例 1 在等式 $\frac{1}{6}=\frac{1}{( )}+\frac{1}{( )}$ 的括号内填入适当的不同的自然数，使等式成立。
答案：分析：解答此类题目的方法不止一种，这里介绍因数法。
先求出 6 的因数，然后把 $\frac{1}{6}$ 的分子、分母同时乘任意两个因数的和，再把所得的分数拆成两个分数的和，最后再把两个分数中可以约分的约成最简分数。但要注意所取的两个因数的公因数只能是 1，如果除了 1 之外，还有别的公因数，那么所得结果会相同，如取 1 和 2 与取 3 和 6 的结果相同。
解答：6 的因数有 1、2、3、6。
取 1 和 2：$\frac{1}{6}=\frac{1 + 2}{6×(1 + 2)}=\frac{1}{18}+\frac{2}{18}=\frac{1}{18}+\frac{1}{9}$；
取 1 和 3：$\frac{1}{6}=\frac{1 + 3}{6×(1 + 3)}=\frac{1}{24}+\frac{3}{24}=\frac{1}{24}+\frac{1}{8}$；
取 1 和 6：$\frac{1}{6}=\frac{1 + 6}{6×(1 + 6)}=\frac{1}{42}+\frac{6}{42}=\frac{1}{42}+\frac{1}{7}$；
取 2 和 3：$\frac{1}{6}=\frac{2 + 3}{6×(2 + 3)}=\frac{2}{30}+\frac{3}{30}=\frac{1}{15}+\frac{1}{10}$。
所以括号里一共有 4 种填法：① 18 和 9；② 24 和 8；③ 42 和 7；④ 15 和 10。
先求出 6 的因数，然后把 $\frac{1}{6}$ 的分子、分母同时乘任意两个因数的和，再把所得的分数拆成两个分数的和，最后再把两个分数中可以约分的约成最简分数。但要注意所取的两个因数的公因数只能是 1，如果除了 1 之外，还有别的公因数，那么所得结果会相同，如取 1 和 2 与取 3 和 6 的结果相同。
解答：6 的因数有 1、2、3、6。
取 1 和 2：$\frac{1}{6}=\frac{1 + 2}{6×(1 + 2)}=\frac{1}{18}+\frac{2}{18}=\frac{1}{18}+\frac{1}{9}$；
取 1 和 3：$\frac{1}{6}=\frac{1 + 3}{6×(1 + 3)}=\frac{1}{24}+\frac{3}{24}=\frac{1}{24}+\frac{1}{8}$；
取 1 和 6：$\frac{1}{6}=\frac{1 + 6}{6×(1 + 6)}=\frac{1}{42}+\frac{6}{42}=\frac{1}{42}+\frac{1}{7}$；
取 2 和 3：$\frac{1}{6}=\frac{2 + 3}{6×(2 + 3)}=\frac{2}{30}+\frac{3}{30}=\frac{1}{15}+\frac{1}{10}$。
所以括号里一共有 4 种填法：① 18 和 9；② 24 和 8；③ 42 和 7；④ 15 和 10。
1. 在括号里填入不同的自然数，使等式成立。
(1) $\frac{1}{8}=\frac{1}{( )}+\frac{1}{( )}$
(2) $\frac{1}{10}=\frac{1}{( )}+\frac{1}{( )}+\frac{1}{( )}$
(1) $\frac{1}{8}=\frac{1}{( )}+\frac{1}{( )}$
(2) $\frac{1}{10}=\frac{1}{( )}+\frac{1}{( )}+\frac{1}{( )}$
答案：1. (1)24 12(答案不唯一) 提示:8 的因数有 1、2、4、8。取 1 和 2，$\frac{1}{8}=\frac{1 + 2}{8×(1 + 2)}=\frac{1}{24}+\frac{2}{24}=\frac{1}{24}+\frac{1}{12}$；取 1 和 4，$\frac{1}{8}=\frac{1 + 4}{8×(1 + 4)}=\frac{1}{40}+\frac{4}{40}=\frac{1}{40}+\frac{1}{10}$；取 1 和 8，$\frac{1}{8}=\frac{1 + 8}{8×(1 + 8)}=\frac{1}{72}+\frac{8}{72}=\frac{1}{72}+\frac{1}{9}$。
(2)30 60 20(答案不唯一) 提示:不妨先取 10 的因数中的 1 和 2，把$\frac{1}{10}$写成两个分数单位的和，$\frac{1}{10}=\frac{1 + 2}{10×(1 + 2)}=\frac{1}{30}+\frac{2}{30}=\frac{1}{30}+\frac{1}{15}$。接着可以取 15 的因数中的 1 和 3，把$\frac{1}{15}$写成两个分数单位的和，$\frac{1}{15}=\frac{1 + 3}{15×(1 + 3)}=\frac{1}{60}+\frac{3}{60}=\frac{1}{60}+\frac{1}{20}$。
(2)30 60 20(答案不唯一) 提示:不妨先取 10 的因数中的 1 和 2，把$\frac{1}{10}$写成两个分数单位的和，$\frac{1}{10}=\frac{1 + 2}{10×(1 + 2)}=\frac{1}{30}+\frac{2}{30}=\frac{1}{30}+\frac{1}{15}$。接着可以取 15 的因数中的 1 和 3，把$\frac{1}{15}$写成两个分数单位的和，$\frac{1}{15}=\frac{1 + 3}{15×(1 + 3)}=\frac{1}{60}+\frac{3}{60}=\frac{1}{60}+\frac{1}{20}$。
例 2 (1) 计算：
$1-\frac{1}{2}=$ $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=$ $\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=$ $\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=$
