典例 1 已知抛物线 $y = 2x^{2}+3$ 上有两点 $A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，且 $x_{1}\neq x_{2}$，$y_{1}=y_{2}$，则当 $x = x_{1}+x_{2}$ 时，$y=$.
答案：因为抛物线$y = 2x^{2}+3$的对称轴为$y$轴（即$x=0$），且$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$在抛物线上，$y_{1}=y_{2}$，$x_{1}\neq x_{2}$，所以点$A$与点$B$关于对称轴对称。
所以$x_{1}=-x_{2}$，即$x_{1}+x_{2}=0$。
当$x = x_{1}+x_{2}=0$时，$y=2×0^{2}+3=3$。
3
所以$x_{1}=-x_{2}$，即$x_{1}+x_{2}=0$。
当$x = x_{1}+x_{2}=0$时，$y=2×0^{2}+3=3$。
3
【变式 1】抛物线 $y = x^{2}-2$ 在 $x$ 轴上截得的线段长度为
$2\sqrt{2}$
.答案：【变式1】$2\sqrt{2}$
解析：
令$y=0$，则$x^{2}-2=0$，解得$x_{1}=\sqrt{2}$，$x_{2}=-\sqrt{2}$，线段长度为$|x_{1}-x_{2}|=|\sqrt{2}-(-\sqrt{2})|=2\sqrt{2}$。
典例 2 (2025·江苏镇江模拟)已知抛物线 $y=\frac{2}{3}(x - 1)^{2}$ 经过 $(-2,y_{1})$，$(0,y_{2})$，$(\frac{5}{2},y_{3})$ 三点，则 $y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$ 之间的大小关系为()
A.$y_{1}＞y_{2}＞y_{3}$
B.$y_{2}＞y_{3}＞y_{1}$
C.$y_{3}＞y_{1}＞y_{2}$
D.$y_{1}＞y_{3}＞y_{2}$
A.$y_{1}＞y_{2}＞y_{3}$
B.$y_{2}＞y_{3}＞y_{1}$
C.$y_{3}＞y_{1}＞y_{2}$
D.$y_{1}＞y_{3}＞y_{2}$
答案：【思路分析】设点 $(-2,y_{1})$，$(0,y_{2})$，$(\frac{5}{2},y_{3})$ 到抛物线 $y=\frac{2}{3}(x - 1)^{2}$ 的对称轴直线 $x = 1$ 的距离分别为 $h_{1}$，$h_{2}$，$h_{3}$，则 $h_{1}=3$，$h_{2}=1$，$h_{3}=\frac{3}{2}$，所以 $h_{1}＞h_{3}＞h_{2}$.因为 $\frac{2}{3}＞0$，所以 $y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$ 之间的大小关系为 $y_{1}＞y_{3}＞y_{2}$.
【答案】$D$
【答案】$D$
【变式 2】已知点 $(-h-\frac{1}{2},y_{1})$，$(-h + 1,y_{2})$，$(0,y_{3})$，$(h-\frac{1}{3},y_{4})$，$(h + 3,y_{5})$ 都在函数 $y = a(|x|-h)^{2}$ 的图像上，且 $a＜0$，$1＜h＜2$，则 $y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$，$y_{4}$，$y_{5}$ 之间的大小关系为(
A.$y_{1}＞y_{2}＞y_{3}＞y_{4}＞y_{5}$
B.$y_{2}＞y_{1}＞y_{5}＞y_{3}＞y_{4}$
C.$y_{4}＞y_{1}＞y_{2}＞y_{3}＞y_{5}$
D.$y_{1}＞y_{4}＞y_{2}＞y_{3}＞y_{5}$
C
)A.$y_{1}＞y_{2}＞y_{3}＞y_{4}＞y_{5}$
B.$y_{2}＞y_{1}＞y_{5}＞y_{3}＞y_{4}$
C.$y_{4}＞y_{1}＞y_{2}＞y_{3}＞y_{5}$
D.$y_{1}＞y_{4}＞y_{2}＞y_{3}＞y_{5}$
答案：【变式2】C
解析：
函数$y = a(|x| - h)^2$，$a ＜ 0$，图像开口向下，对称轴为$|x| = h$，即$x = h$和$x = -h$。
各点到对称轴的距离：
点$(-h - \frac{1}{2}, y_1)$：$|-h - \frac{1}{2} - (-h)| = \frac{1}{2}$
点$(-h + 1, y_2)$：$|-h + 1 - (-h)| = 1$
点$(0, y_3)$：$|0 - h| = h$（$1 ＜ h ＜ 2$）
点$(h - \frac{1}{3}, y_4)$：$|h - \frac{1}{3} - h| = \frac{1}{3}$
点$(h + 3, y_5)$：$|h + 3 - h| = 3$
距离大小关系：$\frac{1}{3} ＜ \frac{1}{2} ＜ 1 ＜ h ＜ 3$。
因为$a ＜ 0$，距离对称轴越近，函数值越大，所以$y_4 ＞ y_1 ＞ y_2 ＞ y_3 ＞ y_5$。
C
各点到对称轴的距离：
点$(-h - \frac{1}{2}, y_1)$：$|-h - \frac{1}{2} - (-h)| = \frac{1}{2}$
点$(-h + 1, y_2)$：$|-h + 1 - (-h)| = 1$
点$(0, y_3)$：$|0 - h| = h$（$1 ＜ h ＜ 2$）
点$(h - \frac{1}{3}, y_4)$：$|h - \frac{1}{3} - h| = \frac{1}{3}$
点$(h + 3, y_5)$：$|h + 3 - h| = 3$
距离大小关系：$\frac{1}{3} ＜ \frac{1}{2} ＜ 1 ＜ h ＜ 3$。
因为$a ＜ 0$，距离对称轴越近，函数值越大，所以$y_4 ＞ y_1 ＞ y_2 ＞ y_3 ＞ y_5$。
C
典例 3 新素养 几何直观 如图，抛物线 $y = x^{2}$ 在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为 $A_{1}$，$A_{2}$，$A_{3}$，$···$.将抛物线 $y = x^{2}$ 沿直线 $l:y = x$ 向上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：① 抛物线的顶点 $M_{1}$，$M_{2}$，$M_{3}$，$···$ 都在直线 $l$ 上；② 抛物线依次经过点 $A_{1}$，$A_{2}$，$A_{3}$，$···$，则顶点 $M_{2025}$ 的坐标为.
答案：【思路分析】由题意，得点 $A_{2025}$ 的横坐标为 $2025$.又点 $A_{2025}$ 在抛物线 $y = x^{2}$ 上，所以点 $A_{2025}$ 的坐标为 $(2025,2025^{2})$.因为抛物线的顶点 $M_{1}$，$M_{2}$，$M_{3}$，$···$ 都在直线 $l:y = x$ 上，所以可设顶点 $M_{2025}$ 的坐标为 $(m,m)$，则抛物线对应的函数表达式为 $y=(x - m)^{2}+m$.把点 $A_{2025}(2025,2025^{2})$ 代入 $y=(x - m)^{2}+m$，得 $2025^{2}=(2025 - m)^{2}+m$，解得 $m_{1}=4049$，$m_{2}=0$(不合题意，舍去)，所以顶点 $M_{2025}$ 的坐标为 $(4049,4049)$.
【答案】$(4049,4049)$
【答案】$(4049,4049)$