1. (2025·四川资阳·12分)新素养 应用意识 为丰富学生课外锻炼活动,某学校增设了$A$(足球),$B$(篮球),$C$(体操),$D$(田径)四个锻炼项目,每名学生只能选择其中的一项.为了解学生的选择情况,随机抽取部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.根据图中所提供的信息,解答下列问题:
(1)本次调查共抽取了
(2)在扇形统计图中,求项目$C$所在扇形的圆心角度数;
(3)已知选择项目$D$的学生是$2$名男生和$2$名女生.现从这$4$名学生中任意抽取$2$名参加比赛,用画树状图或列表的方法求抽到两名性别相同的学生的概率.
(1)本次调查共抽取了
80
名学生,并补全条形统计图;(2)在扇形统计图中,求项目$C$所在扇形的圆心角度数;
(3)已知选择项目$D$的学生是$2$名男生和$2$名女生.现从这$4$名学生中任意抽取$2$名参加比赛,用画树状图或列表的方法求抽到两名性别相同的学生的概率.
答案：
1.(1)80 补全条形统计图略.
(2)由题意，得360°×$\frac{16}{80}$ = 72°.故项目C所在扇形的圆心角度数为72°.
(3)将2名男生和2名女生分别编号为男1,男2,女1,女2.画树状图如下:
由树状图可知，所有等可能的结果有12种，其中抽到两名性别相同的学生的结果有4种，所以P(抽到两名性别相同的学生)=$\frac{4}{12}$=$\frac{1}{3}$.
1.(1)80 补全条形统计图略.
(2)由题意，得360°×$\frac{16}{80}$ = 72°.故项目C所在扇形的圆心角度数为72°.
(3)将2名男生和2名女生分别编号为男1,男2,女1,女2.画树状图如下:
由树状图可知，所有等可能的结果有12种，其中抽到两名性别相同的学生的结果有4种，所以P(抽到两名性别相同的学生)=$\frac{4}{12}$=$\frac{1}{3}$.
2. (10分)如图,某海域有两个海岛$A$,$B$,海岛$B$位于海岛$A$的正南方向,这两个海岛之间有暗礁,灯塔$C$位于海岛$A$的南偏东$47.6^{\circ}$方向、海岛$B$的北偏东$70^{\circ}$方向,一艘轮船从海岛$B$出发,沿正南方向航行$32$海里到达$D$处,测得灯塔$C$在北偏东$37^{\circ}$方向上.求海岛$A$,$B$之间的距离.(参考数据:$\tan 37^{\circ}\approx 0.75$,$\tan 47.6^{\circ}\approx 1.10$,$\tan 70^{\circ}\approx 2.75$)
答案：2.过点C作CE⊥AB于点E，则∠AEC = ∠DEC = 90°.设BE = x海里.因为BD = 32海里，所以DE = BE + BD = (x + 32)海里.因为∠CBE = 70°，所以CE = BE·tan∠CBE≈2.75x海里.因为∠CDE = 37°，所以CE = DE·tan∠CDE≈0.75(x + 32)海里，所以2.75x = 0.75(x + 32)，解得x = 12，所以BE = 12海里，CE = 33海里.因为∠CAE = 47.6°，所以AE = $\frac{CE}{\tan\angle CAE}$≈30海里，所以AB = AE + BE = 42海里.故海岛A,B之间的距离约是42海里.
解析：
过点$C$作$CE ⊥ AB$于点$E$，则$\angle AEC = \angle BEC = 90°$。
设$BE = x$海里，因为$BD = 32$海里，且$AB$、$BD$均为正南方向，所以$DE = BE + BD = (x + 32)$海里。
在$\mathrm{Rt}\triangle CBE$中，$\angle CBE = 70°$，$\tan\angle CBE = \frac{CE}{BE}$，则$CE = BE · \tan 70° \approx 2.75x$海里。
在$\mathrm{Rt}\triangle CDE$中，$\angle CDE = 37°$，$\tan\angle CDE = \frac{CE}{DE}$，则$CE = DE · \tan 37° \approx 0.75(x + 32)$海里。
所以$2.75x = 0.75(x + 32)$，解得$x = 12$，即$BE = 12$海里，$CE = 2.75 × 12 = 33$海里。
在$\mathrm{Rt}\triangle ACE$中，$\angle CAE = 47.6°$，$\tan\angle CAE = \frac{CE}{AE}$，则$AE = \frac{CE}{\tan 47.6°} \approx \frac{33}{1.10} = 30$海里。
因此$AB = AE + BE = 30 + 12 = 42$海里。
答：海岛$A$，$B$之间的距离约是$42$海里。
设$BE = x$海里，因为$BD = 32$海里，且$AB$、$BD$均为正南方向，所以$DE = BE + BD = (x + 32)$海里。
在$\mathrm{Rt}\triangle CBE$中，$\angle CBE = 70°$，$\tan\angle CBE = \frac{CE}{BE}$，则$CE = BE · \tan 70° \approx 2.75x$海里。
在$\mathrm{Rt}\triangle CDE$中，$\angle CDE = 37°$，$\tan\angle CDE = \frac{CE}{DE}$，则$CE = DE · \tan 37° \approx 0.75(x + 32)$海里。
所以$2.75x = 0.75(x + 32)$，解得$x = 12$，即$BE = 12$海里，$CE = 2.75 × 12 = 33$海里。
在$\mathrm{Rt}\triangle ACE$中，$\angle CAE = 47.6°$，$\tan\angle CAE = \frac{CE}{AE}$，则$AE = \frac{CE}{\tan 47.6°} \approx \frac{33}{1.10} = 30$海里。
因此$AB = AE + BE = 30 + 12 = 42$海里。
答：海岛$A$，$B$之间的距离约是$42$海里。