3. 如图是一顶帽子的示意图，帽顶部分是圆柱形，帽檐部分是一个圆环，两部分的表面都是用同样的花布做成的。已知帽顶的直径和高及帽檐宽都是 2 分米，那么做这顶帽子至少要用多少平方分米的花布？
答案：3. 2×3 = 6(分米) 3.14×2×2 + 3.14×(6÷2)² = 40.82(平方分米)
解析：
帽顶半径：$2÷2 = 1$（分米）
帽檐外圆半径：$1 + 2 = 3$（分米）
帽顶侧面积：$2×3.14×1×2 = 12.56$（平方分米）
帽檐面积：$3.14×3^2 - 3.14×1^2 = 25.12$（平方分米）
总面积：$12.56 + 25.12 = 37.68$（平方分米）
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帽檐外圆半径：$1 + 2 = 3$（分米）
帽顶侧面积：$2×3.14×1×2 = 12.56$（平方分米）
帽檐面积：$3.14×3^2 - 3.14×1^2 = 25.12$（平方分米）
总面积：$12.56 + 25.12 = 37.68$（平方分米）
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4. 晶晶的爸爸在“琉璃厂”买了一块砚台，为了测量它的体积，做了以下实验：
① 天平称出这块砚台的质量是 1.44 千克；
② 天平称出 1 立方分米砚台材料质量为 2.5 千克；
③ 测量一个圆柱形玻璃容器的底面半径是 8 厘米；
④ 用直尺量出容器的高是 10 厘米；
⑤ 在容器里注入一定量的水，量出水面高度为 5 厘米；
⑥ 将砚台完全浸入水中（水未溢出），量出水面高度为 8 厘米。
根据信息，你能用不同的方法求出这块砚台的体积吗？（π取 3）
① 天平称出这块砚台的质量是 1.44 千克；
② 天平称出 1 立方分米砚台材料质量为 2.5 千克；
③ 测量一个圆柱形玻璃容器的底面半径是 8 厘米；
④ 用直尺量出容器的高是 10 厘米；
⑤ 在容器里注入一定量的水，量出水面高度为 5 厘米；
⑥ 将砚台完全浸入水中（水未溢出），量出水面高度为 8 厘米。
根据信息，你能用不同的方法求出这块砚台的体积吗？（π取 3）
答案：4. 1.44÷2.5 = 0.576(立方分米)=576 立方厘米
或 3×8²×(8 - 5)=576(立方厘米)
提示: 第一种方法, 根据信息①②, 利用质量和体积的关系, 1 立方分米砚台材料质量为 2.5 千克, 这块砚台的质量是 1.44 千克, 用除法求出这块砚台的体积是 1.44÷2.5 = 0.576(立方分米)=576 立方厘米。第二种方法, 根据信息③④⑤⑥, 利用排水法进行计算。把这块砚台完全浸入有水的圆柱形玻璃容器中(水未溢出), 上升部分水的体积就等于这块砚台的体积。这块砚台的体积是 3×8²×(8 - 5)=576(立方厘米)。
或 3×8²×(8 - 5)=576(立方厘米)
提示: 第一种方法, 根据信息①②, 利用质量和体积的关系, 1 立方分米砚台材料质量为 2.5 千克, 这块砚台的质量是 1.44 千克, 用除法求出这块砚台的体积是 1.44÷2.5 = 0.576(立方分米)=576 立方厘米。第二种方法, 根据信息③④⑤⑥, 利用排水法进行计算。把这块砚台完全浸入有水的圆柱形玻璃容器中(水未溢出), 上升部分水的体积就等于这块砚台的体积。这块砚台的体积是 3×8²×(8 - 5)=576(立方厘米)。
5. 如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体，这三个长方体的表面积之比是 3：4：5 时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比。
答案：5. 设正方体的棱长为 1
1×1×6 + 1×1×4 = 10
10×$\frac{3}{3 + 4 + 5}$ = $\frac{5}{2}$ ($\frac{5}{2}$ - 1×1×2)÷4÷1 = $\frac{1}{8}$
