1. (4分)新素养 应用意识 验光师测得一组关于近视眼镜的度数$y$(度)与镜片的焦距$x$(m)的数据如下表:
则可预测,当镜片的焦距为$0.125$m时,近视眼镜的度数为 (
A.$600$度
B.$700$度
C.$800$度
D.$900$度
则可预测,当镜片的焦距为$0.125$m时,近视眼镜的度数为 (
C
)A.$600$度
B.$700$度
C.$800$度
D.$900$度
答案：1.C
解析：
解：由表格数据可得 $100 × 1.00 = 100$，$200 × 0.50 = 100$，$400 × 0.25 = 100$，$500 × 0.20 = 100$，故 $y$ 与 $x$ 的关系为 $y = \frac{100}{x}$。
当 $x = 0.125$ 时，$y = \frac{100}{0.125} = 800$。
C
当 $x = 0.125$ 时，$y = \frac{100}{0.125} = 800$。
C
2. (2025·辽宁·4分)不透明的口袋中仅有红、黄小球各一个,这两个小球除颜色外都相同.从中任意摸出一个小球,记下颜色后,放回并摇匀,再从中任意摸出一个小球,则两次摸出相同颜色的小球的概率为 (
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$
C
)A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案：2.C
解析：
两次摸球的所有可能结果为：(红,红)、(红,黄)、(黄,红)、(黄,黄)，共4种。
其中两次摸出相同颜色的结果有：(红,红)、(黄,黄)，共2种。
所以两次摸出相同颜色的小球的概率为$\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$。
C
其中两次摸出相同颜色的结果有：(红,红)、(黄,黄)，共2种。
所以两次摸出相同颜色的小球的概率为$\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$。
C
3. (2025·甘肃兰州·4分)如图,在平面直角坐标系中,$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$位似,位似中心是原点$O$.若$BC:B'C'=1:2$,则点$B(2,0)$的对应点$B'$的坐标是 (
A.$(3,0)$
B.$(4,0)$
C.$(6,0)$
D.$(8,0)$
B
)A.$(3,0)$
B.$(4,0)$
C.$(6,0)$
D.$(8,0)$
答案：3.B
解析：
解：
∵△ABC与△A'B'C'位似，位似中心是原点O，BC:B'C'=1:2，
∴位似比为1:2。
∵点B(2,0)，
∴点B'的坐标是(2×2,0×2)=(4,0)。
答案：B
∵△ABC与△A'B'C'位似，位似中心是原点O，BC:B'C'=1:2，
∴位似比为1:2。
∵点B(2,0)，
∴点B'的坐标是(2×2,0×2)=(4,0)。
答案：B
4. (4分)庞亮和李强去登山,庞亮从北坡山脚$C$处出发,以$24$m/min的速度攀登,同时,李强从南坡山脚$B$处出发.如图,已知小山北坡的坡度$i=1:\sqrt{3}$,山坡长为$240$m,南坡的坡角为$45^{\circ}$.若李强和庞亮同时到达山顶$A$,则李强的速度为(将山路$AB$,$AC$看成线段) (
A.$10\sqrt{2}$m/min
B.$12\sqrt{2}$m/min
C.$14\sqrt{2}$m/min
D.$16\sqrt{2}$m/min
B
)A.$10\sqrt{2}$m/min
B.$12\sqrt{2}$m/min
C.$14\sqrt{2}$m/min
D.$16\sqrt{2}$m/min
答案：4.B
解析：
解：过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$。
在$Rt\triangle ADC$中，北坡坡度$i=1:\sqrt{3}$，即$\tan C=\frac{AD}{DC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\therefore \angle C=30°$。
$\because AC=240\ \mathrm{m}$，$\therefore AD=\frac{1}{2}AC=120\ \mathrm{m}$。
庞亮攀登时间：$t=\frac{AC}{24}=\frac{240}{24}=10\ \mathrm{min}$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle B=45°$，$\therefore AB=\frac{AD}{\sin 45°}=\frac{120}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=120\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
李强速度：$v=\frac{AB}{t}=\frac{120\sqrt{2}}{10}=12\sqrt{2}\ \mathrm{m/min}$。
答案：$12\sqrt{2}$
在$Rt\triangle ADC$中，北坡坡度$i=1:\sqrt{3}$，即$\tan C=\frac{AD}{DC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\therefore \angle C=30°$。
$\because AC=240\ \mathrm{m}$，$\therefore AD=\frac{1}{2}AC=120\ \mathrm{m}$。
