【变式 2】
新素养 应用意识 (2025·江苏扬州模拟) 如图, 施工队要修建一条横断面为抛物线形的公路隧道, 其高度为 12 m, 宽度 $ OM $ 为 24 m. 现以 $ O $ 为原点, $ OM $ 所在直线为 $ x $ 轴建立平面直角坐标系.
(1) 求该抛物线的函数表达式;
(2) 施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架” $ ABCD $, 使点 $ A $, $ D $ 在抛物线上, 点 $ B $, $ C $ 在地面 $ OM $ 上. 为了筹备材料, 请求出“脚手架”三根木杆 $ AB $, $ AD $, $ CD $ 长度之和的最大值.
新素养 应用意识 (2025·江苏扬州模拟) 如图, 施工队要修建一条横断面为抛物线形的公路隧道, 其高度为 12 m, 宽度 $ OM $ 为 24 m. 现以 $ O $ 为原点, $ OM $ 所在直线为 $ x $ 轴建立平面直角坐标系.
(1) 求该抛物线的函数表达式;
(2) 施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架” $ ABCD $, 使点 $ A $, $ D $ 在抛物线上, 点 $ B $, $ C $ 在地面 $ OM $ 上. 为了筹备材料, 请求出“脚手架”三根木杆 $ AB $, $ AD $, $ CD $ 长度之和的最大值.
答案：(1)由题意，得该抛物线的顶点坐标为$(\frac{1}{2} ×$
24,12)，即(12,12).设该抛物线的函数表达式为$y =$
$a(x - 12)^{2} + 12$.把点(0,0)代入$y = a(x - 12)^{2} + 12$，
得$144a + 12 = 0$，解得$a = - \frac{1}{12}$，所以该抛物线的函数
表达式为$y = - \frac{1}{12}(x - 12)^{2} + 12 = - \frac{1}{12}x^{2} + 2x(0 \leqslant$
$x \leqslant 24)$.
(2)设$B(m,0)(0 ＜ m ＜ 12)$，则$A(m, - \frac{1}{12}m^{2} +$
$2m)$，$D(24 - m, - \frac{1}{12}m^{2} + 2m)$，所以$CD = AB =$
$- \frac{1}{12}m^{2} + 2m$，$AD = 24 - 2m$.设$AB + AD + CD = n$，
则$n = - \frac{1}{6}m^{2} + 2m + 24 = - \frac{1}{6}(m - 6)^{2} + 30$.因为
$- \frac{1}{6} ＜ 0$，$0 ＜ m ＜ 12$，所以当$m = 6$时，$n$取最大值$30$.故
三根木杆$AB$，$AD$，$CD$长度之和的最大值为$30$ $m$.
24,12)，即(12,12).设该抛物线的函数表达式为$y =$
$a(x - 12)^{2} + 12$.把点(0,0)代入$y = a(x - 12)^{2} + 12$，
得$144a + 12 = 0$，解得$a = - \frac{1}{12}$，所以该抛物线的函数
表达式为$y = - \frac{1}{12}(x - 12)^{2} + 12 = - \frac{1}{12}x^{2} + 2x(0 \leqslant$
$x \leqslant 24)$.
(2)设$B(m,0)(0 ＜ m ＜ 12)$，则$A(m, - \frac{1}{12}m^{2} +$
$2m)$，$D(24 - m, - \frac{1}{12}m^{2} + 2m)$，所以$CD = AB =$
$- \frac{1}{12}m^{2} + 2m$，$AD = 24 - 2m$.设$AB + AD + CD = n$，
则$n = - \frac{1}{6}m^{2} + 2m + 24 = - \frac{1}{6}(m - 6)^{2} + 30$.因为
$- \frac{1}{6} ＜ 0$，$0 ＜ m ＜ 12$，所以当$m = 6$时，$n$取最大值$30$.故
三根木杆$AB$，$AD$，$CD$长度之和的最大值为$30$ $m$.
