7. (2025·江苏镇江模拟·5分)新素养 数据观念 为了吸引顾客,某门店举行有奖酬宾活动.凡购物满$m$元,均可得到一次摸奖的机会.在一个纸盒里装有$2$个红球和$2$个白球,除颜色外其他都相同.摸奖者一次从中摸出两个球,根据球的颜色决定送的礼金券(在该超市使用时,与人民币等值)的金额如下表.若该门店售卖物品的平均利润率(利润$÷$销售总额$× 100\%$)为$10\%$,且保证本次活动不亏本,则$m$的最小值为 (
A.$80$
B.$100$
C.$120$
D.$140$
B
)A.$80$
B.$100$
C.$120$
D.$140$
答案：7.B
解析：
摸出两个球的所有可能情况：(红1,红2),(红1,白1),(红1,白2),(红2,白1),(红2,白2),(白1,白2)，共6种。
两红(一等奖)：1种，概率为$\frac{1}{6}$；
一红一白(二等奖)：4种，概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$；
两白(三等奖)：1种，概率为$\frac{1}{6}$。
平均每次摸奖送出礼金券金额：$18×\frac{1}{6}+9×\frac{2}{3}+6×\frac{1}{6}=3 + 6 + 1=10$（元）。
设销售总额为$S$，则利润为$0.1S$，活动成本为$\frac{S}{m}×10$。
要保证不亏本：$0.1S\geq\frac{10S}{m}$，解得$m\geq100$。
B
两红(一等奖)：1种，概率为$\frac{1}{6}$；
一红一白(二等奖)：4种，概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$；
两白(三等奖)：1种，概率为$\frac{1}{6}$。
平均每次摸奖送出礼金券金额：$18×\frac{1}{6}+9×\frac{2}{3}+6×\frac{1}{6}=3 + 6 + 1=10$（元）。
设销售总额为$S$，则利润为$0.1S$，活动成本为$\frac{S}{m}×10$。
要保证不亏本：$0.1S\geq\frac{10S}{m}$，解得$m\geq100$。
B
8. (2025·浙江·5分)为了实时规划路径,卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方.如图①,$P$是一个固定观测点,运动点$Q$从点$A$处出发,沿笔直公路$AB$向目的地点$B$处运动.设$AQ=x$km($0\leqslant x\leqslant n$),$PQ^{2}=y$km$^{2}$.如图②,$y$关于$x$的函数图像与$y$轴交于点$C$,最低点$D$的坐标为$(m,81)$,且经过$E(1,225)$和$F(n,225)$两点.下列结论正确的是 (
A.$m=12$
B.$n=24$
C.点$C$的纵坐标为$240$
D.点$(15,85)$在该函数图像上
D
)A.$m=12$
B.$n=24$
C.点$C$的纵坐标为$240$
D.点$(15,85)$在该函数图像上
答案：8.D
解析：
解：设抛物线解析式为$y=a(x-m)^2+81$。
将$E(1,225)$，$F(n,225)$代入得：
$\begin{cases}225=a(1-m)^2+81 \\225=a(n-m)^2+81\end{cases}$
即$(1-m)^2=(n-m)^2$，因$1\neq n$，故$1-m=-(n-m)$，得$n=2m-1$。
由$225=a(1-m)^2+81$，得$a(1-m)^2=144$。
抛物线对称轴为$x=m$，$E$、$F$关于对称轴对称，$E(1,225)$，$F(n,225)$，则$m=\frac{1+n}{2}$，结合$n=2m-1$，可知$m$为对称轴。
假设$m=5$（由抛物线性质及$E$点位置推测），则$a(1-5)^2=144$，$16a=144$，$a=9$，解析式为$y=9(x-5)^2+81$。
当$x=0$时，$y=9×25 + 81=306$，C错误。
$n=2×5 - 1=9$，B错误。
$m=5$，A错误。
当$x=15$时，$y=9×(15 - 5)^2 + 81=9×100 + 81=981$（此处原解析有误，应为$x=3$时$y=9×(3 - 5)^2 + 81=9×4 + 81=117$，但根据选项D，正确计算应为当$x=15$时，若$m=12$，$a=1$，$y=(15 - 12)^2 + 81=9 + 81=90$，仍不符，正确推导应为：
由$E(1,225)$，$D(m,81)$，设$y=(x - m)^2 + 81$，则$225=(1 - m)^2 + 81$，$(1 - m)^2=144$，$m=13$或$m=-11$（舍），$n=2×13 - 1=25$。
当$x=15$时，$y=(15 - 13)^2 + 81=4 + 81=85$，故点$(15,85)$在图像上。
结论：D正确。
答案：D
将$E(1,225)$，$F(n,225)$代入得：
$\begin{cases}225=a(1-m)^2+81 \\225=a(n-m)^2+81\end{cases}$
即$(1-m)^2=(n-m)^2$，因$1\neq n$，故$1-m=-(n-m)$，得$n=2m-1$。
由$225=a(1-m)^2+81$，得$a(1-m)^2=144$。
抛物线对称轴为$x=m$，$E$、$F$关于对称轴对称，$E(1,225)$，$F(n,225)$，则$m=\frac{1+n}{2}$，结合$n=2m-1$，可知$m$为对称轴。
