典例 1 新素养 推理能力 为了铺设一块矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，使每一部分都铺成如图所示的形状，且由 8 块地砖组成，这样的地砖与所铺成的每一部分矩形地面是否相似？请说明理由。
答案：设地砖的长为$a$，宽为$b$，所铺矩形地面的长为$L$，宽为$W$。
由图形可知，所铺矩形地面由8块地砖组成，且根据密铺结构可得：$L = 2a$，$W = a + 2b$，同时地砖的长与宽满足$a = 2b$（由地砖拼接关系得出）。
则地砖的长宽比为$\frac{a}{b} = \frac{2b}{b} = 2:1$。
所铺矩形地面的长$L = 2a = 4b$，宽$W = a + 2b = 2b + 2b = 4b$，其长宽比为$\frac{L}{W} = \frac{4b}{4b} = 1:1$。
因为$2:1 \neq 1:1$，即对应边不成比例，且矩形对应角均为$90°$，所以地砖与所铺成的每一部分矩形地面不相似。
结论：不相似。
由图形可知，所铺矩形地面由8块地砖组成，且根据密铺结构可得：$L = 2a$，$W = a + 2b$，同时地砖的长与宽满足$a = 2b$（由地砖拼接关系得出）。
则地砖的长宽比为$\frac{a}{b} = \frac{2b}{b} = 2:1$。
所铺矩形地面的长$L = 2a = 4b$，宽$W = a + 2b = 2b + 2b = 4b$，其长宽比为$\frac{L}{W} = \frac{4b}{4b} = 1:1$。
因为$2:1 \neq 1:1$，即对应边不成比例，且矩形对应角均为$90°$，所以地砖与所铺成的每一部分矩形地面不相似。
结论：不相似。
【变式 1】(2025·江苏淮安模拟)观察下面两组多边形：
(1)如图①，矩形 $ABCD$ 和矩形 $A_1B_1C_1D_1$ 相似吗？为什么？
(2)如图②，多边形 $ABCDEF$ 和多边形 $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ 都是各边相等、各角也相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？
(1)如图①，矩形 $ABCD$ 和矩形 $A_1B_1C_1D_1$ 相似吗？为什么？
(2)如图②，多边形 $ABCDEF$ 和多边形 $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ 都是各边相等、各角也相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？
答案：(1)不相似. 理由如下：因为$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac12$，$\frac{BC}{B_1C_1}=\frac23$，所以$\frac{AB}{A_1B_1}\neq\frac{BC}{B_1C_1}$，所以矩形$ABCD$和矩形$A_1B_1C_1D_1$不相似.
(2) 是相似图形. 理由如下：因为多边形$ABCDEF$和多边形$A_1B_1C_1D_1E_1F_1$都是各边相等、各角也相等的六边形，所以它们各角分别相等，各边成比例，所以它们是相似图形.
(2) 是相似图形. 理由如下：因为多边形$ABCDEF$和多边形$A_1B_1C_1D_1E_1F_1$都是各边相等、各角也相等的六边形，所以它们各角分别相等，各边成比例，所以它们是相似图形.
典例 2 如图，$DE// BC$，$EF// CG$，$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，$AE = 3$.
(1)求 $EC$ 的长；
(2)求证：$AD· AG = AF· AB$.
(1)求 $EC$ 的长；
(2)求证：$AD· AG = AF· AB$.
答案：【思路分析】(1)根据已知，易求 $AC$ 的长，则根据线段和差可得 $EC$ 的长；(2)要证 $AD· AG = AF· AB$，只要证 $\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG}$. 由 $DE// BC$，$EF// CG$，易知 $\frac{AD}{AB}$，$\frac{AF}{AG}$ 都等于 $\frac{AE}{AC}$，于是可证得结论成立.
【答案】(1)因为 $DE// BC$，所以 $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$. 因为 $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，所以 $\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，所以 $AC = 3AE$. 因为 $AE = 3$，所以 $AC = 9$，所以 $EC = AC - AE = 6$.
(2)因为 $EF// CG$，所以 $\frac{AF}{AG}=\frac{AE}{AC}$. 因为 $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，所以 $\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG}$，所以 $AD· AG = AF· AB$.
【答案】(1)因为 $DE// BC$，所以 $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$. 因为 $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，所以 $\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，所以 $AC = 3AE$. 因为 $AE = 3$，所以 $AC = 9$，所以 $EC = AC - AE = 6$.
(2)因为 $EF// CG$，所以 $\frac{AF}{AG}=\frac{AE}{AC}$. 因为 $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，所以 $\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG}$，所以 $AD· AG = AF· AB$.