1. 热点视窗 2025 年九三阅兵活动中，9 架直升机护卫党旗、国旗、军旗，26 架直升机汇成“80”字样，3 架直升机分别悬挂“正义必胜”“和平必胜”“人民必胜”条幅，飞临天安门广场上空，拉开分列式序幕。上万名官兵、数百台装备编成 45 个方(梯)队接受检阅。
上面阅读材料中的数，质数有(
上面阅读材料中的数，质数有(
3
)，奇数有(2025、9、3、45
)，偶数有(80、26
)，(45
)是(9
)的倍数，(3
)是(9
)的因数，将其中一个合数分解质因数：(45 = 3×3×5
)。答案：1. 3 2025、9、3、45 80、26 45 9 3 9 45 = 3×3×5（部分答案不唯一）
提示：根据质数、奇数、偶数、因数、倍数和分解质因数的定义填空即可。
提示：根据质数、奇数、偶数、因数、倍数和分解质因数的定义填空即可。
2. 人文历史 自古农历就借用天干地支来表示年份，十天干和十二地支依次相配，例如：2025 年是乙巳年，2026 年是丙午年……那么下一个丙午年是(
十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；
十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。
2086
)年。十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；
十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。
答案：2. 2086 提示：本题考查最小公倍数的应用及归纳推理能力。要求下一个丙午年是哪一年，需要先求出 10 和 12 的最小公倍数，10 和 12 的最小公倍数是 60，也就是说丙午年每 60 年出现一次，2026 年是丙午年，那么下一个丙午年是 2086 年。
解析：
10和12的最小公倍数是60，2026+60=2086。
3. 数学文化 (1)“孪生质数猜想”是著名的数学猜想之一，“孪生质数”是指相差为 2 的两个质数。如 3 和 5 都是质数，且 5 - 3 = 2，所以 3 和 5 就是一对“孪生质数”，5 和 7 也是一对“孪生质数”。
① 写出 20 以内除了 3 和 5、5 和 7 以外的所有“孪生质数”：
② 如果用 a 和 b 表示任意一对“孪生质数”，那么 2a + b 的和一定是(
(2)古希腊数学家欧几里得提出少量质数可以写成“2^p - 1”的形式，这里的 p 也是一个质数。著名数学家马林·梅森在此领域的成果较为卓著，后人也将“2^p - 1”型的质数称为梅森数。下面 4 个数中，(
A.1
B.7
C.15
D.17
① 写出 20 以内除了 3 和 5、5 和 7 以外的所有“孪生质数”：
11 和 13，17 和 19
。② 如果用 a 和 b 表示任意一对“孪生质数”，那么 2a + b 的和一定是(
奇数
)。(填“奇数”或“偶数”)(2)古希腊数学家欧几里得提出少量质数可以写成“2^p - 1”的形式，这里的 p 也是一个质数。著名数学家马林·梅森在此领域的成果较为卓著，后人也将“2^p - 1”型的质数称为梅森数。下面 4 个数中，(
B
)是梅森数。(注：2^p 表示 p 个 2 相乘)A.1
B.7
C.15
D.17
答案：3. (1)①11 和 13，17 和 19 提示：根据“孪生质数”的意义，“孪生质数”是指相差为 2 的两个质数，20 以内的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19，由此可知，20 以内除了 3 和 5、5 和 7 以外的所有“孪生质数”是 11 和 13，17 和 19。
②奇数 提示：属于“孪生质数”的数都是奇数，2a 必定是偶数，b 必定是奇数，奇数加上偶数的和是奇数。
(2)B 提示：1 和 15 都不是质数，首先排除；7 = 8 - 1 = 2³ - 1，符合；17 = 18 - 1，但 18 不能写成 2ⁿ 的形式，不符合。
②奇数 提示：属于“孪生质数”的数都是奇数，2a 必定是偶数，b 必定是奇数，奇数加上偶数的和是奇数。
(2)B 提示：1 和 15 都不是质数，首先排除；7 = 8 - 1 = 2³ - 1，符合；17 = 18 - 1，但 18 不能写成 2ⁿ 的形式，不符合。
4. 学科融合 (1)古人表示年龄，通常不用数字，而是用文字，充满了浓厚的文化底蕴。如：不惑：四十岁；古稀：七十岁；耄耋(mào dié)：八九十岁。笑笑的奶奶今年已过古稀之年，未及耄耋之年，且年龄既是 2 的倍数，又有因数 3，奶奶今年可能是(
(2)“春潮带雨晚来急，野渡无人舟自横。”渡口以船渡的方式衔接两岸交通。一名船工以摆渡为生，每日先从南岸驶向北岸，再从北岸驶向南岸，不断往返，摆渡 51 次后，小船在江的(
