4. (1)如果 $a$、$b$、$c$ 是任意给定的三个整数，那么 $(a + b)×(b + c)×(c + a)$ 的结果是(
(2)若一个两位数减去 3 是 5 的倍数，乘 2 的积是 20 以内最大奇数的倍数，则这个两位数是(
偶数
)(填“奇数”或“偶数”)。理由是：因为 a、b、c 三个数中至少有两个数同为奇数或同为偶数，这样 (a + b)、(b + c)、(c + a) 三个因数中至少有一个是偶数，所以积一定是偶数
。(2)若一个两位数减去 3 是 5 的倍数，乘 2 的积是 20 以内最大奇数的倍数，则这个两位数是(
38
)。答案：4. (1) 偶数 因为 a、b、c 三个数中至少有两个数同为奇数或同为偶数，这样 (a + b)、(b + c)、(c + a) 三个因数中至少有一个是偶数，所以积一定是偶数
(2) 38
提示：20 以内最大的奇数是 19，这个两位数乘 2 是 19 的倍数，因为是两位数乘 2，所以只能是 19×2 = 38 或 38×2 = 76 或 57×2 = 114 或 76×2 = 152 或 95×2 = 190，而 38 - 3 = 35，35 是 5 的倍数，所以这个两位数是 38。
(2) 38
提示：20 以内最大的奇数是 19，这个两位数乘 2 是 19 的倍数，因为是两位数乘 2，所以只能是 19×2 = 38 或 38×2 = 76 或 57×2 = 114 或 76×2 = 152 或 95×2 = 190，而 38 - 3 = 35，35 是 5 的倍数，所以这个两位数是 38。
5. (1)某小学六年级 4 个班共 137 名学生进行体检，(1)～(4)班学生人数分别为 32、33、38、34。已经有 3 个班级的学生完成了体检，且已经完成体检的男生和女生的人数比是 $5:4$，那么还没有体检的班级是六(
(2)三个不同的质数 $m$、$n$、$p$，如果 $m + n = p$，那么 $m× n× p$ 的积最小是(
(3)一个两位数，在它的前面写上“3”，所组成的三位数比原来的两位数的 6 倍还多 20，那么原来的两位数是(
(4)一个小数的整数部分是 8，小数部分各个数位上的数之和是 15，而且小数部分各个数位上的数各不相同。这个小数最大是(
(5)有一个三位小数，用“四舍五入”法保留整数是 4，保留一位小数是 4.0，保留两位小数是 4.00，这个小数各个数位上的数相加的和是 27。这个三位小数是(
(6)许师傅要在某一条道路上安装路灯(如图)，要求点 $A$、$B$、$C$ 处都有路灯，且所有路灯之间的距离相等，已知 $AB$ 长 57 米，$BC$ 长 95 米，许师傅至少要安装(
(7)有一个自然数，把它的所有因数按从小到大的顺序排列起来，最后两个因数的和是 129，这个自然数是(
(3)
)班。(2)三个不同的质数 $m$、$n$、$p$，如果 $m + n = p$，那么 $m× n× p$ 的积最小是(
30
)。(3)一个两位数，在它的前面写上“3”，所组成的三位数比原来的两位数的 6 倍还多 20，那么原来的两位数是(
56
)。(4)一个小数的整数部分是 8，小数部分各个数位上的数之和是 15，而且小数部分各个数位上的数各不相同。这个小数最大是(
8.96
)，最小是(8.012345
)。(5)有一个三位小数，用“四舍五入”法保留整数是 4，保留一位小数是 4.0，保留两位小数是 4.00，这个小数各个数位上的数相加的和是 27。这个三位小数是(
3.996
)。(6)许师傅要在某一条道路上安装路灯(如图)，要求点 $A$、$B$、$C$ 处都有路灯，且所有路灯之间的距离相等，已知 $AB$ 长 57 米，$BC$ 长 95 米，许师傅至少要安装(
9
)盏路灯。(7)有一个自然数，把它的所有因数按从小到大的顺序排列起来，最后两个因数的和是 129，这个自然数是(
86
)。答案：5. (1) (3)
提示：由题意可知，六年级已完成体检的人数是 5 + 4 = 9 的倍数，观察去掉哪个班的人数后，剩余人数是 9 的倍数。计算后发现去掉六(3)班，其他 3 个班的总人数是 9 的倍数。所以六(3)班还没有体检。
(2) 30
提示：要使积最小，则三个质数要尽可能小，最小为 2 + 3 = 5，则 2×3×5 = 30。
(3) 56
提示：设原来的两位数是 x，300 + x = 6x + 20，x = 56。
(4) 8.96 8.012345
