6. (2025·江苏宿迁模拟)如图,在平面直角坐标系中,O是原点,菱形OABC的顶点A的坐标为$(10,0)$,对角线OB,AC相交于点D,双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$经过点D,交BC的延长线于点E,且$OB· AC=160$.给出下列结论:① 双曲线的函数表达式为$y=\frac{40}{x}(x＞0)$;② 点E的坐标为(4,8);③ $\sin\angle COA=\frac{4}{5}$;④ $AC+OB=12\sqrt{5}$.其中正确的有(
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
A
)A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
答案：6.A 解析：过点$C$作$CF⊥ x$轴于点$F$.因为$A(10,0)$，所以$OA = 10$.因为四边形$OABC$为菱形，所以$BC = OC = OA = 10$，$S_{菱形OABC}=OA· CF = \frac{1}{2}OB· AC$.因为$OB· AC = 160$，所以$CF = 8$，所以$OF = \sqrt{OC^{2}-CF^{2}} = 6$，所以$C(6,8)$，$B(6 + 10,8)$，即$B(16,8)$.因为$D$为$OB$的中点，所以$D(8,4)$.因为双曲线$y = \frac{k}{x}(k\gt0)$经过点$D$，所以$4 = \frac{k}{8}$，解得$k = 32$，所以双曲线的函数表达式为$y = \frac{32}{x}(x\gt0)$，故①错误；在$y = \frac{32}{x}$中，令$y = 8$，得$x = 4$，所以点$E$的坐标为$(4,8)$，故②正确；在$Rt\triangle COF$中，$\sin\angle COA = \frac{CF}{OC}=\frac{4}{5}$，故③正确；因为$AF = OA - OF = 4$，所以$AC = \sqrt{CF^{2}+AF^{2}} = 4\sqrt{5}$.因为$OB· AC = 160$，所以$OB = 8\sqrt{5}$，所以$AC + OB = 4\sqrt{5}+8\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$，故④正确.综上所述，其中正确的结论有$3$个.
7. 已知抛物线$y=ax^2+bx+3$与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且$OA:OB=1:3$,$OB=OC$,则a的值为
1或$-1$
.答案：7.1或$-1$
解析：
当$x=0$时，$y=3$，则$C(0,3)$，$OC=3$。
因为$OB=OC$，所以$OB=3$，则点$B$坐标为$(3,0)$或$(-3,0)$。
情况一：点$B(3,0)$
$OA:OB=1:3$，$OB=3$，则$OA=1$。点$A$在点$B$左侧，$A(-1,0)$。
将$A(-1,0)$，$B(3,0)$代入$y=ax^2+bx+3$：
$\begin{cases}a - b + 3 = 0 \\9a + 3b + 3 = 0\end{cases}$
解得$a=-1$。
情况二：点$B(-3,0)$
$OA:OB=1:3$，$OB=3$，则$OA=1$。点$A$在点$B$左侧，$A(-9,0)$。
将$A(-9,0)$，$B(-3,0)$代入$y=ax^2+bx+3$：
$\begin{cases}81a - 9b + 3 = 0 \\9a - 3b + 3 = 0\end{cases}$
解得$a=1$。
综上，$a$的值为$1$或$-1$。
$1$或$-1$
因为$OB=OC$，所以$OB=3$，则点$B$坐标为$(3,0)$或$(-3,0)$。
情况一：点$B(3,0)$
$OA:OB=1:3$，$OB=3$，则$OA=1$。点$A$在点$B$左侧，$A(-1,0)$。
将$A(-1,0)$，$B(3,0)$代入$y=ax^2+bx+3$：
$\begin{cases}a - b + 3 = 0 \\9a + 3b + 3 = 0\end{cases}$
解得$a=-1$。
情况二：点$B(-3,0)$
$OA:OB=1:3$，$OB=3$，则$OA=1$。点$A$在点$B$左侧，$A(-9,0)$。
将$A(-9,0)$，$B(-3,0)$代入$y=ax^2+bx+3$：
$\begin{cases}81a - 9b + 3 = 0 \\9a - 3b + 3 = 0\end{cases}$
解得$a=1$。
综上，$a$的值为$1$或$-1$。
$1$或$-1$
