7. (3分) 已知关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases}x \geq a - 3, \\ x \leq 15 - 5a\end{cases}$ 无解，则二次函数 $ y = (2 - a)x^{2} - x + \frac{1}{4} $ 的图像与 $ x $ 轴的交点情况是 ______ 。
答案：7.有两个不同的交点
解析：
因为不等式组$\begin{cases}x \geq a - 3 \\ x \leq 15 - 5a\end{cases}$无解，所以$a - 3 ＞ 15 - 5a$，解得$a ＞ 3$。
二次函数$y=(2 - a)x^{2}-x+\frac{1}{4}$，其中$a ＞ 3$，则$2 - a ＜ 0$，函数为二次函数。
判别式$\Delta =(-1)^{2}-4×(2 - a)×\frac{1}{4}=1-(2 - a)=a - 1$。
因为$a ＞ 3$，所以$\Delta = a - 1 ＞ 2 ＞ 0$，故二次函数图像与$x$轴有两个不同的交点。
有两个不同的交点
二次函数$y=(2 - a)x^{2}-x+\frac{1}{4}$，其中$a ＞ 3$，则$2 - a ＜ 0$，函数为二次函数。
判别式$\Delta =(-1)^{2}-4×(2 - a)×\frac{1}{4}=1-(2 - a)=a - 1$。
因为$a ＞ 3$，所以$\Delta = a - 1 ＞ 2 ＞ 0$，故二次函数图像与$x$轴有两个不同的交点。
有两个不同的交点
8. (3分) 规定：如果两个函数的图像关于 $ y $ 轴对称，那么称这两个函数互为“V函数”。若函数 $ y = 2mx^{2} + (m - 1)x + \frac{1}{8}(m - 3) $ 的图像与直线 $ y = 1 $ 只有一个交点，则它的“V函数”的表达式为
$y = x - \frac{3}{8}$或$y = - \frac{2}{9}x^{2} + \frac{10}{9}x - \frac{7}{18}$
。答案：8.$y = x - \frac{3}{8}$或$y = - \frac{2}{9}x^{2} + \frac{10}{9}x - \frac{7}{18}$
解析：
当函数为一次函数时，$2m=0$，即$m=0$，函数表达式为$y=-x-\frac{3}{8}$，与直线$y=1$只有一个交点，其“V函数”为$y=x-\frac{3}{8}$；当函数为二次函数时，$2m\neq0$，即$m\neq0$，方程$2mx^{2}+(m - 1)x+\frac{1}{8}(m - 3)-1=0$的判别式$\Delta=(m - 1)^{2}-4×2m×\frac{m - 11}{8}=0$，解得$m=-\frac{2}{9}$，函数表达式为$y=-\frac{4}{9}x^{2}-\frac{11}{9}x-\frac{29}{72}$，其“V函数”为$y=-\frac{2}{9}x^{2}+\frac{10}{9}x-\frac{7}{18}$。
$y = x - \frac{3}{8}$或$y = - \frac{2}{9}x^{2} + \frac{10}{9}x - \frac{7}{18}$
$y = x - \frac{3}{8}$或$y = - \frac{2}{9}x^{2} + \frac{10}{9}x - \frac{7}{18}$
9. (9分) 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ mx^{2} - (2m + 1)x + 2 = 0 $。
(1) 当 $ m $ 取何值时，该方程有两个不相等的实数根？
(2) 当抛物线 $ y = mx^{2} - (2m + 1)x + 2 $ 与 $ x $ 轴的两个交点的横坐标均为整数，且 $ m $ 为负整数时，求该抛物线的函数表达式；
(3) 在(2)的条件下，若 $ P(n,y_{1}) $，$ Q(n + 1,y_{2}) $ 是该抛物线上的两点，且 $ y_{1} ＞ y_{2} $，请写出实数 $ n $ 的取值范围。
(1) 当 $ m $ 取何值时，该方程有两个不相等的实数根？
(2) 当抛物线 $ y = mx^{2} - (2m + 1)x + 2 $ 与 $ x $ 轴的两个交点的横坐标均为整数，且 $ m $ 为负整数时，求该抛物线的函数表达式；
(3) 在(2)的条件下，若 $ P(n,y_{1}) $，$ Q(n + 1,y_{2}) $ 是该抛物线上的两点，且 $ y_{1} ＞ y_{2} $，请写出实数 $ n $ 的取值范围。
答案：9.(1)解方程$mx^{2} - (2m + 1)x + 2 = 0$，得$x_{1} = 2$，$x_{2} = \frac{1}{m}$.因为该方程有两个不相等的实数根，所以$\frac{1}{m} \neq 2$，所以$m \neq \frac{1}{2}$.又$m \neq 0$，所以当$m \neq \frac{1}{2}$且$m \neq 0$时，该方程有两个不相等的实数根.
