(6) $M$、$N$、$k$是非 0 自然数，并且$M=2×5× k$，$N=5× k×3$，那么$M$、$N$的最大公因数是(
5k
)，最小公倍数是(30k
)。答案：(6) 5k 30k
解析：
5k；30k
5. 有三张正方形纸，边长分别是 6 分米、18 分米和 24 分米。如果用长 4 分米、宽 3 分米的长方形纸片来铺，要求正好铺满，且不允许裁剪，铺哪张正方形纸比较合适？你是怎样想的？
答案：5. 铺边长 24 分米的正方形纸比较合适 24 正好是 3 和 4 的公倍数。
6. 知识迁移 聪聪在数学课外阅读中认识了“史密斯数”。
如：$27=3×3×3$，$3+3+3=2+7$，即 27 是“史密斯数”；$51=3×17$，$3+1+7=11$，而$5+1=6≠11$，即 51 不是“史密斯数”。可以看出，把一个自然数分解质因数，所有质因数各个数位上的数的和等于原数每个数位上的数的和，这样的数才能称为“史密斯数”。
在 4、15、22、56 这四个数中，符合“史密斯数”特征的有(
如：$27=3×3×3$，$3+3+3=2+7$，即 27 是“史密斯数”；$51=3×17$，$3+1+7=11$，而$5+1=6≠11$，即 51 不是“史密斯数”。可以看出，把一个自然数分解质因数，所有质因数各个数位上的数的和等于原数每个数位上的数的和，这样的数才能称为“史密斯数”。
在 4、15、22、56 这四个数中，符合“史密斯数”特征的有(
2
)个。答案：6. 2
解析：
4：分解质因数为$2×2$，质因数各位数之和：$2 + 2 = 4$，原数各位数之和：$4$，$4 = 4$，是史密斯数。
15：分解质因数为$3×5$，质因数各位数之和：$3 + 5 = 8$，原数各位数之和：$1 + 5 = 6$，$8 ≠ 6$，不是史密斯数。
22：分解质因数为$2×11$，质因数各位数之和：$2 + 1 + 1 = 4$，原数各位数之和：$2 + 2 = 4$，$4 = 4$，是史密斯数。
56：分解质因数为$2×2×2×7$，质因数各位数之和：$2 + 2 + 2 + 7 = 13$，原数各位数之和：$5 + 6 = 11$，$13 ≠ 11$，不是史密斯数。
符合“史密斯数”特征的有2个。
15：分解质因数为$3×5$，质因数各位数之和：$3 + 5 = 8$，原数各位数之和：$1 + 5 = 6$，$8 ≠ 6$，不是史密斯数。
22：分解质因数为$2×11$，质因数各位数之和：$2 + 1 + 1 = 4$，原数各位数之和：$2 + 2 = 4$，$4 = 4$，是史密斯数。
56：分解质因数为$2×2×2×7$，质因数各位数之和：$2 + 2 + 2 + 7 = 13$，原数各位数之和：$5 + 6 = 11$，$13 ≠ 11$，不是史密斯数。
符合“史密斯数”特征的有2个。
7. (1) 如果$a$、$b$、$c$是任意给定的三个整数，那么$(a+b)×(b+c)×(c+a)$的结果是(
(2) 两个质数的和是 40，则这两个质数的乘积最大是(
(3) 两个质数，它们的差也是质数，它们的和在 20~40 之间，且是 3 的倍数。这两个质数可能是(
偶数
)。(填“奇数”或“偶数”)，理由是：因为 a、b、c 三个数中至少有两个数同为奇数或同为偶数，这样 (a + b)、(b + c)、(c + a) 三个因数中至少有一个是偶数，所以积一定是偶数。
。(2) 两个质数的和是 40，则这两个质数的乘积最大是(
391
)。(3) 两个质数，它们的差也是质数，它们的和在 20~40 之间，且是 3 的倍数。这两个质数可能是(
17
)和(19
)。答案：7. (1) 偶数 因为 a、b、c 三个数中至少有两个数同为奇数或同为偶数，这样 (a + b)、(b + c)、(c + a) 三个因数中至少有一个是偶数，所以积一定是偶数。
(2) 391
(3) 17 19（答案不唯一）
(2) 391
(3) 17 19（答案不唯一）
8. (1) 学校买了 9 个同样的扩音器为电脑教室添置设备，采购的林老师记了个简易账单：9 个扩音器：$□$2$□$2 元($□$为看不清的数字)。他说：“每个扩音器的价格在 300 元以上，400 元以下且为整数。”林老师买扩音器实际花了(
(2) 某工厂生产了“年年有余”花瓶 108 个，“岁寒三友”花瓶 78 个。要想平均分给几个质检组，每组分到的两种花瓶同样多，那么“年年有余”花瓶少 4 个，“岁寒三友”花瓶少 2 个。工厂最多有(
(3) 一盒糖，4 块 4 块地数，还多 3 块；6 块 6 块地数，还多 5 块。已知这盒糖的块数在 30~40 之间，这盒糖有(
(4) 乐乐和爸爸今年年龄的乘积是 528，一年前乐乐和爸爸的年龄都是质数，今年乐乐(
3222
)元。(2) 某工厂生产了“年年有余”花瓶 108 个，“岁寒三友”花瓶 78 个。要想平均分给几个质检组，每组分到的两种花瓶同样多，那么“年年有余”花瓶少 4 个，“岁寒三友”花瓶少 2 个。工厂最多有(
