1. (3分) 上 分 点 一 下列四组图形中,不是相似图形的为 (
D
)答案：1. D
2. (2025·江苏宿迁模拟·3分)如图,矩形ABCD被分成5个正方形和2个小矩形后形成一个中心对称图形.若矩形BEFG∽矩形ABCD,则$\frac{BG}{AD}$的值为 (
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$
A
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$
答案：2. A 解析：设5个正方形中小正方形的边长为$a$，大正方形的边长为$b$，则$AG=b$，$BG=b+a$，$BE=2b - a$，$CE=2b$，所以$AB=AG + BG=2b + a$，$AD=BC=BE + CE=4b - a$. 因为矩形$BEFG ∼$矩形$ABCD$，所以$\frac{BG}{AD}=\frac{BE}{AB}$，即$\frac{b + a}{4b - a}=\frac{2b - a}{2b + a}$，所以$b=\frac{3}{2}a$，所以$BG=\frac{5}{2}a$，$AD=5a$，所以$\frac{BG}{AD}=\frac{1}{2}$.
3. (3分) 亮点原创 如图,在平面直角坐标系中,O是原点,正方形OABC、正方形OMNP的边OA,OM在x轴上,点B,N在第一象限.若抛物线$y = ax^{2} + bx$的顶点与PN的中点重合,且经过点O,B,M,则正方形OABC与正方形OMNP的相似比为
3:4
.答案：3. $3:4$
解析：
解：设正方形OABC的边长为$m$，则点$B(m,m)$。
设正方形OMNP的边长为$n$，则点$M(n,0)$，$P(0,n)$，$N(n,n)$，PN的中点坐标为$(\frac{n}{2},n)$。
抛物线$y = ax^{2} + bx$的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{-b^{2}}{4a})$，由顶点与PN的中点重合，得$-\frac{b}{2a}=\frac{n}{2}$，$\frac{-b^{2}}{4a}=n$，解得$b=-an$，$a=-\frac{4}{n}$，所以抛物线解析式为$y=-\frac{4}{n}x^{2}+4x$。
因为抛物线经过点$B(m,m)$，所以$m=-\frac{4}{n}m^{2}+4m$，整理得$4m^{2}=3mn$，即$\frac{m}{n}=\frac{3}{4}$。
故正方形OABC与正方形OMNP的相似比为$3:4$。
答案：$3:4$
设正方形OMNP的边长为$n$，则点$M(n,0)$，$P(0,n)$，$N(n,n)$，PN的中点坐标为$(\frac{n}{2},n)$。
抛物线$y = ax^{2} + bx$的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{-b^{2}}{4a})$，由顶点与PN的中点重合，得$-\frac{b}{2a}=\frac{n}{2}$，$\frac{-b^{2}}{4a}=n$，解得$b=-an$，$a=-\frac{4}{n}$，所以抛物线解析式为$y=-\frac{4}{n}x^{2}+4x$。
因为抛物线经过点$B(m,m)$，所以$m=-\frac{4}{n}m^{2}+4m$，整理得$4m^{2}=3mn$，即$\frac{m}{n}=\frac{3}{4}$。
故正方形OABC与正方形OMNP的相似比为$3:4$。
答案：$3:4$
4. (4分) 新素养 抽象能力 如果一条对角线把四边形分成两个相似的三角形,那么我们把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线.在四边形ABCD中,$AB = AC = \sqrt{3}$,$AD = CD = \frac{3}{2}$,E,F分别是AD,BC的中点.若AC是四边形ABCD的相似对角线,则EF的长为
$\frac{\sqrt{41}}{4}$
.答案：
4. $\frac{\sqrt{41}}{4}$ 解析：如图，因为$AB=AC=\sqrt{3}$，$AD=CD=\frac{3}{2}$，$\triangle ABC$与$\triangle DAC$相似，所以$\triangle ABC ∼ \triangle DAC$，所以$\angle ACB=\angle DCA$，$\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{AC}$，所以$BC=2$. 因为$\angle DAC=\angle DCA$，所以$\angle ACB=\angle DAC$，所以$AD // BC$. 因为$F$是$BC$的中点，所以$BF=CF=\frac{1}{2}BC=1$，$AF ⊥ BC$，所以$\angle AFC=90°$，所以$AF=\sqrt{AC^2 - CF^2}=\sqrt{2}$. 因为$E$是$AD$的中点，所以$AE=\frac{1}{2}AD=\frac{3}{4}$. 因为$\angle EAF=180° - \angle AFC=90°$，所以$EF=\sqrt{AE^2 + AF^2}=\frac{\sqrt{41}}{4}$.