10×$\frac{4}{3 + 4 + 5}$ = $\frac{10}{3}$ ($\frac{10}{3}$ - 1×1×2)÷4÷1 = $\frac{1}{3}$
10×$\frac{5}{3 + 4 + 5}$ = $\frac{25}{6}$ ($\frac{25}{6}$ - 1×1×2)÷4÷1 = $\frac{13}{24}$
$\frac{1}{8}$:$\frac{1}{3}$:$\frac{13}{24}$ = 3:8:13
提示: 设正方体的棱长为 1, 则正方体切成 3 个长方体后的总表面积为 1×1×6 + 1×1×4 = 10, 又因为这三个长方体的表面积之比为 3:4:5, 所以表面积分别为 10×$\frac{3}{3 + 4 + 5}$ = $\frac{5}{2}$, 10×$\frac{4}{3 + 4 + 5}$ = $\frac{10}{3}$, 10×$\frac{5}{3 + 4 + 5}$ = $\frac{25}{6}$, 表面积最小的长方体上、下底面的面积均为 1×1 = 1, 前、后、左、右四个面为面积相等的长方形, 且长方形的长为 1, 故可求得长方形的宽, 即长方体的高为 ($\frac{5}{2}$ - 1×1×2)÷4÷1 = $\frac{1}{8}$, 同理可求得其他两个长方体的高分别为 ($\frac{10}{3}$ - 1×1×2)÷4÷1 = $\frac{1}{3}$, ($\frac{25}{6}$ - 1×1×2)÷4÷1 = $\frac{13}{24}$。因为三个长方体的底面积相等, 故体积之比等于高之比, 即 $\frac{1}{8}$:$\frac{1}{3}$:$\frac{13}{24}$ = 3:8:13。
1×1×6 + 1×1×4 = 10
10×$\frac{3}{3 + 4 + 5}$ = $\frac{5}{2}$ ($\frac{5}{2}$ - 1×1×2)÷4÷1 = $\frac{1}{8}$
10×$\frac{4}{3 + 4 + 5}$ = $\frac{10}{3}$ ($\frac{10}{3}$ - 1×1×2)÷4÷1 = $\frac{1}{3}$
10×$\frac{5}{3 + 4 + 5}$ = $\frac{25}{6}$ ($\frac{25}{6}$ - 1×1×2)÷4÷1 = $\frac{13}{24}$
$\frac{1}{8}$:$\frac{1}{3}$:$\frac{13}{24}$ = 3:8:13
提示: 设正方体的棱长为 1, 则正方体切成 3 个长方体后的总表面积为 1×1×6 + 1×1×4 = 10, 又因为这三个长方体的表面积之比为 3:4:5, 所以表面积分别为 10×$\frac{3}{3 + 4 + 5}$ = $\frac{5}{2}$, 10×$\frac{4}{3 + 4 + 5}$ = $\frac{10}{3}$, 10×$\frac{5}{3 + 4 + 5}$ = $\frac{25}{6}$, 表面积最小的长方体上、下底面的面积均为 1×1 = 1, 前、后、左、右四个面为面积相等的长方形, 且长方形的长为 1, 故可求得长方形的宽, 即长方体的高为 ($\frac{5}{2}$ - 1×1×2)÷4÷1 = $\frac{1}{8}$, 同理可求得其他两个长方体的高分别为 ($\frac{10}{3}$ - 1×1×2)÷4÷1 = $\frac{1}{3}$, ($\frac{25}{6}$ - 1×1×2)÷4÷1 = $\frac{13}{24}$。因为三个长方体的底面积相等, 故体积之比等于高之比, 即 $\frac{1}{8}$:$\frac{1}{3}$:$\frac{13}{24}$ = 3:8:13。
6. 知识迁移 乐乐在探索直角三角形三边的关系时发现：直角三角形两条直角边的平方和等于第三边的平方，例如：如图①，AB² + BC² = 9 + 16 = 25 = AC²，所以 AC = 5。
如果直角三角形 ABC 中，∠ABC = 90°，AB = 12，BC = 5，回答下面的问题。
(1)若以 AC 为边向外作正方形(如图②)，则正方形的面积是(
