典例 1
端午节吃粽子是中华民族的传统习俗. 市场上每盒猪肉粽的进价为 50 元. 在销售中, 某商家发现每盒猪肉粽的售价为 52 元时, 可售出 180 盒; 每盒售价每提高 1 元, 则少售出 10 盒. 当每盒猪肉粽的售价为多少元时, 该商家销售猪肉粽的利润最大? 最大利润为多少元?
端午节吃粽子是中华民族的传统习俗. 市场上每盒猪肉粽的进价为 50 元. 在销售中, 某商家发现每盒猪肉粽的售价为 52 元时, 可售出 180 盒; 每盒售价每提高 1 元, 则少售出 10 盒. 当每盒猪肉粽的售价为多少元时, 该商家销售猪肉粽的利润最大? 最大利润为多少元?
答案：【思路分析】根据“销售利润 = 每盒的利润 × 销售量”解题.
【答案】设每盒猪肉粽的售价为 $ x $ 元, 该商家销售猪肉粽的利润为 $ y $ 元.
由题意, 得 $ y=(x - 50)[180 - 10(x - 52)] = - 10x^{2} + 1200x - 35000 = - 10(x - 60)^{2} + 1000 $. 因为 $ - 10 ＜ 0 $, 所以当 $ x = 60 $ 时, $ y $ 取最大值 1000. 故当每盒猪肉粽的售价为 60 元时, 该商家销售猪肉粽的利润最大, 最大利润为 1000 元.
【答案】设每盒猪肉粽的售价为 $ x $ 元, 该商家销售猪肉粽的利润为 $ y $ 元.
由题意, 得 $ y=(x - 50)[180 - 10(x - 52)] = - 10x^{2} + 1200x - 35000 = - 10(x - 60)^{2} + 1000 $. 因为 $ - 10 ＜ 0 $, 所以当 $ x = 60 $ 时, $ y $ 取最大值 1000. 故当每盒猪肉粽的售价为 60 元时, 该商家销售猪肉粽的利润最大, 最大利润为 1000 元.
【变式 1】
某公司在甲、乙两地销售同一种品牌车, 利润 (单位: 万元) 分别为 $ L_{1} = 5.06x - 0.15x^{2} $ 和 $ L_{2} = 2x $, 其中 $ x $ 为销售量 (单位: 辆). 若该公司在这两地共销售 15 辆车, 则能获得最大利润为 (
A.45.51 万元
B.45.56 万元
C.45.6 万元
D.45.606 万元
某公司在甲、乙两地销售同一种品牌车, 利润 (单位: 万元) 分别为 $ L_{1} = 5.06x - 0.15x^{2} $ 和 $ L_{2} = 2x $, 其中 $ x $ 为销售量 (单位: 辆). 若该公司在这两地共销售 15 辆车, 则能获得最大利润为 (
C
)A.45.51 万元
B.45.56 万元
C.45.6 万元
D.45.606 万元
答案：C
解析：
设公司在甲地销售$x$辆车，则在乙地销售$(15 - x)$辆车，总利润为$L$万元。
$L = L_{1} + L_{2} = 5.06x - 0.15x^{2} + 2(15 - x)$
$= 5.06x - 0.15x^{2} + 30 - 2x$
$= -0.15x^{2} + 3.06x + 30$
其中$x$为非负整数，且$0 \leq x \leq 15$。
该函数为二次函数，开口向下，对称轴为$x = -\frac{3.06}{2×(-0.15)} = 10.2$。
当$x = 10$时，$L = -0.15×10^{2} + 3.06×10 + 30 = -15 + 30.6 + 30 = 45.6$；
当$x = 10$时，$L = -0.15×10^{2} + 3.06×10 + 30 = -15 + 30.6 + 30 = 45.6$；
当$x = 11$时，$L = -0.15×11^{2} + 3.06×11 + 30 = -0.15×121 + 33.66 + 30 = -18.15 + 33.66 + 30 = 45.51$。
比较可得最大利润为$45.6$万元。
C
