4. 甲、乙、丙三辆汽车共运走一堆煤，甲车运走了总吨数的$\frac{2}{5}$，乙车运走的是丙车的$\frac{3}{5}$，已知甲车比乙车多运走了28吨，这堆煤共有多少吨？
答案：4. $(1 - \frac{2}{5})×\frac{3}{3 + 5}=\frac{9}{40}$ $28÷(\frac{2}{5}-\frac{9}{40}) = 160$（吨）
提示：甲车运走了总吨数的 $\frac{2}{5}$，则乙、丙两车一共运走了总吨数的 $(1 - \frac{2}{5})$。由于乙车运走的是丙车的 $\frac{3}{5}$，把 $(1 - \frac{2}{5})$ 按 $3:5$ 进行分配，可以求出乙车运走了总吨数的 $\frac{9}{40}$。甲车比乙车多运走的 28 吨应是总吨数的 $(\frac{2}{5}-\frac{9}{40})$，由此可以求出这堆煤的总吨数。
提示：甲车运走了总吨数的 $\frac{2}{5}$，则乙、丙两车一共运走了总吨数的 $(1 - \frac{2}{5})$。由于乙车运走的是丙车的 $\frac{3}{5}$，把 $(1 - \frac{2}{5})$ 按 $3:5$ 进行分配，可以求出乙车运走了总吨数的 $\frac{9}{40}$。甲车比乙车多运走的 28 吨应是总吨数的 $(\frac{2}{5}-\frac{9}{40})$，由此可以求出这堆煤的总吨数。
5. 我国著名的农民数学家于振善爷爷曾遇到这样的问题(如图)：一张地图A，它的实际土地面积是64公顷，需要求出其中一块不规则部分B的实际土地面积。于振善爷爷想出了一个巧妙的方法，他找来一块厚薄均匀、质地相同的木板，将这张地图画在上面，并将画有这张地图的木板锯下来，称得木板质量是240克。他又将这张地图中的不规则部分也锯下来，称得木板质量是30克，这样其中不规则部分B的实际土地面积就算出来了，是8公顷。
(1)根据题意，把下面的表格填完整。
(2)求“木板质量”和“实际土地面积”的比值。
计算过程：
你的发现：
于爷爷是用我们学过的(
(3)如果锯下同一块木板上的另一块不规则图形，称得木板质量为75克，那么这块不规则图形的实际土地面积是(
(1)根据题意，把下面的表格填完整。
(2)求“木板质量”和“实际土地面积”的比值。
计算过程：
你的发现：
比值都是 $\frac{15}{4}$
。于爷爷是用我们学过的(
转化
)的策略来算出不规则部分的实际土地面积的。(3)如果锯下同一块木板上的另一块不规则图形，称得木板质量为75克，那么这块不规则图形的实际土地面积是(
20
)公顷。答案：5. (1) 64 30
提示：根据题意可知，240 克对应的是画有地图 A 的木板质量，地图 A 对应的实际土地面积是 64 公顷；8 公顷对应的是地图 B 的实际土地面积，对应的木板质量是 30 克。
(2) $240:64 = 240÷64=\frac{15}{4}$ $30:8 = 30÷8=\frac{15}{4}$
比值都是 $\frac{15}{4}$ 转化
提示：比值 $\frac{15}{4}$ 表示图上代表每公顷的木板重 $\frac{15}{4}$ 克。于爷爷运用了转化的思想，将求不规则土地面积的问题转化成求木板的质量。
(3) 20
提示：根据木板质量与实际土地面积的比值一定，都是 $\frac{15}{4}$ 来列出比例，并求解。设这块不规则图形的实际土地面积是 $x$ 公顷。$75:x=\frac{15}{4}$，$x = 20$。
提示：根据题意可知，240 克对应的是画有地图 A 的木板质量，地图 A 对应的实际土地面积是 64 公顷；8 公顷对应的是地图 B 的实际土地面积，对应的木板质量是 30 克。
(2) $240:64 = 240÷64=\frac{15}{4}$ $30:8 = 30÷8=\frac{15}{4}$
比值都是 $\frac{15}{4}$ 转化
提示：比值 $\frac{15}{4}$ 表示图上代表每公顷的木板重 $\frac{15}{4}$ 克。于爷爷运用了转化的思想，将求不规则土地面积的问题转化成求木板的质量。
(3) 20
提示：根据木板质量与实际土地面积的比值一定，都是 $\frac{15}{4}$ 来列出比例，并求解。设这块不规则图形的实际土地面积是 $x$ 公顷。$75:x=\frac{15}{4}$，$x = 20$。
6. 如图，在一个棱长为20厘米的正方体密闭容器的下底面固定了一个实心圆柱，容器内盛有m升水时，水面恰好经过圆柱的上底面，如果将容器倒置，那么圆柱有8厘米露出水面。已知圆柱的底面积是正方体底面积的$\frac{1}{8}$，求实心圆柱的体积。
答案：6. $8×(1 - \frac{1}{8}) = 7$（厘米）
$20×20 = 400$（平方厘米）
$400×\frac{1}{8} = 50$（平方厘米）
$50×(20 - 7) = 650$（立方厘米）