典例 3
某游乐园有一个直径为 16 m 的圆形喷水池, 喷水池的周边有一圈喷水头, 喷出的水柱为抛物线形, 在距水池中心 3 m 处达到最高, 高度为 5 m, 且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合. 如图, 以喷水池中心为原点, 水平方向为 $ x $ 轴, 建立平面直角坐标系 (单位长度为 1 m). 王师傅在喷水池内维修设备期间, 喷水管意外喷水, 为了不被淋湿, 身高 1.8 m 的王师傅站立时必须在离水池中心
某游乐园有一个直径为 16 m 的圆形喷水池, 喷水池的周边有一圈喷水头, 喷出的水柱为抛物线形, 在距水池中心 3 m 处达到最高, 高度为 5 m, 且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合. 如图, 以喷水池中心为原点, 水平方向为 $ x $ 轴, 建立平面直角坐标系 (单位长度为 1 m). 王师傅在喷水池内维修设备期间, 喷水管意外喷水, 为了不被淋湿, 身高 1.8 m 的王师傅站立时必须在离水池中心
7
m 以内.答案：【思路分析】设第一象限内抛物线的函数表达式为 $ y = a(x - 3)^{2} + 5 $. 把点 $ (8,0) $ 代入 $ y = a(x - 3)^{2} + 5 $, 得 $ 25a + 5 = 0 $, 解得 $ a = - 0.2 $. 在 $ y = - 0.2(x - 3)^{2} + 5 $ 中, 令 $ y = 1.8 $, 得 $ - 0.2(x - 3)^{2} + 5 = 1.8 $, 解得 $ x_{1} = 7 $, $ x_{2} = - 1 $ (不合题意, 舍去). 故王师傅站立时必须在离水池中心 7 m 以内.
【答案】7
【答案】7
【变式 3】
音乐喷泉可以使喷水造型随着音乐节奏的起伏变化而变化. 某种音乐喷泉形状如抛物线, 设其出水口为原点, 出水口离岸边 15 m, 音乐变化时, 抛物线的顶点在直线 $ y = 3x $ 上变动, 从而产生一组不同的抛物线 (如图), 这组抛物线的统一形式为 $ y = ax^{2} + bx $. 若要求喷出的抛物线水线不能到岸边, 则 $ a $ 的取值范围为
音乐喷泉可以使喷水造型随着音乐节奏的起伏变化而变化. 某种音乐喷泉形状如抛物线, 设其出水口为原点, 出水口离岸边 15 m, 音乐变化时, 抛物线的顶点在直线 $ y = 3x $ 上变动, 从而产生一组不同的抛物线 (如图), 这组抛物线的统一形式为 $ y = ax^{2} + bx $. 若要求喷出的抛物线水线不能到岸边, 则 $ a $ 的取值范围为
$a ＜ - \frac{2}{5}$
.答案：$a ＜ - \frac{2}{5}$
解析：
解：设抛物线顶点坐标为$(h, 3h)$，抛物线方程为$y = a(x - h)^2 + 3h$。
展开得$y = ax^2 - 2ahx + ah^2 + 3h$，与$y = ax^2 + bx$对比，常数项为$0$，即$ah^2 + 3h = 0$，$h(ah + 3) = 0$。
因$h \neq 0$，故$ah + 3 = 0$，$h = -\frac{3}{a}$。
抛物线与$x$轴交点为$x = 0$和$x = 2h$（由对称轴$x = h$及对称性），喷出的水线不能到岸边，即$2h ＜ 15$。
将$h = -\frac{3}{a}$代入$2h ＜ 15$，得$2(-\frac{3}{a}) ＜ 15$，$-\frac{6}{a} ＜ 15$。
因抛物线开口向下，$a ＜ 0$，不等式两边同乘$a$（变号）：$-6 ＞ 15a$，$a ＜ -\frac{6}{15} = -\frac{2}{5}$。
$a ＜ -\frac{2}{5}$
展开得$y = ax^2 - 2ahx + ah^2 + 3h$，与$y = ax^2 + bx$对比，常数项为$0$，即$ah^2 + 3h = 0$，$h(ah + 3) = 0$。
因$h \neq 0$，故$ah + 3 = 0$，$h = -\frac{3}{a}$。
抛物线与$x$轴交点为$x = 0$和$x = 2h$（由对称轴$x = h$及对称性），喷出的水线不能到岸边，即$2h ＜ 15$。
将$h = -\frac{3}{a}$代入$2h ＜ 15$，得$2(-\frac{3}{a}) ＜ 15$，$-\frac{6}{a} ＜ 15$。
因抛物线开口向下，$a ＜ 0$，不等式两边同乘$a$（变号）：$-6 ＞ 15a$，$a ＜ -\frac{6}{15} = -\frac{2}{5}$。
$a ＜ -\frac{2}{5}$