5. (3分)在如图所示的圆形图案中，灰、白两色的直角三角形都全等.甲、乙两人将它作为一个游戏盘，游戏规则如下：按一定距离向盘中投镖一次(扎不中游戏盘或扎中灰、白区域的边界重新投镖)，扎在灰色区域为甲胜，扎在白色区域为乙胜，则这个游戏规则(
A.对甲有利
B.对乙有利
C.对双方公平
D.无法确定公平性
C
)A.对甲有利
B.对乙有利
C.对双方公平
D.无法确定公平性
答案：5.C
6. (3分)小红与小颖玩掷骰子的游戏，同时投掷两枚骰子，当两枚骰子的点数之积为质数时，小红得2分；当两枚骰子的点数之积为6的倍数时，小颖得1分.下列说法正确的是(
A.这个游戏规则对小红有利
B.这个游戏规则对小颖有利
C.这个游戏规则对双方是公平的
D.这个游戏规则的公平性无法确定
B
)A.这个游戏规则对小红有利
B.这个游戏规则对小颖有利
C.这个游戏规则对双方是公平的
D.这个游戏规则的公平性无法确定
答案：6.B
7. (4分)新趋势 开放探究 王华和李明要玩一个游戏：两人轮流在一张正方形硬纸板上放同样大小的硬币，规则如下：每人每次只能放一枚，让硬币平躺在硬纸板上，任何两枚硬币不能重合.谁放完最后一枚，使得对方再也找不到空地放下一枚硬币的时候，谁就赢了.如果王华走第一步，那么他应该放在
正方形硬纸板的中心位置
才可能稳操胜券，请说明理由：此后，李明放一枚硬币，王华总可以在硬纸板上放一枚硬币，使它与李明放的硬币关于正方形硬纸板的中心对称，直到李明无处可放，王华就赢了
.答案：7.正方形硬纸板的中心位置 此后，李明放一枚硬币，王华总可以在硬纸板上放一枚硬币，使它与李明放的硬币关于正方形硬纸板的中心对称，直到李明无处可放，王华就赢了
8. (2025·江苏无锡模拟·4分)小华和小明玩游戏.甲、乙是两个不透明的纸箱，甲箱中有三张分别标有数字$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$，1的卡片，乙箱中有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别.现制定如下游戏规则：从甲箱中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙箱中任取一张卡片，将其数字记为b.若a，b能使关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+1=0$有两个不相等的实数根，则小华获胜，否则小明获胜.这二人中获胜可能性较大的是
小华
(填“小华”或“小明”)，他获胜的概率是$\frac{5}{9}$
.答案：8.小华$ \frac{5}{9}$
解析：
从甲箱取卡片有3种等可能结果：$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$，1；从乙箱取卡片有3种等可能结果：1，2，3。所有可能的$(a,b)$组合共$3×3=9$种，分别为：$(\frac{1}{4},1)$，$(\frac{1}{4},2)$，$(\frac{1}{4},3)$，$(\frac{1}{2},1)$，$(\frac{1}{2},2)$，$(\frac{1}{2},3)$，$(1,1)$，$(1,2)$，$(1,3)$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + 1 = 0$，判别式$\Delta = b^2 - 4a$。当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根，小华获胜。
当$a = \frac{1}{4}$时：
$b = 1$，$\Delta = 1^2 - 4×\frac{1}{4} = 1 - 1 = 0$，不满足；
$b = 2$，$\Delta = 2^2 - 4×\frac{1}{4} = 4 - 1 = 3 ＞ 0$，满足；
$b = 3$，$\Delta = 3^2 - 4×\frac{1}{4} = 9 - 1 = 8 ＞ 0$，满足。
当$a = \frac{1}{2}$时：
$b = 1$，$\Delta = 1^2 - 4×\frac{1}{2} = 1 - 2 = -1 ＜ 0$，不满足；
$b = 2$，$\Delta = 2^2 - 4×\frac{1}{2} = 4 - 2 = 2 ＞ 0$，满足；
$b = 3$，$\Delta = 3^2 - 4×\frac{1}{2} = 9 - 2 = 7 ＞ 0$，满足。
当$a = 1$时：
$b = 1$，$\Delta = 1^2 - 4×1 = 1 - 4 = -3 ＜ 0$，不满足；
$b = 2$，$\Delta = 2^2 - 4×1 = 4 - 4 = 0$，不满足；
$b = 3$，$\Delta = 3^2 - 4×1 = 9 - 4 = 5 ＞ 0$，满足。
满足$\Delta ＞ 0$的组合有：$(\frac{1}{4},2)$，$(\frac{1}{4},3)$，$(\frac{1}{2},2)$，$(\frac{1}{2},3)$，$(1,3)$，共5种。
小华获胜的概率为$\frac{5}{9}$，小明获胜的概率为$1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$。因为$\frac{5}{9} ＞ \frac{4}{9}$，所以获胜可能性较大的是小华，他获胜的概率是$\frac{5}{9}$。
小华；$\frac{5}{9}$
对于一元二次方程$ax^2 + bx + 1 = 0$，判别式$\Delta = b^2 - 4a$。当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根，小华获胜。
