1. (2025·吉林长春)如图,已知某山峰的海拔高度为m m,一位登山者到达海拔高度为n m的点A处,测得山峰顶端B的仰角为α,则A,B两点之间的距离为(
A.$(m-n)\sin\alpha\ \mathrm{m}$
B.$\frac{m-n}{\sin\alpha}\ \mathrm{m}$
C.$(m-n)\cos\alpha\ \mathrm{m}$
D.$\frac{m-n}{\cos\alpha}\ \mathrm{m}$
B
)A.$(m-n)\sin\alpha\ \mathrm{m}$
B.$\frac{m-n}{\sin\alpha}\ \mathrm{m}$
C.$(m-n)\cos\alpha\ \mathrm{m}$
D.$\frac{m-n}{\cos\alpha}\ \mathrm{m}$
答案：1.B
解析：
解：过点A作AC⊥BD于点C，
由题意得：BD=m，AE=n，∠BAC=α，
∵AE⊥DE，CD⊥DE，AC⊥BD，
∴四边形ACDE是矩形，
∴CD=AE=n，
∴BC=BD-CD=m-n，
在Rt△ABC中，sinα=$\frac{BC}{AB}$，
∴AB=$\frac{BC}{\sin\alpha}$=$\frac{m-n}{\sin\alpha}$，
即A，B两点之间的距离为$\frac{m-n}{\sin\alpha}$m，
答案：B
由题意得：BD=m，AE=n，∠BAC=α，
∵AE⊥DE，CD⊥DE，AC⊥BD，
∴四边形ACDE是矩形，
∴CD=AE=n，
∴BC=BD-CD=m-n，
在Rt△ABC中，sinα=$\frac{BC}{AB}$，
∴AB=$\frac{BC}{\sin\alpha}$=$\frac{m-n}{\sin\alpha}$，
即A，B两点之间的距离为$\frac{m-n}{\sin\alpha}$m，
答案：B
2. 小强、小亮、小文三人玩抛硬币游戏.三人同时各抛出一枚质地均匀的硬币,若出现三个正面朝上或三个反面朝上,则小强赢;若出现两个正面朝上和一个反面朝上,则小亮赢;若出现一个正面朝上和两个反面朝上,则小文赢.下列说法正确的是(
A.小文赢的概率最小
B.小强赢的概率最小
C.小亮赢的概率最小
D.三人赢的概率相等
B
)A.小文赢的概率最小
B.小强赢的概率最小
C.小亮赢的概率最小
D.三人赢的概率相等
答案：2.B
解析：
三人同时抛硬币，所有可能结果：正正正、正正反、正反正、反正正、正反反、反正反、反反正、反反反，共8种。
小强赢：三个正面或三个反面，2种，概率为$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
小亮赢：两个正面一个反面，3种，概率为$\frac{3}{8}$。
小文赢：一个正面两个反面，3种，概率为$\frac{3}{8}$。
因为$\frac{1}{4}＜\frac{3}{8}$，所以小强赢的概率最小。
B
小强赢：三个正面或三个反面，2种，概率为$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
小亮赢：两个正面一个反面，3种，概率为$\frac{3}{8}$。
小文赢：一个正面两个反面，3种，概率为$\frac{3}{8}$。
因为$\frac{1}{4}＜\frac{3}{8}$，所以小强赢的概率最小。
B
3. (2025·江苏徐州模拟)已知$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$是位似图形,$\triangle A'B'C'$的面积为$6\ \mathrm{cm}^2$,周长是$\triangle ABC$的$\frac{1}{2}$,且$AB=8\ \mathrm{cm}$,则边AB上的高为(
A.3 cm
B.6 cm
C.9 cm
D.12 cm
B
)A.3 cm
B.6 cm
C.9 cm
D.12 cm
答案：3.B
解析：
∵△ABC和△A'B'C'是位似图形，△A'B'C'的周长是△ABC的$\frac{1}{2}$，
∴△A'B'C'与△ABC的相似比为$\frac{1}{2}$，
∴△A'B'C'与△ABC的面积比为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
∵△A'B'C'的面积为$6\ \mathrm{cm}^2$，
∴△ABC的面积为$6×4=24\ \mathrm{cm}^2$，
设边AB上的高为$h\ \mathrm{cm}$，
∵$AB=8\ \mathrm{cm}$，
∴$\frac{1}{2}×8× h=24$，
解得$h=6$，
即边AB上的高为$6\ \mathrm{cm}$。
B
4. 新素养 推理能力 在平面直角坐标系中,若点P的横、纵坐标都为整数,则把点P叫做“整点”.例如:$M(1,0),N(2,-2)$都是“整点”.抛物线$y=mx^2-2mx+m-1(m＞0)$与x轴交于A,B两点,且该抛物线在A,B两点之间的部分与线段AB所围成的区域W(包括边界)恰有6个“整点”,则m的取值范围是(
A.$\frac{1}{8}\leqslant m\leqslant\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{9}＜m\leqslant\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{9}\leqslant m＜\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{9}＜m＜\frac{1}{4}$
B
)A.$\frac{1}{8}\leqslant m\leqslant\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{9}＜m\leqslant\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{9}\leqslant m＜\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{9}＜m＜\frac{1}{4}$
答案：4.B
5. 定义:若矩形的短边与长边之比满足黄金分割比,则称该矩形为黄金矩形.如图,在黄金矩形ABCD($AB＜BC$)中,四边形ABFG,GHED均为正方形.现将矩形ABCD沿AE向上翻折,得到四边形$AEC'B'$,连接$BB'$.若$AB=2$,则$BB'$的长为(
A.$\frac{2\sqrt{15}+2\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{3}$
C.2
D.$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
A
)A.$\frac{2\sqrt{15}+2\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{3}$
C.2
D.$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
答案：5.A 解析：连接$BE$，设$BB^{\prime}$与$AE$交于点$M$.因为四边形$ABCD$是黄金矩形，所以$\angle D = 90^{\circ}$，$AD = BC$，$CD = AB = 2$，$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，所以$AD = BC = \sqrt{5}+1$，所以$S_{矩形ABCD}=AB· BC = 2\sqrt{5}+2$，所以$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}=\sqrt{5}+1$.因为四边形$ABFG$为正方形，所以$AG = AB = 2$.因为四边形$GHED$为正方形，所以$DE = DG = AD - AG = \sqrt{5}-1$，所以$AE = \sqrt{AD^{2}+DE^{2}} = 2\sqrt{3}$.由折叠的性质，得$BB^{\prime}=2BM$，$BB^{\prime}⊥ AE$，所以$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}AE· BM$，所以$BM=\frac{2S_{\triangle ABE}}{AE}=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{3}$，所以$BB^{\prime}=\frac{2\sqrt{15}+2\sqrt{3}}{3}$.