8. 亮点原创 已知方程$x^3+5x^2+40x=33x^2-140x$,$\frac{32x-45}{x-3}-\frac{8x+135}{3-x}=x$.若从这两个方程的根中分别任取一个数,则所取的两个数的和能被3整除的概率为
$\frac{1}{3}$
.答案：8.$\frac{1}{3}$
解析：
解方程$x^3 + 5x^2 + 40x = 33x^2 - 140x$：
移项得$x^3 - 28x^2 + 180x = 0$，
因式分解得$x(x^2 - 28x + 180) = 0$，
即$x(x - 10)(x - 18) = 0$，
解得$x_1 = 0$，$x_2 = 10$，$x_3 = 18$。
解方程$\frac{32x - 45}{x - 3} - \frac{8x + 135}{3 - x} = x$：
变形得$\frac{32x - 45}{x - 3} + \frac{8x + 135}{x - 3} = x$，
合并分子得$\frac{40x + 90}{x - 3} = x$，
去分母得$40x + 90 = x(x - 3)$，
整理得$x^2 - 43x - 90 = 0$，
因式分解得$(x - 45)(x + 2) = 0$，
解得$x_1 = 45$，$x_2 = -2$（经检验均为原方程的根）。
第一个方程的根为$0$，$10$，$18$；第二个方程的根为$45$，$-2$。
所有可能的组合为$(0,45)$，$(0,-2)$，$(10,45)$，$(10,-2)$，$(18,45)$，$(18,-2)$，共$6$种。
其中和能被$3$整除的组合为$(0,45)$，$(18,45)$，共$2$种。
概率为$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。
$\frac{1}{3}$
移项得$x^3 - 28x^2 + 180x = 0$，
因式分解得$x(x^2 - 28x + 180) = 0$，
即$x(x - 10)(x - 18) = 0$，
解得$x_1 = 0$，$x_2 = 10$，$x_3 = 18$。
解方程$\frac{32x - 45}{x - 3} - \frac{8x + 135}{3 - x} = x$：
变形得$\frac{32x - 45}{x - 3} + \frac{8x + 135}{x - 3} = x$，
合并分子得$\frac{40x + 90}{x - 3} = x$，
去分母得$40x + 90 = x(x - 3)$，
整理得$x^2 - 43x - 90 = 0$，
因式分解得$(x - 45)(x + 2) = 0$，
解得$x_1 = 45$，$x_2 = -2$（经检验均为原方程的根）。
第一个方程的根为$0$，$10$，$18$；第二个方程的根为$45$，$-2$。
所有可能的组合为$(0,45)$，$(0,-2)$，$(10,45)$，$(10,-2)$，$(18,45)$，$(18,-2)$，共$6$种。
其中和能被$3$整除的组合为$(0,45)$，$(18,45)$，共$2$种。
概率为$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。
$\frac{1}{3}$
9. 新素养 抽象能力 (2025·甘肃兰州)如图,在黄金矩形ABCD中,$\frac{AB}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,以宽AB为边在其内部作正方形ABFE,得到四边形CDEF是黄金矩形.依此作法,四边形DEGH、四边形KEGL也是黄金矩形.依次以点E,G,L为圆心作$\overset{\frown}{AF}$,$\overset{\frown}{FH}$,$\overset{\frown}{HK}$,曲线AFHK叫做“黄金螺线”.若$AD=2$,则“黄金螺线”AFHK的长为
$(\sqrt{5}-1)\pi$
.答案：9.$(\sqrt{5}-1)\pi$
10. (2025·湖北武汉)已知二次函数$y=ax^2+(a-2)x-2$.给出下列结论:① 该函数图像经过点$(-1,0)$;② 若$a=-1$,则当$x＞-1$时,y随x的增大而减小;③ 该函数图像与x轴有两个不同的交点;④ 若$a＞2$,则关于x的方程$ax^2+(a-2)x-2=0$有一个根大于0且小于1;⑤ 若$a＞2$,则关于x的方程$|ax^2+(a-2)x-2|=2$的正数根只有一个.其中正确的是
①②④⑤
.(填序号)答案：10.①②④⑤
解析：
①当$x=-1$时，$y=a(-1)^2+(a-2)(-1)-2=a -a +2 -2=0$，故该函数图像经过点$(-1,0)$，①正确；