提示：小数部分各个数位上的数之和是 15，15 = 9 + 6 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5。
(5) 3.996
提示：根据题意，可知符合用“四舍五入”法保留整数是 4，保留一位小数是 4.0，保留两位小数是 4.00 的三位小数是 4.001 ~ 4.004 或 3.995 ~ 3.999，再由这个小数各个数位上的数相加的和是 27，确定要求的三位小数是 3.996。
(6) 9
提示：因为点 A、B、C 处均需安装路灯，所以安装的盏数比间隔数多 1。57 和 95 的最大公因数是 19，(57 + 95)÷19 + 1 = 9(盏)。
(7) 86
提示：一个自然数最大的因数是它本身，所以最后一个因数就是这个自然数。根据最后两个因数的和是 129 可知，这两个因数一个是奇数，一个是偶数，且最大的因数(这个自然数)是偶数，另一个因数是奇数，同时又是最大因数的一半。把另一个因数看作 1 份，最大的因数就是 2 份，它们的和是 (1 + 2) 份，先求出一份是 129÷(1 + 2) = 43，再求 2 份是 43×2 = 86。
提示：由题意可知，六年级已完成体检的人数是 5 + 4 = 9 的倍数，观察去掉哪个班的人数后，剩余人数是 9 的倍数。计算后发现去掉六(3)班，其他 3 个班的总人数是 9 的倍数。所以六(3)班还没有体检。
(2) 30
提示：要使积最小，则三个质数要尽可能小，最小为 2 + 3 = 5，则 2×3×5 = 30。
(3) 56
提示：设原来的两位数是 x，300 + x = 6x + 20，x = 56。
(4) 8.96 8.012345
提示：小数部分各个数位上的数之和是 15，15 = 9 + 6 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5。
(5) 3.996
提示：根据题意，可知符合用“四舍五入”法保留整数是 4，保留一位小数是 4.0，保留两位小数是 4.00 的三位小数是 4.001 ~ 4.004 或 3.995 ~ 3.999，再由这个小数各个数位上的数相加的和是 27，确定要求的三位小数是 3.996。
(6) 9
提示：因为点 A、B、C 处均需安装路灯，所以安装的盏数比间隔数多 1。57 和 95 的最大公因数是 19，(57 + 95)÷19 + 1 = 9(盏)。
(7) 86
提示：一个自然数最大的因数是它本身，所以最后一个因数就是这个自然数。根据最后两个因数的和是 129 可知，这两个因数一个是奇数，一个是偶数，且最大的因数(这个自然数)是偶数，另一个因数是奇数，同时又是最大因数的一半。把另一个因数看作 1 份，最大的因数就是 2 份，它们的和是 (1 + 2) 份，先求出一份是 129÷(1 + 2) = 43，再求 2 份是 43×2 = 86。
6. 林晓和陆嘉在玩纸青蛙跳跃游戏，林晓的青蛙每次跳 15 厘米，陆嘉的青蛙每次跳 10 厘米，并且两人的青蛙同时从起点开始跳，每两次跳跃间隔时间相同。在游戏中，每隔 12 厘米有一个陷阱，当第一只青蛙掉进陷阱时，另一只青蛙与最近的陷阱的距离是多少厘米？
答案：6. [15, 12] = 60 60÷15 = 4(次)
[10, 12] = 60 60÷10 = 6(次) 4 ＜ 6
4×10 = 40(厘米) 40 - 12×3 = 4(厘米)
提示：15 和 12 的最小公倍数是 60，林晓的青蛙跳 60 厘米时掉进陷阱，60÷15 = 4(次)，故林晓的青蛙第 4 次跳跃时掉进陷阱；10 和 12 的最小公倍数是 60，陆嘉的青蛙跳 60 厘米时掉进陷阱，60÷10 = 6(次)，故陆嘉的青蛙第 6 次跳跃时掉进陷阱。4 ＜ 6，所以林晓的青蛙先掉进陷阱，此时，陆嘉的青蛙跳了 4×10 = 40(厘米)，离最近的陷阱的距离是 40 - 12×3 = 4(厘米)。
[10, 12] = 60 60÷10 = 6(次) 4 ＜ 6
4×10 = 40(厘米) 40 - 12×3 = 4(厘米)
提示：15 和 12 的最小公倍数是 60，林晓的青蛙跳 60 厘米时掉进陷阱，60÷15 = 4(次)，故林晓的青蛙第 4 次跳跃时掉进陷阱；10 和 12 的最小公倍数是 60，陆嘉的青蛙跳 60 厘米时掉进陷阱，60÷10 = 6(次)，故陆嘉的青蛙第 6 次跳跃时掉进陷阱。4 ＜ 6，所以林晓的青蛙先掉进陷阱，此时，陆嘉的青蛙跳了 4×10 = 40(厘米)，离最近的陷阱的距离是 40 - 12×3 = 4(厘米)。