$L = L_{1} + L_{2} = 5.06x - 0.15x^{2} + 2(15 - x)$
$= 5.06x - 0.15x^{2} + 30 - 2x$
$= -0.15x^{2} + 3.06x + 30$
其中$x$为非负整数，且$0 \leq x \leq 15$。
该函数为二次函数，开口向下，对称轴为$x = -\frac{3.06}{2×(-0.15)} = 10.2$。
当$x = 10$时，$L = -0.15×10^{2} + 3.06×10 + 30 = -15 + 30.6 + 30 = 45.6$；
当$x = 10$时，$L = -0.15×10^{2} + 3.06×10 + 30 = -15 + 30.6 + 30 = 45.6$；
当$x = 11$时，$L = -0.15×11^{2} + 3.06×11 + 30 = -0.15×121 + 33.66 + 30 = -18.15 + 33.66 + 30 = 45.51$。
比较可得最大利润为$45.6$万元。
C
典例 2
(2025·江苏泰州模拟) 单孔拱桥的形状近似抛物线形, 建立如图所示的平面直角坐标系, 在正常水位时, 水面宽度 $ AB $ 为 12 m, 拱桥的最高点 $ C $ 到水面 $ AB $ 的距离为 6 m.
(1) 求该抛物线的函数表达式;
(2) 由于上游水库泄洪, 水面宽度变为 10 m, 求水面上涨的高度.
(2025·江苏泰州模拟) 单孔拱桥的形状近似抛物线形, 建立如图所示的平面直角坐标系, 在正常水位时, 水面宽度 $ AB $ 为 12 m, 拱桥的最高点 $ C $ 到水面 $ AB $ 的距离为 6 m.
(1) 求该抛物线的函数表达式;
(2) 由于上游水库泄洪, 水面宽度变为 10 m, 求水面上涨的高度.
答案：【思路分析】(1) 设交点式求该抛物线的函数表达式; (2) 当水面宽度变为 10 m 时, 水面与抛物线的交点的横坐标为 $ \pm 5 $, 代入函数表达式即可.
【答案】(1) 由题意, 得 $ A(-6,0) $, $ B(6,0) $, $ C(0,6) $. 设该抛物线的函数表达式为 $ y = a(x - 6)(x + 6) $. 把点 $ C(0,6) $ 代入 $ y = a(x - 6)(x + 6) $, 得 $ - 36a = 6 $, 解得 $ a = - \frac{1}{6} $, 所以该抛物线的函数表达式为 $ y = - \frac{1}{6}(x - 6)(x + 6) = - \frac{1}{6}x^{2} + 6 $.
(2) 因为 $ 10×\frac{1}{2} = 5(m) $, 所以在 $ y = - \frac{1}{6}x^{2} + 6 $ 中, 令 $ x = 5 $, 得 $ y = - \frac{1}{6}×5^{2} + 6 = \frac{11}{6} $. 故水面上涨的高度为 $ \frac{11}{6} $ m.
【答案】(1) 由题意, 得 $ A(-6,0) $, $ B(6,0) $, $ C(0,6) $. 设该抛物线的函数表达式为 $ y = a(x - 6)(x + 6) $. 把点 $ C(0,6) $ 代入 $ y = a(x - 6)(x + 6) $, 得 $ - 36a = 6 $, 解得 $ a = - \frac{1}{6} $, 所以该抛物线的函数表达式为 $ y = - \frac{1}{6}(x - 6)(x + 6) = - \frac{1}{6}x^{2} + 6 $.
(2) 因为 $ 10×\frac{1}{2} = 5(m) $, 所以在 $ y = - \frac{1}{6}x^{2} + 6 $ 中, 令 $ x = 5 $, 得 $ y = - \frac{1}{6}×5^{2} + 6 = \frac{11}{6} $. 故水面上涨的高度为 $ \frac{11}{6} $ m.