\mathrm{m}$，$AN = h - 1.5\,\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}\triangle AEM$中，$\tan45°=\frac{AM}{EM}=1$，故$AM = EM$，即$h - 1.8 = 5 + x$，得$x = h - 6.8$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ACN$中，$\tan53°=\frac{AN}{CN}=\frac{4}{3}$，$CN = x$，则$\frac{h - 1.5}{x}=\frac{4}{3}$。
将$x = h - 6.8$代入得：$\frac{h - 1.5}{h - 6.8}=\frac{4}{3}$，解得$h = 22.7$。
答案：A
由题意得：$EN = 5\,\mathrm{m}$，$EM = EN + NM = 5 + x\,\mathrm{m}$，$AM = h - 1.8\,\mathrm{m}$，$AN = h - 1.5\,\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}\triangle AEM$中，$\tan45°=\frac{AM}{EM}=1$，故$AM = EM$，即$h - 1.8 = 5 + x$，得$x = h - 6.8$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ACN$中，$\tan53°=\frac{AN}{CN}=\frac{4}{3}$，$CN = x$，则$\frac{h - 1.5}{x}=\frac{4}{3}$。
将$x = h - 6.8$代入得：$\frac{h - 1.5}{h - 6.8}=\frac{4}{3}$，解得$h = 22.7$。
答案：A
4. (2023·浙江杭州)已知二次函数 $ y = a(x - m)(x - m - k) $($ a ＞ 0 $，$ m $，$ k $ 是实数)，下列说法正确的是(
A.当 $ k = 2 $ 时，函数 $ y $ 的最小值为 $ -a $
B.当 $ k = 2 $ 时，函数 $ y $ 的最小值为 $ -2a $
C.当 $ k = 4 $ 时，函数 $ y $ 的最小值为 $ -a $
D.当 $ k = 4 $ 时，函数 $ y $ 的最小值为 $ -2a $
A
)A.当 $ k = 2 $ 时，函数 $ y $ 的最小值为 $ -a $
B.当 $ k = 2 $ 时，函数 $ y $ 的最小值为 $ -2a $
C.当 $ k = 4 $ 时，函数 $ y $ 的最小值为 $ -a $
D.当 $ k = 4 $ 时，函数 $ y $ 的最小值为 $ -2a $
答案：4.A
解析：
当$k = 2$时，函数为$y = a(x - m)(x - m - 2)$，令$t=x - m$，则$y = a t(t - 2)=a(t^2 - 2t)=a(t - 1)^2 - a$，因为$a＞0$，所以函数最小值为$-a$。
当$k = 4$时，函数为$y = a(x - m)(x - m - 4)$，令$t=x - m$，则$y = a t(t - 4)=a(t^2 - 4t)=a(t - 2)^2 - 4a$，函数最小值为$-4a$。
综上，正确的是A选项。
A
当$k = 4$时，函数为$y = a(x - m)(x - m - 4)$，令$t=x - m$，则$y = a t(t - 4)=a(t^2 - 4t)=a(t - 2)^2 - 4a$，函数最小值为$-4a$。
综上，正确的是A选项。
A
5. 已知二次函数 $ y = 2x^2 - 8x + 6 $ 的图像交 $ x $ 轴于 $ A $，$ B $ 两点. 若其图像上有且只有 $ P_1 $，$ P_2 $，$ P_3 $ 三点满足 $ S_{\triangle ABP_1} = S_{\triangle ABP_2} = S_{\triangle ABP_3} = m $，则 $ m $ 的值是(
A.1
B.$ \frac{3}{2} $
C.2
D.4
C
)A.1
B.$ \frac{3}{2} $
C.2
D.4
答案：5.C
解析：
解：令$y=0$，则$2x^2 - 8x + 6 = 0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，$\therefore AB=3 - 1=2$。
$y=2x^2 - 8x + 6=2(x - 2)^2 - 2$，顶点坐标为$(2,-2)$，顶点到$x$轴距离为$2$。
$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2} × AB × |y_P|=m$，即$\frac{1}{2} × 2 × |y_P|=m$，$|y_P|=m$。
图像上有且只有三点满足，$y=m$与抛物线有两个交点，$y=-m$与抛物线有一个交点，$\therefore -m=-2$，$m=2$。
C
$y=2x^2 - 8x + 6=2(x - 2)^2 - 2$，顶点坐标为$(2,-2)$，顶点到$x$轴距离为$2$。
$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2} × AB × |y_P|=m$，即$\frac{1}{2} × 2 × |y_P|=m$，$|y_P|=m$。
图像上有且只有三点满足，$y=m$与抛物线有两个交点，$y=-m$与抛物线有一个交点，$\therefore -m=-2$，$m=2$。
C