6. (1)乐乐在一个桌面上摆卡片，如图，他用三种摆法都正好从桌面的一端摆到另一端且无剩余。已知卡片长 18 厘米、宽 12 厘米，则桌面至少长(
(2)一个千位上是 1 的四位数，当它分别被四个不同的质数相除时，余数都是 1，满足这些条件的最大偶数是(
180
)厘米。(2)一个千位上是 1 的四位数，当它分别被四个不同的质数相除时，余数都是 1，满足这些条件的最大偶数是(
1996
)。答案：6. (1)180 提示：根据题图图示，第一种摆法是以卡片的长去摆的，此时桌面的长必须是 18 的倍数；第二种摆法是以卡片的宽去摆的，此时桌面的长必须是 12 的倍数；第三种摆法是按照一张卡片的宽和一张卡片的长这样的规律去摆的，那么此时桌面的长应该是 18 + 12 = 30 的倍数。桌面的长必须满足这三种摆法，且无剩余，说明桌面的长必须是 18、12 和 30 的公倍数，[18，12，30] = 180，所以桌面至少长 180 厘米。
(2)1996 提示：由于题目要求的是偶数，因此能够整除四个不同的质数的只能是奇数，因此可以排除这四个质数中偶数的存在。除 2 外最小的 3 个质数是 3、5、7，而由于要求的四位数的千位是 1，因此可以判定最大的质数不超过 19，因为 3×5×7×23 ＞ 2000，因此在 3、5、7、11、13、17、19 这几个质数当中选择，根据题目的条件，进行计算：不妨先用 3、5、7、19 试试，发现 3×5×7×19 = 1995，而 5×7×11×13 ＞ 5000，因此质数中必然有 3；而比 1995 大且小于 2000 的奇数只有 1997、1999，两者都不能被 3 整除，最大的奇数只能是 1995，偶数就是 1996，所以满足条件的最大偶数为 1996。
(2)1996 提示：由于题目要求的是偶数，因此能够整除四个不同的质数的只能是奇数，因此可以排除这四个质数中偶数的存在。除 2 外最小的 3 个质数是 3、5、7，而由于要求的四位数的千位是 1，因此可以判定最大的质数不超过 19，因为 3×5×7×23 ＞ 2000，因此在 3、5、7、11、13、17、19 这几个质数当中选择，根据题目的条件，进行计算：不妨先用 3、5、7、19 试试，发现 3×5×7×19 = 1995，而 5×7×11×13 ＞ 5000，因此质数中必然有 3；而比 1995 大且小于 2000 的奇数只有 1997、1999，两者都不能被 3 整除，最大的奇数只能是 1995，偶数就是 1996，所以满足条件的最大偶数为 1996。
7. 一天，物理学家阿尔·海坦在路上行走，当他经过一条街市时，由于正集中精力思考一种物理现象，不小心将一位大嫂卖的一筐鸡蛋碰翻打碎了。阿尔·海坦感到很愧疚，马上要赔钱。这位大嫂风趣地说：“鸡蛋太多，我数了六遍也没数清，只记得数量在 300 到 350 之间，且按 2 个、3 个、4 个、5 个、6 个去数，都余 1 个，只有按 7 个去数，才能正好数完。”阿尔·海坦很有把握地说：“大嫂，您的这筐鸡蛋共有 301 个，请收钱吧！”你知道阿尔·海坦是怎样算出来的吗？
答案：7. 2、3、4、5、6 的公倍数有 60、120、180、240、300、360，420，…，其中加 1 的和在 300 到 350 之间且能被 7 整除的数只有 301，所以这筐鸡蛋共有 301 个。 提示：因为按 2 个、3 个、4 个、5 个、6 个去数都余 1 个，所以这个数一定是比 2、3、4、5、6 的公倍数多 1 的数，且这个数在 300 到 350 之间，还是 7 的整数倍。
解析：
因为按2个、3个、4个、5个、6个去数都余1个，所以鸡蛋数量是2、3、4、5、6的公倍数加1。2、3、4、5、6的最小公倍数是60，公倍数有60、120、180、240、300、360……在300到350之间的公倍数是300，300+1=301。又因为301能被7整除（301÷7=43），所以这筐鸡蛋共有301个。
8. 数学有很多有趣的方法！求两个非 0 自然数的最大公因数还可以用“辗转相除法”，也叫欧几里得算法。照样子，用这种算法求（276，115）。