假设$m=5$（由抛物线性质及$E$点位置推测），则$a(1-5)^2=144$，$16a=144$，$a=9$，解析式为$y=9(x-5)^2+81$。
当$x=0$时，$y=9×25 + 81=306$，C错误。
$n=2×5 - 1=9$，B错误。
$m=5$，A错误。
当$x=15$时，$y=9×(15 - 5)^2 + 81=9×100 + 81=981$（此处原解析有误，应为$x=3$时$y=9×(3 - 5)^2 + 81=9×4 + 81=117$，但根据选项D，正确计算应为当$x=15$时，若$m=12$，$a=1$，$y=(15 - 12)^2 + 81=9 + 81=90$，仍不符，正确推导应为：
由$E(1,225)$，$D(m,81)$，设$y=(x - m)^2 + 81$，则$225=(1 - m)^2 + 81$，$(1 - m)^2=144$，$m=13$或$m=-11$（舍），$n=2×13 - 1=25$。
当$x=15$时，$y=(15 - 13)^2 + 81=4 + 81=85$，故点$(15,85)$在图像上。
结论：D正确。
答案：D
9. (5分)如图,在平面直角坐标系中,$O$是原点,$AB=2\sqrt{10}$,延长$AB$至点$C$,连接$OC$.若$OC^{2}=BC· AC$,$\tan\alpha =3$,则点$C$的坐标为 (
A.$(-2,6)$
B.$(-3,9)$
C.$(-\dfrac{3}{4},\dfrac{9}{4})$
D.$(-\dfrac{5}{3},5)$
C
)A.$(-2,6)$
B.$(-3,9)$
C.$(-\dfrac{3}{4},\dfrac{9}{4})$
D.$(-\dfrac{5}{3},5)$
答案：9.C 解析：过点C作CD⊥x轴于点D，则∠ODC=90°.因为OC²=BC·AC，所以$\frac{OC}{BC}=\frac{AC}{OC}$.又∠ACO=∠OCB，所以△COA∽△CBO，所以∠CAO=∠COB.因为∠BOD=∠BOA=90°，所以∠COB+∠COD=90°，∠CAO+∠ABO=90°，所以∠ABO=∠COD=α.因为tanα=3，所以tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=3，所以OA=3OB，所以AB=$\sqrt{OA²+OB²}$=$\sqrt{10}$OB.又AB=2$\sqrt{10}$，所以$\sqrt{10}$OB=2$\sqrt{10}$，所以OB=2，所以OA=6.因为tanα=$\frac{CD}{OD}$=3，所以CD=3OD.设OD=x，则CD=3x，AD=OA+OD=6+x.因为OB//CD，所以∠ACD=∠ABO，所以tan∠ACD=tan∠ABO=3.又tan∠ACD=$\frac{AD}{CD}$，所以$\frac{AD}{CD}$=3，所以AD=3CD，所以6+x=9x，解得x=$\frac{3}{4}$，所以OD=$\frac{3}{4}$，CD=$\frac{9}{4}$，所以点C的坐标为(−$\frac{3}{4}$,$\frac{9}{4}$).
10. (5分)如图,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AC=BC=4$,矩形$DEFG$的顶点$D$,$E$,$F$分别在边$BC$,$AC$,$AB$上.若$\tan\angle CED=\dfrac{3}{4}$,则矩形$DEFG$面积的最大值为 (
A.$5$
B.$\dfrac{32}{7}$
C.$\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
D.$\dfrac{25}{7}$
D
)A.$5$
B.$\dfrac{32}{7}$
C.$\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
D.$\dfrac{25}{7}$
答案：10.D 解析：过点F作FH⊥AC于点H，则∠AHF=∠EHF=90°.因为四边形DEFG为矩形，所以∠DEF=90°，所以∠FEH+∠CED=180°−∠DEF=90°.又∠FEH+∠EFH=90°，所以∠EFH=∠CED，所以tan∠EFH=tan∠CED=$\frac{3}{4}$，则$\frac{EH}{FH}$=$\frac{CD}{CE}$=$\frac{3}{4}$.设EH=3x，CD=3y，则FH=4x，CE=4y，所以EF=$\sqrt{EH²+FH²}$=5x，DE=$\sqrt{CD²+CE²}$=5y，所以S矩形DEFG=EF·DE=25xy.因为AC=BC=4，所以∠A=∠B=$\frac{1}{2}$(180°−∠C)=45°，所以AH=$\frac{FH}{tanA}$=4x，所以AC=AH+EH+CE=7x+4y，所以7x+4y=4，所以y=1−$\frac{7}{4}$x，所以S矩形DEFG=25x(1−$\frac{7}{4}$x)=−$\frac{175}{4}$x²+25x=−$\frac{175}{4}$(x−$\frac{2}{7}$)²+$\frac{25}{7}$.因为y＞0，所以1−$\frac{7}{4}$x＞0，解得x＜$\frac{4}{7}$，所以0＜x＜$\frac{4}{7}$.因为−$\frac{175}{4}$＜0，所以当x=$\frac{2}{7}$时，S矩形DEFG取最大值$\frac{25}{7}$.故矩形DEFG面积的最大值为$\frac{25}{7}$.
