6. (2024·江苏苏州改编·8分)如图是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆.已知AB=10cm，BC=20cm，AD=50cm.
(1)如图①，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度；
(2)如图②，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且tanα=$\frac{3}{4}$(α为锐角)，求此时可伸缩支撑杆CD的长度.
(1)如图①，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度；
(2)如图②，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且tanα=$\frac{3}{4}$(α为锐角)，求此时可伸缩支撑杆CD的长度.
答案：
6. (1) 过点C作CE⊥AD于点E，则∠CEA = ∠CED = 90°. 因为AB⊥BC，所以∠B = 90°. 因为AD // BC，所以∠A + ∠B = 180°，所以∠A = 180° - ∠B = 90°，所以四边形ABCE是矩形，所以CE = AB = 10 cm，AE = BC = 20 cm. 因为AD = 50 cm，所以DE = AD - AE = 30 cm，所以CD = $\sqrt{CE^{2} + DE^{2}}$ = 10$\sqrt{10}$ cm. 故可伸缩支撑杆CD的长度为10$\sqrt{10}$ cm.
(2) 如图，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交AD'于点G. 同(1)可得四边形ABFG是矩形，所以FG = AB = 10 cm，AG = BF，∠AGF = 90°，所以∠AGD = 180° - ∠AGF = 90°，所以tanα = $\frac{DG}{AG}$ = $\frac{3}{4}$. 设DG = 3x cm，则AG = 4x cm，所以AD = $\sqrt{AG^{2} + DG^{2}}$ = 5x cm. 又AD = 50 cm，所以5x = 50，解得x = 10，所以DG = 30 cm，BF = AG = 40 cm，所以DF = DG + FG = 40 cm. 因为BC = 20 cm，所以CF = BF - BC = 20 cm，所以CD = $\sqrt{CF^{2} + DF^{2}}$ = 20$\sqrt{5}$ cm. 故此时可伸缩支撑杆CD的长度为20$\sqrt{5}$ cm.
6. (1) 过点C作CE⊥AD于点E，则∠CEA = ∠CED = 90°. 因为AB⊥BC，所以∠B = 90°. 因为AD // BC，所以∠A + ∠B = 180°，所以∠A = 180° - ∠B = 90°，所以四边形ABCE是矩形，所以CE = AB = 10 cm，AE = BC = 20 cm. 因为AD = 50 cm，所以DE = AD - AE = 30 cm，所以CD = $\sqrt{CE^{2} + DE^{2}}$ = 10$\sqrt{10}$ cm. 故可伸缩支撑杆CD的长度为10$\sqrt{10}$ cm.
(2) 如图，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交AD'于点G. 同(1)可得四边形ABFG是矩形，所以FG = AB = 10 cm，AG = BF，∠AGF = 90°，所以∠AGD = 180° - ∠AGF = 90°，所以tanα = $\frac{DG}{AG}$ = $\frac{3}{4}$. 设DG = 3x cm，则AG = 4x cm，所以AD = $\sqrt{AG^{2} + DG^{2}}$ = 5x cm. 又AD = 50 cm，所以5x = 50，解得x = 10，所以DG = 30 cm，BF = AG = 40 cm，所以DF = DG + FG = 40 cm. 因为BC = 20 cm，所以CF = BF - BC = 20 cm，所以CD = $\sqrt{CF^{2} + DF^{2}}$ = 20$\sqrt{5}$ cm. 故此时可伸缩支撑杆CD的长度为20$\sqrt{5}$ cm.