答案：23
解析：
①276÷115=2……46 (276,115)=(115,46)
②115÷46=2……23 (115,46)=(46,23)
③46÷23=2 (46,23)=23
所以(276,115)=23
②115÷46=2……23 (115,46)=(46,23)
③46÷23=2 (46,23)=23
所以(276,115)=23
9. (1)几何直观 图中的大长方形分别由面积为 12 平方厘米、24 平方厘米、36 平方厘米、48 平方厘米的四个小长方形所组成，那么图中涂色部分的面积为(
(2)要打开银箱，需要先输入密码，密码由 7 个数组成，它们不是 2
就是 3。且密码中 2 的数量比 3 多，而且密码表示的 7 位数能被 3 和 4 整除。这个银箱的密码是(
5
)平方厘米。(2)要打开银箱，需要先输入密码，密码由 7 个数组成，它们不是 2
就是 3。且密码中 2 的数量比 3 多，而且密码表示的 7 位数能被 3 和 4 整除。这个银箱的密码是(
22222232
)。答案：9. (1)5
提示：如题图，上面两个小长方形的面积和为 12 + 36 = 48（平方厘米），下面两个小长方形的面积和为 24 + 48 = 72（平方厘米），48 与 72 的最大公因数为 24，因此面积为 12 平方厘米的小长方形的宽为 2 厘米，底边长为 6 厘米，面积为 36 平方厘米的小长方形的宽为 2 厘米，底边长为 18 厘米，面积为 24 平方厘米的小长方形的宽为 3 厘米，底边长为 8 厘米，面积为 48 平方厘米的小长方形的宽为 3 厘米，底边长为 16 厘米，涂色部分底边长为 18 - 16 = 2（厘米），2×2÷2 + 2×3÷2 = 5（平方厘米），所以涂色部分的面积为 5 平方厘米。
(2)22222232 提示：根据题意可知 2 的个数可能是 4 个、5 个、6 个或 7 个，因为密码能被 3 和 4 整除，首先考虑每种情况中各个数位上的数之和是不是 3 的倍数。当有 4 个 2 时，各个数位上数的和为 17；当有 5 个 2 时，各个数位上数的和为 16；当有 6 个 2 时，各个数位上数的和为 15；当有 7 个 2 时，各个数位上数的和为 14。一个数，如果各个数位上的数的和是 3 的倍数，那么这个数也是 3 的倍数。所以 2 有 6 个，3 只有 1 个。经验证，在有 6 个 2 和 1 个 3 的密码中只有密码为 22222232 时，才能被 4 整除，所以符合题意的密码为 22222232。
提示：如题图，上面两个小长方形的面积和为 12 + 36 = 48（平方厘米），下面两个小长方形的面积和为 24 + 48 = 72（平方厘米），48 与 72 的最大公因数为 24，因此面积为 12 平方厘米的小长方形的宽为 2 厘米，底边长为 6 厘米，面积为 36 平方厘米的小长方形的宽为 2 厘米，底边长为 18 厘米，面积为 24 平方厘米的小长方形的宽为 3 厘米，底边长为 8 厘米，面积为 48 平方厘米的小长方形的宽为 3 厘米，底边长为 16 厘米，涂色部分底边长为 18 - 16 = 2（厘米），2×2÷2 + 2×3÷2 = 5（平方厘米），所以涂色部分的面积为 5 平方厘米。
(2)22222232 提示：根据题意可知 2 的个数可能是 4 个、5 个、6 个或 7 个，因为密码能被 3 和 4 整除，首先考虑每种情况中各个数位上的数之和是不是 3 的倍数。当有 4 个 2 时，各个数位上数的和为 17；当有 5 个 2 时，各个数位上数的和为 16；当有 6 个 2 时，各个数位上数的和为 15；当有 7 个 2 时，各个数位上数的和为 14。一个数，如果各个数位上的数的和是 3 的倍数，那么这个数也是 3 的倍数。所以 2 有 6 个，3 只有 1 个。经验证，在有 6 个 2 和 1 个 3 的密码中只有密码为 22222232 时，才能被 4 整除，所以符合题意的密码为 22222232。