(2)因为抛物线$y = mx^{2} - (2m + 1)x + 2$与$x$轴的两个交点的横坐标均为整数，所以$\frac{1}{m}$为整数.又$m$为负整数，所以$m = - 1$，所以该抛物线的函数表达式为$y = - x^{2} + x + 2$.
(3)抛物线$y = - x^{2} + x + 2$的开口向下，对称轴为直线$x = - \frac{1}{2 × ( - 1)} = \frac{1}{2}$.因为$P(n,y_{1})$，$Q(n + 1,y_{2})$是该抛物线上两点，且$y_{1} ＞ y_{2}$，$n ＜ n + 1$，所以$\frac{n + (n + 1)}{2} ＞ \frac{1}{2}$，解得$n ＞ 0$.故实数$n$的取值范围为$n ＞ 0$.
(2)因为抛物线$y = mx^{2} - (2m + 1)x + 2$与$x$轴的两个交点的横坐标均为整数，所以$\frac{1}{m}$为整数.又$m$为负整数，所以$m = - 1$，所以该抛物线的函数表达式为$y = - x^{2} + x + 2$.
(3)抛物线$y = - x^{2} + x + 2$的开口向下，对称轴为直线$x = - \frac{1}{2 × ( - 1)} = \frac{1}{2}$.因为$P(n,y_{1})$，$Q(n + 1,y_{2})$是该抛物线上两点，且$y_{1} ＞ y_{2}$，$n ＜ n + 1$，所以$\frac{n + (n + 1)}{2} ＞ \frac{1}{2}$，解得$n ＞ 0$.故实数$n$的取值范围为$n ＞ 0$.
10. (3分) 已知抛物线 $ y = x^{2} + bx + 3 $ 的对称轴为直线 $ x = 1 $。若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} + bx + 3 - t = 0 $($ t $ 为实数)在 $ -1 ＜ x ＜ 4 $ 的范围内有实数根，则 $ t $ 的取值范围是(
A.$ 2 \leq t ＜ 11 $
B.$ t \geq 2 $
C.$ 6 ＜ t ＜ 11 $
D.$ 2 \leq t ＜ 6 $
A
)A.$ 2 \leq t ＜ 11 $
B.$ t \geq 2 $
C.$ 6 ＜ t ＜ 11 $
D.$ 2 \leq t ＜ 6 $
答案：10.A
解析：
∵抛物线$y = x^{2} + bx + 3$的对称轴为直线$x = 1$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，这里$a=1$，$\therefore -\frac{b}{2×1}=1$，解得$b=-2$，$\therefore$抛物线解析式为$y=x^{2}-2x + 3$。
方程$x^{2} + bx + 3 - t = 0$可化为$x^{2}-2x + 3 = t$，即抛物线$y=x^{2}-2x + 3$与直线$y = t$在$-1\lt x\lt4$范围内有交点。
$y=x^{2}-2x + 3=(x - 1)^{2}+2$，抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,2)$，当$x = 1$时，$y$有最小值$2$。
当$x=-1$时，$y=(-1)^{2}-2×(-1)+3=1 + 2 + 3=6$；当$x = 4$时，$y=4^{2}-2×4 + 3=16-8 + 3=11$。
在$-1\lt x\lt4$范围内，$y$的取值范围是$2\leq y\lt11$，$\therefore t$的取值范围是$2\leq t\lt11$。