②若$a=-1$，则函数为$y=-x^2 -3x -2$，对称轴为$x=-\frac{-3}{2×(-1)}=-\frac{3}{2}$，抛物线开口向下，当$x＞-\frac{3}{2}$时，$y$随$x$的增大而减小，因为$-1＞-\frac{3}{2}$，所以当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小，②正确；
③令$y=0$，则$ax^2+(a - 2)x - 2=0$，$\Delta=(a - 2)^2 + 8a=(a + 2)^2$，当$a=-2$时，$\Delta=0$，函数图像与$x$轴有一个交点，③错误；
④若$a＞2$，设$f(x)=ax^2+(a - 2)x - 2$，$f(0)=-2$，$f(1)=a + a - 2 - 2=2a - 4$，因为$a＞2$，所以$f(1)=2a - 4＞0$，又函数图像经过点$(-1,0)$，抛物线开口向上，所以方程$ax^2+(a - 2)x - 2=0$有一个根大于$0$且小于$1$，④正确；
⑤若$a＞2$，方程$|ax^2+(a - 2)x - 2|=2$即$ax^2+(a - 2)x - 2=2$或$ax^2+(a - 2)x - 2=-2$，分别为$ax^2+(a - 2)x - 4=0$和$ax^2+(a - 2)x=0$，后者解得$x=0$或$x=\frac{2 - a}{a}$（负数），前者$\Delta=(a - 2)^2 + 16a=(a + 2)^2 + 12＞0$，两根之积为$-\frac{4}{a}＜0$，有一正一负根，故正数根只有一个，⑤正确。
①②④⑤
②若$a=-1$，则函数为$y=-x^2 -3x -2$，对称轴为$x=-\frac{-3}{2×(-1)}=-\frac{3}{2}$，抛物线开口向下，当$x＞-\frac{3}{2}$时，$y$随$x$的增大而减小，因为$-1＞-\frac{3}{2}$，所以当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小，②正确；
③令$y=0$，则$ax^2+(a - 2)x - 2=0$，$\Delta=(a - 2)^2 + 8a=(a + 2)^2$，当$a=-2$时，$\Delta=0$，函数图像与$x$轴有一个交点，③错误；
④若$a＞2$，设$f(x)=ax^2+(a - 2)x - 2$，$f(0)=-2$，$f(1)=a + a - 2 - 2=2a - 4$，因为$a＞2$，所以$f(1)=2a - 4＞0$，又函数图像经过点$(-1,0)$，抛物线开口向上，所以方程$ax^2+(a - 2)x - 2=0$有一个根大于$0$且小于$1$，④正确；
⑤若$a＞2$，方程$|ax^2+(a - 2)x - 2|=2$即$ax^2+(a - 2)x - 2=2$或$ax^2+(a - 2)x - 2=-2$，分别为$ax^2+(a - 2)x - 4=0$和$ax^2+(a - 2)x=0$，后者解得$x=0$或$x=\frac{2 - a}{a}$（负数），前者$\Delta=(a - 2)^2 + 16a=(a + 2)^2 + 12＞0$，两根之积为$-\frac{4}{a}＜0$，有一正一负根，故正数根只有一个，⑤正确。
①②④⑤
11. 如图,AB是$\odot O$的直径,点C在$\odot O$上,AE是$\odot O$的切线,BE平分$\angle ABC$,交AC于点D.若$AB=8$,$AD=6$,则CD的长为
$\frac{42}{25}$
.答案：11.$\frac{42}{25}$ 解析：因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle BCD = 90^{\circ}$.因为$AE$是$\odot O$的切线，所以$BA⊥ AE$，所以$\angle BAE = 90^{\circ}$，所以$\angle BCD = \angle BAE$.因为$BE$平分$\angle ABC$，所以$\angle CBD = \angle ABE$，所以$\triangle BCD∼ \triangle BAE$，所以$\angle BDC = \angle E$，$\frac{CD}{AE}=\frac{BC}{AB}$.因为$\angle ADE = \angle BDC$，所以$\angle ADE = \angle E$，所以$AE = AD = 6$.因为$AB = 8$，所以$\frac{CD}{BC}=\frac{3}{4}$.设$CD = 3x$，则$BC = 4x$，$AC = AD + CD = 6 + 3x$.因为$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，所以$(6 + 3x)^{2}+(4x)^{2}=8^{2}$，解得$x_{1}=\frac{14}{25}$，$x_{2} = - 2$（不合题意，舍去），所以$CD = \frac{42}{25}$.