72
)岁或(78
)岁。(2)“春潮带雨晚来急，野渡无人舟自横。”渡口以船渡的方式衔接两岸交通。一名船工以摆渡为生，每日先从南岸驶向北岸，再从北岸驶向南岸，不断往返，摆渡 51 次后，小船在江的(
北岸
)。(填“南岸”或“北岸”)答案：4. (1)72 78 提示：由题意可知，笑笑奶奶的年龄在 70 岁到 80 岁之间，2 和 3 的公倍数是 6，6 与一个数相乘的积在 70 ~ 80 之间的是 6×12 = 72（岁），6×13 = 78（岁），所以笑笑奶奶的年龄是 72 岁或 78 岁。
(2)北岸 提示：根据题意，第 1 次摆渡后到达北岸，第 2 次摆渡后到达南岸，如此往复，可知奇数次摆渡后到达北岸，偶数次摆渡后到达南岸。
(2)北岸 提示：根据题意，第 1 次摆渡后到达北岸，第 2 次摆渡后到达南岸，如此往复，可知奇数次摆渡后到达北岸，偶数次摆渡后到达南岸。
5. 推导探究 (1)
判断一个数是不是 4 的倍数，为什么只要看末两位数是否是 4 的倍数就可以？请照样子举例说明。
(2)为验证“一个数各个数位上数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数”这个结论，笑笑把 867 进行了拆分(如图)。发现：8 个 99 和 6 个 9 都是 3 的倍数，关键要看框中的几个 1 合起
来是不是 3 的倍数，因为合起来共有 21 个 1，也就是 21，21 是 3 的倍数，所以 867 就是 3 的倍数。
a = 3×100 + 4×10 + 1
b = 2×1000 + 2×100 + 3×10 + 6
c = 5×99 + 6×9 + (5 + 6)
d = 2×999 + 4×99 + 8×9 + (2 + 4 + 8 + 7)
想一想，上面 a、b、c、d 四个数中，(
判断一个数是不是 4 的倍数，为什么只要看末两位数是否是 4 的倍数就可以？请照样子举例说明。
(2)为验证“一个数各个数位上数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数”这个结论，笑笑把 867 进行了拆分(如图)。发现：8 个 99 和 6 个 9 都是 3 的倍数，关键要看框中的几个 1 合起
来是不是 3 的倍数，因为合起来共有 21 个 1，也就是 21，21 是 3 的倍数，所以 867 就是 3 的倍数。
a = 3×100 + 4×10 + 1
b = 2×1000 + 2×100 + 3×10 + 6
c = 5×99 + 6×9 + (5 + 6)
d = 2×999 + 4×99 + 8×9 + (2 + 4 + 8 + 7)
想一想，上面 a、b、c、d 四个数中，(
d
)是 3 的倍数。答案：5. (1)如 4524 = 4500 + 24，4500 肯定是 4 的倍数，所以只要看末两位数 24 就可以了，24 是 4 的倍数，所以 4524 是 4 的倍数。（表述合理即可）
提示：因为 100 是 4 的倍数，所以所有整百数都是 4 的倍数。由此可以得出若一个整数的末两位数能被 4 整除，则这个数能被 4 整除，即是 4 的倍数。
(2)d 提示：本题考查 3 的倍数的特征。a = 3×100 + 4×10 + 1 = 341，3 + 4 + 1 = 8，不是 3 的倍数。b = 2×1000 + 2×100 + 3×10 + 6 = 2236，2 + 2 + 3 + 6 = 13，不是 3 的倍数。因为 99、9 都是 3 的倍数，因此（5×99 + 6×9）也是 3 的倍数，而（5 + 6）不是 3 的倍数，因此 c 不是 3 的倍数。999、99、9 都是 3 的倍数，因此（2×999 + 4×99 + 8×9）也是 3 的倍数，2 + 4 + 8 + 7 = 21，21 也是 3 的倍数，所以 d 是 3 的倍数。
提示：因为 100 是 4 的倍数，所以所有整百数都是 4 的倍数。由此可以得出若一个整数的末两位数能被 4 整除，则这个数能被 4 整除，即是 4 的倍数。
(2)d 提示：本题考查 3 的倍数的特征。a = 3×100 + 4×10 + 1 = 341，3 + 4 + 1 = 8，不是 3 的倍数。b = 2×1000 + 2×100 + 3×10 + 6 = 2236，2 + 2 + 3 + 6 = 13，不是 3 的倍数。因为 99、9 都是 3 的倍数，因此（5×99 + 6×9）也是 3 的倍数，而（5 + 6）不是 3 的倍数，因此 c 不是 3 的倍数。999、99、9 都是 3 的倍数，因此（2×999 + 4×99 + 8×9）也是 3 的倍数，2 + 4 + 8 + 7 = 21，21 也是 3 的倍数，所以 d 是 3 的倍数。