7. (2025·江苏南京模拟·4分)新素养 应用意识 如图，灯塔A在测绘船的正北方向，灯塔B在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20n mile后，恰好在灯塔B的正南方向，此时测得灯塔A在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔A，B之间的距离约为(结果保留整数，参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，√5≈2.24)(
A.20n mile
B.21n mile
C.22n mile
D.24n mile
C
)A.20n mile
B.21n mile
C.22n mile
D.24n mile
答案：7. C
8. (4分)上分点三 如图，学校数学兴趣小组成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°.已知斜坡CD的长为20m，DE的长为10m，则树AB的高为(
A.20√3m
B.30m
C.30√3m
D.40m
B
)A.20√3m
B.30m
C.30√3m
D.40m
答案：8. B
解析：
解：设 $ AE = x \, \mathrm{m} $，$ AB = h \, \mathrm{m} $。
在 $ \mathrm{Rt}\triangle ADE $ 中，$ DE = 10 \, \mathrm{m} $，$ CD = 20 \, \mathrm{m} $，$ \sin\angle DCE = \frac{DE}{CD} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} $，故 $ \angle DCE = 30° $，$ CE = CD · \cos30° = 20 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \, \mathrm{m} $，则 $ AC = AE + CE = x + 10\sqrt{3} $。
在 $ \mathrm{Rt}\triangle ABC $ 中，$ \tan60° = \frac{AB}{AC} $，即 $ \sqrt{3} = \frac{h}{x + 10\sqrt{3}} $，得 $ h = \sqrt{3}(x + 10\sqrt{3}) $ ①。
在 $ \mathrm{Rt}\triangle BDF $（$ F $ 为过 $ D $ 作 $ AB $ 的垂线垂足）中，$ DF = AE = x $，$ BF = AB - AF = h - 10 $，$ \tan30° = \frac{BF}{DF} $，即 $ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h - 10}{x} $，得 $ x = \sqrt{3}(h - 10) $ ②。
将②代入①：$ h = \sqrt{3}[\sqrt{3}(h - 10) + 10\sqrt{3}] = \sqrt{3}[ \sqrt{3}h - 10\sqrt{3} + 10\sqrt{3} ] = 3h $，解得 $ h = 30 \, \mathrm{m} $。
答案：B
在 $ \mathrm{Rt}\triangle ADE $ 中，$ DE = 10 \, \mathrm{m} $，$ CD = 20 \, \mathrm{m} $，$ \sin\angle DCE = \frac{DE}{CD} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} $，故 $ \angle DCE = 30° $，$ CE = CD · \cos30° = 20 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \, \mathrm{m} $，则 $ AC = AE + CE = x + 10\sqrt{3} $。
在 $ \mathrm{Rt}\triangle ABC $ 中，$ \tan60° = \frac{AB}{AC} $，即 $ \sqrt{3} = \frac{h}{x + 10\sqrt{3}} $，得 $ h = \sqrt{3}(x + 10\sqrt{3}) $ ①。
在 $ \mathrm{Rt}\triangle BDF $（$ F $ 为过 $ D $ 作 $ AB $ 的垂线垂足）中，$ DF = AE = x $，$ BF = AB - AF = h - 10 $，$ \tan30° = \frac{BF}{DF} $，即 $ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h - 10}{x} $，得 $ x = \sqrt{3}(h - 10) $ ②。
将②代入①：$ h = \sqrt{3}[\sqrt{3}(h - 10) + 10\sqrt{3}] = \sqrt{3}[ \sqrt{3}h - 10\sqrt{3} + 10\sqrt{3} ] = 3h $，解得 $ h = 30 \, \mathrm{m} $。
答案：B
9. (4分)如图，某无人机于空中A处探测到地面上的目标D的俯角为60°，此时无人机的飞行高度AC为60m.随后无人机从A处继续水平飞行30√3m到达A'处，则在A'处，从无人机上看目标D的俯角的正切值为
$\frac{2\sqrt{3}}{5}$
.答案：
9. $\frac{2\sqrt{3}}{5}$ 解析：如图，过点D作DE⊥AA'，交A'A的延长线于点E，连接A'D，则∠A'ED = 90°. 由题意，得AC = 60 m，AA' = 30$\sqrt{3}$ m，∠C = 90°，∠EAD = 60°，AE // CD，所以∠CDE = 180° - ∠A'ED = 90°，所以四边形ACDE是矩形，所以DE = AC = 60 m，所以AE = $\frac{DE}{\tan \angle EAD}$ = 20$\sqrt{3}$ m，所以A'E = AE + AA' = 50$\sqrt{3}$ m，所以tan∠EA'D = $\frac{DE}{A'E}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{5}$. 故在A'处，从无人机上看目标D的俯角的正切值为$\frac{2\sqrt{3}}{5}$.
9. $\frac{2\sqrt{3}}{5}$ 解析：如图，过点D作DE⊥AA'，交A'A的延长线于点E，连接A'D，则∠A'ED = 90°. 由题意，得AC = 60 m，AA' = 30$\sqrt{3}$ m，∠C = 90°，∠EAD = 60°，AE // CD，所以∠CDE = 180° - ∠A'ED = 90°，所以四边形ACDE是矩形，所以DE = AC = 60 m，所以AE = $\frac{DE}{\tan \angle EAD}$ = 20$\sqrt{3}$ m，所以A'E = AE + AA' = 50$\sqrt{3}$ m，所以tan∠EA'D = $\frac{DE}{A'E}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{5}$. 故在A'处，从无人机上看目标D的俯角的正切值为$\frac{2\sqrt{3}}{5}$.