典例 3
(2025·江苏南京模拟)如图①，$ \odot O $ 的半径为 $ 2 $，$ C_{1} $ 是函数 $ y = \frac{1}{2}x^{2} $ 的图像，$ C_{2} $ 是函数 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 的图像，$ C_{3} $ 是函数 $ y = \sqrt{3}x $ 的图像，则阴影部分的面积和为。
(2025·江苏南京模拟)如图①，$ \odot O $ 的半径为 $ 2 $，$ C_{1} $ 是函数 $ y = \frac{1}{2}x^{2} $ 的图像，$ C_{2} $ 是函数 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 的图像，$ C_{3} $ 是函数 $ y = \sqrt{3}x $ 的图像，则阴影部分的面积和为。
答案：【思路分析】如图②，设 $ C_{3} $ 与 $ \odot O $ 在第一象限的交点为 $ A $，$ \odot O $ 与 $ y $ 轴负半轴交于点 $ B $，过点 $ A $ 作 $ AC ⊥ x $ 轴于点 $ C $，则 $ \angle OCA = 90^{\circ} $。因为 $ \odot O $ 的半径为 $ 2 $，所以 $ OA = 2 $。设 $ A(t, \sqrt{3}t) $，则 $ OC = t $，$ AC = \sqrt{3}t $，所以 $ OA = \sqrt{OC^{2}+AC^{2}} = 2t $，所以 $ 2t = 2 $，解得 $ t = 1 $，所以 $ OC = 1 $，所以 $ OC = \frac{1}{2}OA $，所以 $ \angle OAC = 30^{\circ} $，所以 $ \angle AOC = 90^{\circ} - \angle OAC = 60^{\circ} $。因为 $ \angle BOC = 90^{\circ} $，所以 $ \angle AOB = \angle AOC + \angle BOC = 150^{\circ} $。由对称性可知阴影部分的面积和为扇形 $ OAB $ 的面积，所以 $ S_{\mathrm{阴影}} = \frac{150\pi × 2^{2}}{360} = \frac{5\pi}{3} $。故阴影部分的面积和为 $ \frac{5\pi}{3} $。
【答案】$ \frac{5\pi}{3} $
【答案】$ \frac{5\pi}{3} $
【变式 3】新素养 几何直观 如图，$ \odot O $ 的半径为 $ 2 $，$ C_{1} $ 是函数 $ y = ax^{2} $ 的图像，$ C_{2} $ 是函数 $ y = -ax^{2} $ 的图像，则阴影部分的面积和为(
A.$ \pi $
B.$ \frac{3\pi}{2} $
C.$ 2\pi $
D.$ \frac{5\pi}{2} $
C
)A.$ \pi $
B.$ \frac{3\pi}{2} $
C.$ 2\pi $
D.$ \frac{5\pi}{2} $
答案：【变式3】C
解析：
解：由题意知，函数$y = ax^2$与$y=-ax^2$的图像关于$x$轴对称，$\odot O$的半径为$2$。
根据对称性，阴影部分的面积和等于$\odot O$面积的一半。
$\odot O$的面积为$\pi r^2=\pi×2^2 = 4\pi$，则阴影部分面积和为$\frac{1}{2}×4\pi=2\pi$。
答案：C
根据对称性，阴影部分的面积和等于$\odot O$面积的一半。
$\odot O$的面积为$\pi r^2=\pi×2^2 = 4\pi$，则阴影部分面积和为$\frac{1}{2}×4\pi=2\pi$。
答案：C