7. 如图，木匠师傅从一块正方形木板上锯下了一个宽 3 分米的长方形后，剩余部分的面积是 180 平方分米。求原来正方形木板的面积。
答案：7. 180 = 2×2×3×3×5 = (2×2×3)×(3×5) = 12×15
15×15 = 225(平方分米)
提示：根据题意可知，剩余的木板是一个长方形，宽比长短 3 分米，因此可以先把 180 分解质因数，再把质因数进行组合，求得剩余部分的长是 15 分米，宽是 12 分米。这样也就求出了原来正方形木板的边长是 15 分米，最后再求面积。
15×15 = 225(平方分米)
提示：根据题意可知，剩余的木板是一个长方形，宽比长短 3 分米，因此可以先把 180 分解质因数，再把质因数进行组合，求得剩余部分的长是 15 分米，宽是 12 分米。这样也就求出了原来正方形木板的边长是 15 分米，最后再求面积。
8. 同学们去划船，如果每 3 人一条船就多 2 人，每 5 人一条船就有一条船上少 3 人，每 7 人一条船就有一条船上少 5 人。参加划船的至少有(
107
)人。答案：8. 107
提示：“每 5 人一条船就有一条船上少 3 人”可以理解成“每 5 人一条船就多 2 人”，“每 7 人一条船就有一条船上少 5 人”可以理解成“每 7 人一条船就多 2 人”。要求参加划船的至少有多少人，就是求 3、5、7 的最小公倍数再加上 2，即 3×5×7 + 2 = 107(人)。
提示：“每 5 人一条船就有一条船上少 3 人”可以理解成“每 5 人一条船就多 2 人”，“每 7 人一条船就有一条船上少 5 人”可以理解成“每 7 人一条船就多 2 人”。要求参加划船的至少有多少人，就是求 3、5、7 的最小公倍数再加上 2，即 3×5×7 + 2 = 107(人)。
9. 李明是一名十几岁的中学生，本学期参加了全市的数学竞赛，成绩很优秀。他的同桌问：“这次数学竞赛你得了多少分？获第几名？”李明回答说：“我得的名次、分数和我的年龄相乘，结果是 2910。”他是第(
2
)名，得了(97
)分。(本次数学竞
赛为百分制)答案：9. 2 97
提示：先把 2910 分解质因数，一般中学生的年龄是十几岁，名次可以是第几名，通过分解质因数不难看出他的年龄、名次和得分。2910 = 2×3×5×97 = 2×(3×5)×97 = 2×15×97，李明参加数学竞赛获第 2 名，得了 97 分。
提示：先把 2910 分解质因数，一般中学生的年龄是十几岁，名次可以是第几名，通过分解质因数不难看出他的年龄、名次和得分。2910 = 2×3×5×97 = 2×(3×5)×97 = 2×15×97，李明参加数学竞赛获第 2 名，得了 97 分。
10. 50 名同学面向老师站成一排，按老师的口令从左往右报数：1、2、3、…、50。报完后，老师让所报的数是 4 的倍数的同学向后转，接着让所报的数是 6 的倍数的同学向后转，现在仍面向老师的同学有多少人？
答案：10. 50÷4 = 12(人)……2(人)
50÷6 = 8(人)……2(人)
50 以内 4 和 6 的公倍数有 4 个
50 - [(12 - 4) + (8 - 4)] = 38(人)
提示：50÷4 = 12(人)……2(人)，第一次向后转的有 12 人；50÷6 = 8(人)……2(人)，第二次向后转的有 8 人。因为 50 以内 4 和 6 的公倍数有 4 个，因此做了两次向后转的有 4 人，这 4 人又面向老师。那么第一次与第二次向后转的人数中各减少 4 人，就可以求出背朝老师的学生人数，然后再用总人数减去背朝老师的人数，就可以求出面向老师的同学有 50 - [(12 - 4) + (8 - 4)] = 38(人)。
50÷6 = 8(人)……2(人)
50 以内 4 和 6 的公倍数有 4 个
50 - [(12 - 4) + (8 - 4)] = 38(人)
提示：50÷4 = 12(人)……2(人)，第一次向后转的有 12 人；50÷6 = 8(人)……2(人)，第二次向后转的有 8 人。因为 50 以内 4 和 6 的公倍数有 4 个，因此做了两次向后转的有 4 人，这 4 人又面向老师。那么第一次与第二次向后转的人数中各减少 4 人，就可以求出背朝老师的学生人数，然后再用总人数减去背朝老师的人数，就可以求出面向老师的同学有 50 - [(12 - 4) + (8 - 4)] = 38(人)。