11. (5分)如图,三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小完全相同.当水面刚好淹没小孔时,大孔水面宽度为$10$m,孔顶离水面$\dfrac{3}{2}$m;当水位下降,大孔水面宽度为$14$m时,单个小孔的水面宽度为$4$m.若大孔水面宽度为$20$m,则单个小孔的水面宽度为 (
A.$4\sqrt{3}$m
B.$5\sqrt{2}$m
C.$2\sqrt{13}$m
D.$7$m
B
)A.$4\sqrt{3}$m
B.$5\sqrt{2}$m
C.$2\sqrt{13}$m
D.$7$m
答案：
11.B 解析：建立如图所示的平面直角坐标系（单位长度为1m）.由题意可得MN=4m，EF=14m，BC=10m，DO=$\frac{3}{2}$m.设大孔所在抛物线的函数表达式为y₁=ax²+$\frac{3}{2}$.因为BC=10m，所以B(−5,0)，所以0=a×(−5)²+$\frac{3}{2}$，解得a=−$\frac{3}{50}$，所以大孔所在抛物线的函数表达式为y₁=−$\frac{3}{50}$x²+$\frac{3}{2}$.设A(b,0)，顶点为A的小孔所在抛物线的函数表达式为y₂=m(x−b)².因为EF=14m，所以点E的横坐标为−7，所以点E的纵坐标为−$\frac{3}{50}$×(−7)²+$\frac{3}{2}$=$\frac{36}{25}$.令y₂=$\frac{36}{25}$，得$\frac{36}{25}$=m(x−b)²，解得x=$\frac{6}{5\sqrt{\frac{1}{m}}}$+b或−$\frac{6}{5\sqrt{\frac{1}{m}}}$+b.因为MN=4m，所以|$\frac{6}{5\sqrt{\frac{1}{m}}}$+b−(−$\frac{6}{5\sqrt{\frac{1}{m}}}$+b)|=4，解得m=−$\frac{9}{25}$，所以顶点为A的小孔所在抛物线的函数表达式为y₂=−$\frac{9}{25}$(x−b)².因为大孔水面宽度为20m，所以当x=−10时，y₁=−$\frac{3}{50}$×(−10)²+$\frac{3}{2}$=−$\frac{9}{2}$.令y₂=−$\frac{9}{2}$，得−$\frac{9}{2}$=−$\frac{9}{25}$(x−b)²，解得x=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$+b或−$\frac{5\sqrt{2}}{2}$+b，所以单个小孔的水面宽度为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$+b−(−$\frac{5\sqrt{2}}{2}$+b)=5$\sqrt{2}$(m).
11.B 解析：建立如图所示的平面直角坐标系（单位长度为1m）.由题意可得MN=4m，EF=14m，BC=10m，DO=$\frac{3}{2}$m.设大孔所在抛物线的函数表达式为y₁=ax²+$\frac{3}{2}$.因为BC=10m，所以B(−5,0)，所以0=a×(−5)²+$\frac{3}{2}$，解得a=−$\frac{3}{50}$，所以大孔所在抛物线的函数表达式为y₁=−$\frac{3}{50}$x²+$\frac{3}{2}$.设A(b,0)，顶点为A的小孔所在抛物线的函数表达式为y₂=m(x−b)².因为EF=14m，所以点E的横坐标为−7，所以点E的纵坐标为−$\frac{3}{50}$×(−7)²+$\frac{3}{2}$=$\frac{36}{25}$.令y₂=$\frac{36}{25}$，得$\frac{36}{25}$=m(x−b)²，解得x=$\frac{6}{5\sqrt{\frac{1}{m}}}$+b或−$\frac{6}{5\sqrt{\frac{1}{m}}}$+b.因为MN=4m，所以|$\frac{6}{5\sqrt{\frac{1}{m}}}$+b−(−$\frac{6}{5\sqrt{\frac{1}{m}}}$+b)|=4，解得m=−$\frac{9}{25}$，所以顶点为A的小孔所在抛物线的函数表达式为y₂=−$\frac{9}{25}$(x−b)².因为大孔水面宽度为20m，所以当x=−10时，y₁=−$\frac{3}{50}$×(−10)²+$\frac{3}{2}$=−$\frac{9}{2}$.令y₂=−$\frac{9}{2}$，得−$\frac{9}{2}$=−$\frac{9}{25}$(x−b)²，解得x=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$+b或−$\frac{5\sqrt{2}}{2}$+b，所以单个小孔的水面宽度为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$+b−(−$\frac{5\sqrt{2}}{2}$+b)=5$\sqrt{2}$(m).