(2)若分别以 AB、BC、AC 为边向外作半圆(如图③)，三个半圆的面积之和是(
(3)如图④，请求出涂色部分的面积。
如果直角三角形 ABC 中，∠ABC = 90°，AB = 12，BC = 5，回答下面的问题。
(1)若以 AC 为边向外作正方形(如图②)，则正方形的面积是(
169
)。(2)若分别以 AB、BC、AC 为边向外作半圆(如图③)，三个半圆的面积之和是(
132.665
)。(3)如图④，请求出涂色部分的面积。
答案：6. (1)169
提示: 由题图可知, 正方形的面积 = AC² = AB² + BC² = 12² + 5² = 169。
(2)132.665
提示: 由题图可知, 三个半圆的面积之和 = $\frac{1}{2}$×3.14×[(12÷2)² + (5÷2)² + (13÷2)²] = 132.665。
(3)$\frac{1}{2}$×12×5 = 30
提示: 由题图可知, 涂色部分的面积 = 三角形的面积 + 两个小半圆的面积 - 大半圆的面积。又因为两个小半圆的面积 = 大半圆的面积, 所以涂色部分的面积 = 三角形的面积 = $\frac{1}{2}$×12×5 = 30。
提示: 由题图可知, 正方形的面积 = AC² = AB² + BC² = 12² + 5² = 169。
(2)132.665
提示: 由题图可知, 三个半圆的面积之和 = $\frac{1}{2}$×3.14×[(12÷2)² + (5÷2)² + (13÷2)²] = 132.665。
(3)$\frac{1}{2}$×12×5 = 30
提示: 由题图可知, 涂色部分的面积 = 三角形的面积 + 两个小半圆的面积 - 大半圆的面积。又因为两个小半圆的面积 = 大半圆的面积, 所以涂色部分的面积 = 三角形的面积 = $\frac{1}{2}$×12×5 = 30。
强基直通车 如图①，有这样一个长方形 ABCD，BC = 6 厘米，AB = 10 厘米。已知对角线 AC、BD 相交于点 O。如果图①中的涂色部分以 CD 所在的直线为轴旋转一周，那么涂色部分扫出的立体图形（图②）的体积是多少立方厘米？
答案：强基直通车
设三角形 BOC 以 CD 所在的直线为轴旋转一周所得到的立体图形的体积是 V₁ 立方厘米, 则 V₁ = $\frac{1}{3}$×6²×10×π - 2×$\frac{1}{3}$×3²×5×π = 90π(立方厘米), 则涂色部分扫出的立体图形的体积 V = 2V₁ = 180π = 565.2(立方厘米)。
提示: 涂色部分扫出的立体图形是由两个完全一样的三角形 BOC 和三角形 AOD 以 CD 所在的直线为轴旋转一周后形成的, 不妨先求出其中一个三角形 BOC 以 CD 所在的直线为轴旋转一周所得到的立体图形的体积。计算时用三角形 BCD 以 CD 所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积减去三角形 COD 以 CD 所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积, 最后再乘 2 即可。
设三角形 BOC 以 CD 所在的直线为轴旋转一周所得到的立体图形的体积是 V₁ 立方厘米, 则 V₁ = $\frac{1}{3}$×6²×10×π - 2×$\frac{1}{3}$×3²×5×π = 90π(立方厘米), 则涂色部分扫出的立体图形的体积 V = 2V₁ = 180π = 565.2(立方厘米)。
提示: 涂色部分扫出的立体图形是由两个完全一样的三角形 BOC 和三角形 AOD 以 CD 所在的直线为轴旋转一周后形成的, 不妨先求出其中一个三角形 BOC 以 CD 所在的直线为轴旋转一周所得到的立体图形的体积。计算时用三角形 BCD 以 CD 所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积减去三角形 COD 以 CD 所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积, 最后再乘 2 即可。