(2) 计算：$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}$。
$1-\frac{1}{2}=$ $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=$ $\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=$ $\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=$
(2) 计算：$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}$。
答案：分析：运用通分的方法计算第 (1) 题各算式的结果，再与第 (2) 题进行对比就会发现，第 (2) 题前 4 个加数分别是第 (1) 题各算式的结果，因此可以将第 (2) 题的各个加数按第 (1) 题的规律替换成相对应的算式，然后将中间的很多分数相互抵消，就能很快计算出结果。
解答：(1) $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{20}$
(2) $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}=1-\frac{1}{7}=\frac{6}{7}$
解答：(1) $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{20}$
(2) $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}=1-\frac{1}{7}=\frac{6}{7}$
2. 计算：$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}+\frac{1}{90}$。
答案：2. 原式$=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{2}{5}$
提示:把$\frac{1}{6}$换成$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$，$\frac{1}{12}$换成$(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})$，…，以此类推，减$\frac{1}{3}$加$\frac{1}{3}$，减$\frac{1}{4}$加$\frac{1}{4}$，…，减$\frac{1}{9}$加$\frac{1}{9}$，结果均为 0，所以最后就剩下$\frac{1}{2}-\frac{1}{10}$。
提示:把$\frac{1}{6}$换成$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$，$\frac{1}{12}$换成$(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})$，…，以此类推，减$\frac{1}{3}$加$\frac{1}{3}$，减$\frac{1}{4}$加$\frac{1}{4}$，…，减$\frac{1}{9}$加$\frac{1}{9}$，结果均为 0，所以最后就剩下$\frac{1}{2}-\frac{1}{10}$。
3. 计算：$1-\frac{1}{20}-\frac{1}{30}-\frac{1}{42}-\frac{1}{56}-\frac{1}{72}-\frac{1}{90}-\frac{1}{110}-\frac{1}{132}$。
答案：3. 原式$=1-(\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}+\frac{1}{90}+\frac{1}{110}+\frac{1}{132})$
$=1-(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+…+\frac{1}{11}-\frac{1}{12})$
$=1-(\frac{1}{4}-\frac{1}{12})$
$=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$
提示:把原式中的$\frac{1}{20}$换成$(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})$，$\frac{1}{30}$换成$(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})$，…，以此类推，减$\frac{1}{5}$加$\frac{1}{5}$，减$\frac{1}{6}$加$\frac{1}{6}$，…，结果均为 0，所以最后就剩下$1-(\frac{1}{4}-\frac{1}{12})$。
$=1-(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+…+\frac{1}{11}-\frac{1}{12})$
$=1-(\frac{1}{4}-\frac{1}{12})$
$=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$
提示:把原式中的$\frac{1}{20}$换成$(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})$，$\frac{1}{30}$换成$(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})$，…，以此类推，减$\frac{1}{5}$加$\frac{1}{5}$，减$\frac{1}{6}$加$\frac{1}{6}$，…，结果均为 0，所以最后就剩下$1-(\frac{1}{4}-\frac{1}{12})$。