A
11. (3分) 已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的开口向上，其与 $ x $ 轴的一个交点的坐标为 $ (-3,0) $，对称轴为直线 $ x = -1 $，则当 $ y ＜ 0 $ 时，$ x $ 的取值范围是
$- 3 ＜ x ＜ 1$
。答案：11.$- 3 ＜ x ＜ 1$
解析：
$-3 ＜ x ＜ 1$
12. (6分) 阅读材料：我们通过下列步骤估计方程 $ 2x^{2} + x - 2 = 0 $ 的根所在的范围。第一步：画出函数 $ y = 2x^{2} + x - 2 $ 的图像，发现图像是一条连续不断的曲线。第二步：因为当 $ x = 0 $ 时，$ y = -2 ＜ 0 $；当 $ x = 1 $ 时，$ y = 1 ＞ 0 $，所以图像与 $ x $ 轴的一个公共点的横坐标在 $ 0 $，$ 1 $ 之间，所以可确定方程 $ 2x^{2} + x - 2 = 0 $ 的一个根 $ x_{1} $ 所在的范围是 $ 0 ＜ x_{1} ＜ 1 $。第三步：通过取 $ 0 $ 和 $ 1 $ 的平均数缩小 $ x_{1} $ 所在的范围。取 $ x = \frac{0 + 1}{2} = 0.5 $。因为当 $ x = 0.5 $ 时，$ y = -1 ＜ 0 $；当 $ x = 1 $ 时，$ y = 1 ＞ 0 $，所以 $ 0.5 ＜ x_{1} ＜ 1 $。
(1) 仿照第二步，验证 $ 2x^{2} + x - 2 = 0 $ 的另一个根 $ x_{2} $ 所在范围是 $ -2 ＜ x_{2} ＜ -1 $；
(2) 小明在 $ -2 ＜ x_{2} ＜ -1 $ 的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将 $ x_{2} $ 所在范围缩小，得到的近似值约为 $ -1.6 $。判断结论是否正确，并说明理由。
(1) 仿照第二步，验证 $ 2x^{2} + x - 2 = 0 $ 的另一个根 $ x_{2} $ 所在范围是 $ -2 ＜ x_{2} ＜ -1 $；
(2) 小明在 $ -2 ＜ x_{2} ＜ -1 $ 的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将 $ x_{2} $ 所在范围缩小，得到的近似值约为 $ -1.6 $。判断结论是否正确，并说明理由。
答案：12.(1)因为当$x = - 2$时，$y = 4 ＞ 0$；当$x = - 1$时，$y = - 1 ＜ 0$，所以方程$2x^{2} + x - 2 = 0$的另一个根$x_{2}$所在范围是$- 2 ＜ x_{2} ＜ - 1$.
(2)结论不正确.理由如下：取$x = \frac{- 2 - 1}{2} = - \frac{3}{2}$.因为当$x = - \frac{3}{2}$时，$y = 2 × \frac{9}{4} - \frac{3}{2} - 2 = 1 ＞ 0$；当$x = - 1$时，$y = - 1 ＜ 0$，所以$- \frac{3}{2} ＜ x_{2} ＜ - 1$.故结论不正确.
(2)结论不正确.理由如下：取$x = \frac{- 2 - 1}{2} = - \frac{3}{2}$.因为当$x = - \frac{3}{2}$时，$y = 2 × \frac{9}{4} - \frac{3}{2} - 2 = 1 ＞ 0$；当$x = - 1$时，$y = - 1 ＜ 0$，所以$- \frac{3}{2} ＜ x_{2} ＜ - 1$.故结论不正确.