12. 如图,在矩形ABCD中,$AB=6$,$BC=8$,$\triangle BEF$的顶点E在对角线AC上运动,且$\angle BFE=90°$,$\angle EBF=\angle BAC$,连接AF,则AF长的最小值为
$\frac{72}{25}$
.答案：12.$\frac{72}{25}$ 解析：过点$B$作$BH⊥ AC$于点$H$，连接$FH$，则$\angle AHB = \angle CHB = 90^{\circ}$.又$\angle BFE = 90^{\circ}$，所以$B$，$E$，$H$，$F$四点共圆，所以$\angle BHF = \angle BEF$.因为$\angle AHF + \angle BHF = 90^{\circ}$，$\angle EBF + \angle BEF = 90^{\circ}$，所以$\angle AHF = \angle EBF$.因为$\angle EBF = \angle BAC$，所以$\angle AHF = \angle BAC$.因为四边形$ABCD$是矩形，所以$\angle ABC = 90^{\circ}$.因为$AB = 6$，$BC = 8$，所以$AC = \sqrt{AB^{2}+BC^{2}} = 10$，所以$\sin\angle AHF = \sin\angle BAC = \frac{BC}{AC}=\frac{4}{5}$，$\cos\angle BAC = \frac{AB}{AC}=\frac{3}{5}$，所以$AH = AB·\cos\angle BAC = \frac{18}{5}$.因为$\angle AHF$的大小为定值，所以当$AF⊥ FH$时，$AF$的长取最小值，此时$\angle AFH = 90^{\circ}$，所以$AF = AH·\sin\angle AHF = \frac{72}{25}$.故$AF$长的最小值为$\frac{72}{25}$.
解析：
解：过点$B$作$BH ⊥ AC$于点$H$，连接$FH$，则$\angle AHB = \angle CHB = 90°$。
$\because \angle BFE = 90°$，$\therefore B$，$E$，$H$，$F$四点共圆，$\therefore \angle BHF = \angle BEF$。
$\because \angle AHF + \angle BHF = 90°$，$\angle EBF + \angle BEF = 90°$，$\therefore \angle AHF = \angle EBF$。
$\because \angle EBF = \angle BAC$，$\therefore \angle AHF = \angle BAC$。
$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\angle ABC = 90°$，$AB = 6$，$BC = 8$，
$\therefore AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$。
$\therefore \sin\angle BAC = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{5}$，$\cos\angle BAC = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{5}$，
$\therefore AH = AB · \cos\angle BAC = 6 × \frac{3}{5} = \frac{18}{5}$。
$\because \angle AHF = \angle BAC$，$\sin\angle AHF = \sin\angle BAC = \frac{4}{5}$，
$\therefore$当$AF ⊥ FH$时，$AF$取最小值，此时$\angle AFH = 90°$。
$\therefore AF = AH · \sin\angle AHF = \frac{18}{5} × \frac{4}{5} = \frac{72}{25}$。
故$AF$长的最小值为$\frac{72}{25}$。
$\because \angle BFE = 90°$，$\therefore B$，$E$，$H$，$F$四点共圆，$\therefore \angle BHF = \angle BEF$。
$\because \angle AHF + \angle BHF = 90°$，$\angle EBF + \angle BEF = 90°$，$\therefore \angle AHF = \angle EBF$。
$\because \angle EBF = \angle BAC$，$\therefore \angle AHF = \angle BAC$。
$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\angle ABC = 90°$，$AB = 6$，$BC = 8$，
$\therefore AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$。
$\therefore \sin\angle BAC = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{5}$，$\cos\angle BAC = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{5}$，
$\therefore AH = AB · \cos\angle BAC = 6 × \frac{3}{5} = \frac{18}{5}$。
$\because \angle AHF = \angle BAC$，$\sin\angle AHF = \sin\angle BAC = \frac{4}{5}$，
$\therefore$当$AF ⊥ FH$时，$AF$取最小值，此时$\angle AFH = 90°$。
$\therefore AF = AH · \sin\angle AHF = \frac{18}{5} × \frac{4}{5} = \frac{72}{25}$。
故$AF$长的最小值为$\frac{72}{25}$。