16
)个质检组。(3) 一盒糖，4 块 4 块地数，还多 3 块；6 块 6 块地数，还多 5 块。已知这盒糖的块数在 30~40 之间，这盒糖有(
35
)块。(4) 乐乐和爸爸今年年龄的乘积是 528，一年前乐乐和爸爸的年龄都是质数，今年乐乐(
12
)岁，爸爸(44
)岁。答案：8. (1) 3222 (2) 16 (3) 35 (4) 12 44
9. 算式$1×2+2×3+3×4+···+2026×2027$的得数是奇数还是偶数？你是怎样想的？
答案：9. 偶数 两个相邻的自然数的积是偶数，偶数相加的和是偶数。 提示：奇数×偶数 = 偶数，偶数 + 偶数 = 偶数。
解析：
偶数
两个相邻的自然数中必有一个是偶数，奇数×偶数=偶数，所以每个乘积都是偶数。
偶数+偶数=偶数，故所有乘积的和是偶数。
两个相邻的自然数中必有一个是偶数，奇数×偶数=偶数，所以每个乘积都是偶数。
偶数+偶数=偶数，故所有乘积的和是偶数。
10. 明珠小学有 1008 名学生，按 0001 到 1008 的顺序给这些学生编号，在新年联欢会上，编号是 5 的倍数或 6 的倍数的同学将得到一张贺卡，且每人最多得 1 张，需准备多少张贺卡？
答案：10. 5 和 6 的最小公倍数是 30 1008÷5 = 201（张）……3（人） 1008÷6 = 168（张） 1008÷30 = 33（张）……18（人） 201 + 168 - 33 = 336（张） 提示：要注意 5 和 6 的最小公倍数是 30。根据题意，求出 5 的倍数个数和 6 的倍数个数的和，要把 30 的倍数的个数减去。
解析：
5和6的最小公倍数是30
1008÷5=201（张）……3（人）
1008÷6=168（张）
1008÷30=33（张）……18（人）
201+168-33=336（张）
答：需准备336张贺卡。
1008÷5=201（张）……3（人）
1008÷6=168（张）
1008÷30=33（张）……18（人）
201+168-33=336（张）
答：需准备336张贺卡。
11. 两个数的和是 40。它们的最大公因数是 4，最小公倍数是 84。求这两个数。
答案：11. 84÷4 = 21 21 = 3×7 3×4 = 12 7×4 = 28 12 + 28 = 40 这两个数是 12 和 28 提示：假设这两个数分别是 4a 和 4b，a 和 b 是互质数。有 4a + 4b = 40，那么 a + b = 10。又因为 4ab = 84，则 ab = 21。综合推断出 a、b 分别为 3 和 7，原来的两个数分别为 12 和 28。
解析：
设这两个数分别是$4a$和$4b$，其中$a$和$b$是互质数。
因为两个数的和是$40$，所以$4a + 4b = 40$，化简得$a + b = 10$。
又因为它们的最小公倍数是$84$，且两个数的最小公倍数等于它们的最大公因数乘以$a$和$b$的乘积，所以$4ab = 84$，化简得$ab = 21$。
因为$a$和$b$是互质数且$a + b = 10$，$ab = 21$，解得$a = 3$，$b = 7$或$a = 7$，$b = 3$。
则这两个数分别为$4×3 = 12$和$4×7 = 28$。
这两个数是$12$和$28$。
因为两个数的和是$40$，所以$4a + 4b = 40$，化简得$a + b = 10$。
又因为它们的最小公倍数是$84$，且两个数的最小公倍数等于它们的最大公因数乘以$a$和$b$的乘积，所以$4ab = 84$，化简得$ab = 21$。
因为$a$和$b$是互质数且$a + b = 10$，$ab = 21$，解得$a = 3$，$b = 7$或$a = 7$，$b = 3$。
则这两个数分别为$4×3 = 12$和$4×7 = 28$。
这两个数是$12$和$28$。
12. 一个非 0 自然数$n$，它的所有因数中最小的两个因数的和是 4，最大的两个因数的和是 100，则$n$表示的数是多少？
答案：12. 75 提示：一个非 0 自然数最小的因数是 1，最小的两个因数的和是 4，那么另一个因数是 4 - 1 = 3，则最大的两个因数，一个是另一个的 3 倍，且和是 100，100÷(3 + 1)×3 = 75。
解析：
一个非0自然数最小的因数是1。因为最小的两个因数的和是4，所以另一个最小因数是$4 - 1 = 3$。
一个数最大的因数是它本身$n$，由于3是它的因数，所以另一个最大因数是$n÷3$。已知最大的两个因数的和是100，则$n + n÷3 = 100$，即$\frac{4n}{3}=100$，解得$n = 100×\frac{3}{4}=75$。
75
一个数最大的因数是它本身$n$，由于3是它的因数，所以另一个最大因数是$n÷3$。已知最大的两个因数的和是100，则$n + n÷3 = 100$，即$\frac{4n}{3}=100$，解得$n = 100×\frac{3}{4}=75$。
75