4. $\frac{\sqrt{41}}{4}$ 解析：如图，因为$AB=AC=\sqrt{3}$，$AD=CD=\frac{3}{2}$，$\triangle ABC$与$\triangle DAC$相似，所以$\triangle ABC ∼ \triangle DAC$，所以$\angle ACB=\angle DCA$，$\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{AC}$，所以$BC=2$. 因为$\angle DAC=\angle DCA$，所以$\angle ACB=\angle DAC$，所以$AD // BC$. 因为$F$是$BC$的中点，所以$BF=CF=\frac{1}{2}BC=1$，$AF ⊥ BC$，所以$\angle AFC=90°$，所以$AF=\sqrt{AC^2 - CF^2}=\sqrt{2}$. 因为$E$是$AD$的中点，所以$AE=\frac{1}{2}AD=\frac{3}{4}$. 因为$\angle EAF=180° - \angle AFC=90°$，所以$EF=\sqrt{AE^2 + AF^2}=\frac{\sqrt{41}}{4}$.
5. (3分) 新素养 几何直观 如图,已知直线AB//CD//EF.若AD:DF = 3:2,CE = 4,则BE的长为 (
A.6
B.8
C.10
D.12
C
)A.6
B.8
C.10
D.12
答案：5. C
解析：
解：
∵AB//CD//EF，
∴$\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$。
∵AD:DF = 3:2，CE = 4，
∴$\frac{3}{2}=\frac{BC}{4}$，
解得$BC=6$。
∵BE = BC + CE，
∴BE = 6 + 4 = 10。
答案：C
∵AB//CD//EF，
∴$\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$。
∵AD:DF = 3:2，CE = 4，
∴$\frac{3}{2}=\frac{BC}{4}$，
解得$BC=6$。
∵BE = BC + CE，
∴BE = 6 + 4 = 10。
答案：C
6. (3分)如图,在矩形ABCD中,AB = 2,BC = 3,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,AD上,且EF//AC//HG,EH//BD//FG,则四边形EFGH的周长为 (
D
)答案：6. D
解析：
解：在矩形$ABCD$中，$AB=2$，$BC=3$，
$\therefore AC=BD=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$。
设$AE=a$，$EB=2 - a$，
$\because EH// BD$，$\therefore \triangle AEH∼\triangle ABD$，
$\therefore \frac{EH}{BD}=\frac{AE}{AB}=\frac{a}{2}$，$\therefore EH=\frac{a}{2}\sqrt{13}$。
$\because EF// AC$，$\therefore \triangle BEF∼\triangle BAC$，
$\therefore \frac{EF}{AC}=\frac{EB}{AB}=\frac{2 - a}{2}$，$\therefore EF=\frac{2 - a}{2}\sqrt{13}$。
$\because EF// AC// HG$，$EH// BD// FG$，
$\therefore$四边形$EFGH$是平行四边形，
$\therefore$周长$=2(EH + EF)=2(\frac{a}{2}\sqrt{13}+\frac{2 - a}{2}\sqrt{13})=2\sqrt{13}$。
$2\sqrt{13}$
$\therefore AC=BD=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$。
设$AE=a$，$EB=2 - a$，
$\because EH// BD$，$\therefore \triangle AEH∼\triangle ABD$，
$\therefore \frac{EH}{BD}=\frac{AE}{AB}=\frac{a}{2}$，$\therefore EH=\frac{a}{2}\sqrt{13}$。
$\because EF// AC$，$\therefore \triangle BEF∼\triangle BAC$，
$\therefore \frac{EF}{AC}=\frac{EB}{AB}=\frac{2 - a}{2}$，$\therefore EF=\frac{2 - a}{2}\sqrt{13}$。
$\because EF// AC// HG$，$EH// BD// FG$，
$\therefore$四边形$EFGH$是平行四边形，
$\therefore$周长$=2(EH + EF)=2(\frac{a}{2}\sqrt{13}+\frac{2 - a}{2}\sqrt{13})=2\sqrt{13}$。
$2\sqrt{13}$