提示：根据题意，容器的体积等于实心圆柱的体积加上水的体积，再加上空气的体积。两次放置的空气部分的体积相等。容器正放时，空白部分是一个长方体，根据长方体的体积 = 长×宽×高，可得空气部分的体积等于正方体的底面积乘相对应的高。容器倒置时，根据圆柱的体积 = 底面积×高，可得空气部分的体积等于正方体的底面积乘 8 厘米减去实心圆柱的底面积乘 8 厘米。因为圆柱的底面积是正方体底面积的 $\frac{1}{8}$，所以容器正放时空气部分的高是容器倒置时空气部分的高的 $(1 - \frac{1}{8})$，根据空气部分的体积不变，求出容器正放时空气部分的高是 $8×(1 - \frac{1}{8}) = 7$（厘米），所以实心圆柱的高度为 $20 - 7 = 13$（厘米），正方体的底面积为 $20×20 = 400$（平方厘米），所以圆柱的底面积为 $400×\frac{1}{8} = 50$（平方厘米），根据圆柱的体积 = 底面积×高，可得实心圆柱的体积为 $50×13 = 650$（立方厘米）。
$20×20 = 400$（平方厘米）
$400×\frac{1}{8} = 50$（平方厘米）
$50×(20 - 7) = 650$（立方厘米）
提示：根据题意，容器的体积等于实心圆柱的体积加上水的体积，再加上空气的体积。两次放置的空气部分的体积相等。容器正放时，空白部分是一个长方体，根据长方体的体积 = 长×宽×高，可得空气部分的体积等于正方体的底面积乘相对应的高。容器倒置时，根据圆柱的体积 = 底面积×高，可得空气部分的体积等于正方体的底面积乘 8 厘米减去实心圆柱的底面积乘 8 厘米。因为圆柱的底面积是正方体底面积的 $\frac{1}{8}$，所以容器正放时空气部分的高是容器倒置时空气部分的高的 $(1 - \frac{1}{8})$，根据空气部分的体积不变，求出容器正放时空气部分的高是 $8×(1 - \frac{1}{8}) = 7$（厘米），所以实心圆柱的高度为 $20 - 7 = 13$（厘米），正方体的底面积为 $20×20 = 400$（平方厘米），所以圆柱的底面积为 $400×\frac{1}{8} = 50$（平方厘米），根据圆柱的体积 = 底面积×高，可得实心圆柱的体积为 $50×13 = 650$（立方厘米）。
强基直通车 如图，在长为490米的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长50米，甲、乙两人同时分别从A、B两点出发反向奔跑。两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度提高了25%，乙把速度提高了20%，结果当甲跑到点A时，乙恰好跑到了点B。如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一开始算起，甲一共跑了(
2690
)米。答案：
提示：如图，假设甲、乙在点 C 相遇。乙先从点 B 到点 C，再从点 C 沿原路返回点 B，两次路程不变，而速度比为 $1:(1 + 20\%) = 5:6$，则时间比为 $6:5$。与此同时甲从点 A 到点 C，再从点 C 经过点 B 到点 A，两段路程的时间比也是 $6:5$，又因为其速度比为 $1:(1 + 25\%) = 4:5$，所以这两段路程比为 $(4×6):(5×5) = 24:25$。A、C 两点之间的跑道长为 $490×\frac{24}{24 + 25} = 240$（米），B、C 两点之间的跑道长为 $490 - 240 - 50 = 200$（米），则甲、乙提速后的路程比为 $(490 - 240):200 = 5:4$。因为时间一定，路程和速度成正比例，所以甲、乙两人提速后的速度比为 $5:4$，因此两人同时从点 C 出发后甲要跑 5 圈才能追上乙，甲一共跑了 $240 + 490×5 = 2690$（米）。
提示：如图，假设甲、乙在点 C 相遇。乙先从点 B 到点 C，再从点 C 沿原路返回点 B，两次路程不变，而速度比为 $1:(1 + 20\%) = 5:6$，则时间比为 $6:5$。与此同时甲从点 A 到点 C，再从点 C 经过点 B 到点 A，两段路程的时间比也是 $6:5$，又因为其速度比为 $1:(1 + 25\%) = 4:5$，所以这两段路程比为 $(4×6):(5×5) = 24:25$。A、C 两点之间的跑道长为 $490×\frac{24}{24 + 25} = 240$（米），B、C 两点之间的跑道长为 $490 - 240 - 50 = 200$（米），则甲、乙提速后的路程比为 $(490 - 240):200 = 5:4$。因为时间一定，路程和速度成正比例，所以甲、乙两人提速后的速度比为 $5:4$，因此两人同时从点 C 出发后甲要跑 5 圈才能追上乙，甲一共跑了 $240 + 490×5 = 2690$（米）。