【变式 2】
小江为了估计某山区上鸟群中鸟的数量，先捕捉 40 只鸟给它们分别做上标志，然后放回，等待有标志的鸟完全混合鸟群后，第二次捕捉 120 只鸟，发现其中 4 只有标志，则该山区的鸟群中鸟的数量约有
小江为了估计某山区上鸟群中鸟的数量，先捕捉 40 只鸟给它们分别做上标志，然后放回，等待有标志的鸟完全混合鸟群后，第二次捕捉 120 只鸟，发现其中 4 只有标志，则该山区的鸟群中鸟的数量约有
1200
只.答案：[变式2]1200
解析：
设该山区鸟群中鸟的数量约有$x$只。
由题意可得：$\frac{40}{x}=\frac{4}{120}$
解得：$4x = 40×120$
$4x = 4800$
$x = 1200$
1200
由题意可得：$\frac{40}{x}=\frac{4}{120}$
解得：$4x = 40×120$
$4x = 4800$
$x = 1200$
1200
典例 3
假设某航班每次约有 200 名乘客，一次飞行中飞机失事的概率为 0.000 05. 一家保险公司要为乘客保险，承诺飞机一旦失事，将向每位乘客赔偿 40 万元人民币. 平均来说，保险公司向每名乘客收取的保险费应不低于
假设某航班每次约有 200 名乘客，一次飞行中飞机失事的概率为 0.000 05. 一家保险公司要为乘客保险，承诺飞机一旦失事，将向每位乘客赔偿 40 万元人民币. 平均来说，保险公司向每名乘客收取的保险费应不低于
20
元.答案：【思路分析】设收取的保险费为 $x$ 元. 由题意，得 $200x \geq 400 000 × 200 × 0.00 005$，解得 $x \geq 20$. 故保险公司向每名乘客收取的保险费应不低于 20 元.
【答案】20
【答案】20
【变式 3】
某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元. 在机器使用期间，若备件不足再购买，则每个 500 元，三年后若备件多余，则以每个 $a$ 元($a ＞ 0$)回收. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到如图所示的统计图. 记 $x$ 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，$n$ 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件个数.
(1)以 100 台机器为样本，请利用画树状图或列表的方法估计 $x$ 不超过 19 的概率；
(2)以这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为决策依据，在 $n = 19$ 与 $n = 20$ 之中选其一. 当 $a$ 为何值时，选 $n = 19$ 比较划算？
某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元. 在机器使用期间，若备件不足再购买，则每个 500 元，三年后若备件多余，则以每个 $a$ 元($a ＞ 0$)回收. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到如图所示的统计图. 记 $x$ 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，$n$ 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件个数.
(1)以 100 台机器为样本，请利用画树状图或列表的方法估计 $x$ 不超过 19 的概率；
(2)以这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为决策依据，在 $n = 19$ 与 $n = 20$ 之中选其一. 当 $a$ 为何值时，选 $n = 19$ 比较划算？
答案：
[变式3](1)画树状图如下:
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中$x$不超过19的结果有10种，所以$P(x$不超过$19)=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$．
(2)由(1)中树状图可知，$x$的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，且取各值时$x$出现的次数如下表：
设$y$(元)为该公司购买易损零件所需的费用，当$n = 19$时，$200 × 19 = 3800$(元)．列表如下：
$y_1 = \frac{1}{16} × [3800 × 16 + (-3a) × 1 + (-2a) × 2 + (-a) × 3 + 3 × 500 + 1000 × 2 + 1500] = 4112.5 - \frac{5}{8}a$；
当$n = 20$时，$20 × 200 = 4000$(元)．列表如下：
$y_2 = \frac{1}{16} × [4000 × 16 + (-4a) × 1 + (-3a) × 2 + (-2a) × 3 + (-a) × 4 + 2 × 500 + 1000] = 4125 - \frac{5}{4}a$．
由题意，得$4112.5 - \frac{5}{8}a ＜ 4125 - \frac{5}{4}a$，解得$a ＜ 20$．故当$0 ＜ a ＜ 20$时，选$n = 19$比较划算．
[变式3](1)画树状图如下:
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中$x$不超过19的结果有10种，所以$P(x$不超过$19)=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$．
(2)由(1)中树状图可知，$x$的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，且取各值时$x$出现的次数如下表：
设$y$(元)为该公司购买易损零件所需的费用，当$n = 19$时，$200 × 19 = 3800$(元)．列表如下：
$y_1 = \frac{1}{16} × [3800 × 16 + (-3a) × 1 + (-2a) × 2 + (-a) × 3 + 3 × 500 + 1000 × 2 + 1500] = 4112.5 - \frac{5}{8}a$；
当$n = 20$时，$20 × 200 = 4000$(元)．列表如下：
$y_2 = \frac{1}{16} × [4000 × 16 + (-4a) × 1 + (-3a) × 2 + (-2a) × 3 + (-a) × 4 + 2 × 500 + 1000] = 4125 - \frac{5}{4}a$．
由题意，得$4112.5 - \frac{5}{8}a ＜ 4125 - \frac{5}{4}a$，解得$a ＜ 20$．故当$0 ＜ a ＜ 20$时，选$n = 19$比较划算．