当$a = \frac{1}{4}$时：
$b = 1$，$\Delta = 1^2 - 4×\frac{1}{4} = 1 - 1 = 0$，不满足；
$b = 2$，$\Delta = 2^2 - 4×\frac{1}{4} = 4 - 1 = 3 ＞ 0$，满足；
$b = 3$，$\Delta = 3^2 - 4×\frac{1}{4} = 9 - 1 = 8 ＞ 0$，满足。
当$a = \frac{1}{2}$时：
$b = 1$，$\Delta = 1^2 - 4×\frac{1}{2} = 1 - 2 = -1 ＜ 0$，不满足；
$b = 2$，$\Delta = 2^2 - 4×\frac{1}{2} = 4 - 2 = 2 ＞ 0$，满足；
$b = 3$，$\Delta = 3^2 - 4×\frac{1}{2} = 9 - 2 = 7 ＞ 0$，满足。
当$a = 1$时：
$b = 1$，$\Delta = 1^2 - 4×1 = 1 - 4 = -3 ＜ 0$，不满足；
$b = 2$，$\Delta = 2^2 - 4×1 = 4 - 4 = 0$，不满足；
$b = 3$，$\Delta = 3^2 - 4×1 = 9 - 4 = 5 ＞ 0$，满足。
满足$\Delta ＞ 0$的组合有：$(\frac{1}{4},2)$，$(\frac{1}{4},3)$，$(\frac{1}{2},2)$，$(\frac{1}{2},3)$，$(1,3)$，共5种。
小华获胜的概率为$\frac{5}{9}$，小明获胜的概率为$1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$。因为$\frac{5}{9} ＞ \frac{4}{9}$，所以获胜可能性较大的是小华，他获胜的概率是$\frac{5}{9}$。
小华；$\frac{5}{9}$
9. (3分)若一个三位数的十位数字比其个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”.现从1，2，3，4这4个数字中任取3个数字，组成无重复数字的三位数.甲、乙两人玩一个游戏，规定：若组成的三位数是“伞数”，则甲胜；否则乙胜.这个游戏规则对双方
不公平
.(填“公平”或“不公平”)答案：9.不公平 解析：由题意，得组成无重复数字的三位数共有24个，分别为123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432.其中是“伞数”的有132,142,143,231,241,243,341,342，共8个，所以P(甲胜$)=\frac{8}{24}=\frac{1}{3},P($乙胜$)=\frac{24-8}{24}=\frac{2}{3}.$因为P(甲胜$)\neq P($乙胜)，所以这个游戏规则对双方不公平.
解析：
组成无重复数字的三位数共有24个，其中“伞数”有132,142,143,231,241,243,341,342，共8个。
$P(\mathrm{甲胜})=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$，$P(\mathrm{乙胜})=\frac{24 - 8}{24}=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$。
因为$\frac{1}{3}\neq\frac{2}{3}$，所以这个游戏规则对双方不公平。
不公平
$P(\mathrm{甲胜})=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$，$P(\mathrm{乙胜})=\frac{24 - 8}{24}=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$。
因为$\frac{1}{3}\neq\frac{2}{3}$，所以这个游戏规则对双方不公平。
不公平
10. (10分)上分点二 亮点原创 在平面直角坐标系中，先画出函数$y=-\frac{2}{x}$与函数$y=\frac{2}{x}$的图像，再以原点为圆心，$2\sqrt{2}$为半径作圆.小明和小华玩游戏，规则如下：有一个六个面分别标有数1，2，3，-1，-2，-3的质地均匀的正方体骰子.抛掷该正方体骰子两次，将两次掷得的朝上一面的点数分别记作m，n.若点(m，n)落在函数图像与圆围成的范围内(含边界，记为S)，则小明胜，否则小华胜.这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由.
答案：
10.这个游戏规则对双方不公平.理由如下：列表如下：
由表格可知，共有36种等可能的结果，其中点(m，n)落在区域S内的结果有12种，不落在区域S内的结果有24种，所以P(小明胜)=\frac{12}{36}=\frac{1}{3},P(小华胜)=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}.因为P(小明胜)\neqP(小华胜)，所以这个游戏规则对双方不公平.
10.这个游戏规则对双方不公平.理由如下：列表如下：
由表格可知，共有36种等可能的结果，其中点(m，n)落在区域S内的结果有12种，不落在区域S内的结果有24种，所以P(小明胜)=\frac{12}{36}=\frac{1}{3},P(小华胜)=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}.因为P(小明胜)\neqP(小华胜)，所以这个游戏规则对双方不公平.