庞亮攀登时间：$t=\frac{AC}{24}=\frac{240}{24}=10\ \mathrm{min}$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle B=45°$，$\therefore AB=\frac{AD}{\sin 45°}=\frac{120}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=120\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
李强速度：$v=\frac{AB}{t}=\frac{120\sqrt{2}}{10}=12\sqrt{2}\ \mathrm{m/min}$。
答案：$12\sqrt{2}$
5. (4分)已知$\triangle ABC$,$\triangle DEF$,$\triangle MNP$两两相似.若$\triangle ABC$的三边长分别为$2$,$3$,$4$,$\triangle DEF$的一边长为$6$,且$\triangle DEF$与$\triangle MNP$面积的比为$1:4$,则$\triangle MNP$的周长为 (
A.$27$
B.$54$或$36$
C.$108$或$72$或$54$
D.$54$或$36$或$27$
D
)A.$27$
B.$54$或$36$
C.$108$或$72$或$54$
D.$54$或$36$或$27$
答案：5.D
解析：
$\triangle ABC$的周长为$2+3+4=9$。
$\because\triangle DEF$与$\triangle MNP$面积比为$1:4$，且相似三角形面积比等于相似比的平方，$\therefore$相似比为$1:2$，$\triangle MNP$周长是$\triangle DEF$周长的$2$倍。
$\triangle ABC$与$\triangle DEF$相似，$\triangle ABC$三边长$2,3,4$，$\triangle DEF$一边长为$6$，分三种情况：
若$6$对应$\triangle ABC$的$2$，相似比为$6:2=3$，$\triangle DEF$周长为$9×3=27$，$\triangle MNP$周长为$27×2=54$；
若$6$对应$\triangle ABC$的$3$，相似比为$6:3=2$，$\triangle DEF$周长为$9×2=18$，$\triangle MNP$周长为$18×2=36$；
若$6$对应$\triangle ABC$的$4$，相似比为$6:4=\frac{3}{2}$，$\triangle DEF$周长为$9×\frac{3}{2}=\frac{27}{2}$，$\triangle MNP$周长为$\frac{27}{2}×2=27$。
综上，$\triangle MNP$的周长为$54$或$36$或$27$。
D
$\because\triangle DEF$与$\triangle MNP$面积比为$1:4$，且相似三角形面积比等于相似比的平方，$\therefore$相似比为$1:2$，$\triangle MNP$周长是$\triangle DEF$周长的$2$倍。
$\triangle ABC$与$\triangle DEF$相似，$\triangle ABC$三边长$2,3,4$，$\triangle DEF$一边长为$6$，分三种情况：
若$6$对应$\triangle ABC$的$2$，相似比为$6:2=3$，$\triangle DEF$周长为$9×3=27$，$\triangle MNP$周长为$27×2=54$；
若$6$对应$\triangle ABC$的$3$，相似比为$6:3=2$，$\triangle DEF$周长为$9×2=18$，$\triangle MNP$周长为$18×2=36$；
若$6$对应$\triangle ABC$的$4$，相似比为$6:4=\frac{3}{2}$，$\triangle DEF$周长为$9×\frac{3}{2}=\frac{27}{2}$，$\triangle MNP$周长为$\frac{27}{2}×2=27$。
综上，$\triangle MNP$的周长为$54$或$36$或$27$。
D
6. (5分)如图,相邻两根电杆都用钢索在地面上固定,一根电杆钢索系在离地面$4$m处,另一根电杆钢索系在离地面$6$m处,则中间两根钢索相交处点$P$离地面 (
A.$2.4$m
B.$2.6$m
C.$2.8$m
D.$3$m
A
)A.$2.4$m
B.$2.6$m
C.$2.8$m
D.$3$m
答案：6.A
解析：
解：设两根电杆底部距离为$d$，离地面$4m$电杆为$A$，底部为$O$；离地面$6m$电杆为$B$，底部为$Q$，$OQ=d$。
以$O$为原点，地面为$x$轴建立坐标系，则$A(0,4)$，$Q(d,0)$，$B(d,6)$。
直线$AQ$：$y=-\frac{4}{d}x + 4$；直线$BO$：$y=\frac{6}{d}x$。
联立方程：$\frac{6}{d}x=-\frac{4}{d}x + 4$，解得$x=\frac{2d}{5}$。
代入$y=\frac{6}{d}x$，得$y=\frac{6}{d}·\frac{2d}{5}=\frac{12}{5}=2.4$。
故点$P$离地面$2.4m$。
答案：A
以$O$为原点，地面为$x$轴建立坐标系，则$A(0,4)$，$Q(d,0)$，$B(d,6)$。
直线$AQ$：$y=-\frac{4}{d}x + 4$；直线$BO$：$y=\frac{6}{d}x$。
联立方程：$\frac{6}{d}x=-\frac{4}{d}x + 4$，解得$x=\frac{2d}{5}$。
代入$y=\frac{6}{d}x$，得$y=\frac{6}{d}·\frac{2d}{5}=\frac{12}{5}=2.4$。
故点$P$离地面$2.4m$。
答案：A