1. 如图，有一个圆柱形滚筒刷，滚筒刷的底面直径是 6 厘米，高是 2 分米，它的手柄的底面直径是 3 厘米，高是 18 厘米。这个滚筒刷滚动 10 圈刷过的墙面面积是多少平方厘米？
答案：2分米=20厘米
3.14×6×20×10=3768(平方厘米)
3.14×6×20×10=3768(平方厘米)
2. (生活应用)工厂开展促销活动，准备加工 800 只高 22 厘米、底面直径为 8 厘米的圆柱形玻璃杯的防烫外套(有底)作为小礼品，防烫外套距离杯口 8 厘米。加工这些玻璃杯防烫外套至少需要多少平方米的防烫布料？(每只玻璃杯防烫外套的接头处耗损 10 平方厘米)
答案：[3.14×8×(22 - 8)+3.14×(8÷2)²+10]×800=329536(平方厘米)
329536平方厘米=32.9536平方米
329536平方厘米=32.9536平方米
3. 古希腊数学家阿基米德是历史上杰出的数学家之一，在他的数学发现中，有一个重要的定理是“圆柱容球定理”。如图，一个球正好放在圆柱形玻璃容器中，球的直径与圆柱的底面直径和高都相等，此时球的体积是圆柱体积的 $\frac{2}{3}$，那么球的体积是(
113.04
)$\mathrm{cm}^3$。答案：3. 113.04
解析：
圆柱底面半径：$6÷2 = 3\,\mathrm{cm}$
圆柱体积：$\pi×3^2×6=54\pi\,\mathrm{cm}^3$
球的体积：$54\pi×\frac{2}{3}=36\pi$
$36×3.14 = 113.04\,\mathrm{cm}^3$
113.04
圆柱体积：$\pi×3^2×6=54\pi\,\mathrm{cm}^3$
球的体积：$54\pi×\frac{2}{3}=36\pi$
$36×3.14 = 113.04\,\mathrm{cm}^3$
113.04
4. (生活体验)如图，一个沙漏由两个相同的圆锥组成，每个圆锥的底面半径是 6 厘米，高是 10 厘米。沙漏里的沙子正好可以填满一个圆锥。沙漏里沙子的体积是多少立方厘米？如果每分钟漏掉 20 立方厘米的沙子，那么沙漏里的沙子从一头漏到另一头要多少分钟？
答案：$\frac{1}{3}$×3.14×6²×10=376.8(立方厘米)
376.8÷20=18.84(分)
376.8÷20=18.84(分)
(1) 如果一个圆柱和一个圆锥的底面周长的比是 $2:3$，高的比是 $1:3$，那么圆柱与圆锥的体积之比是(
A.$2:9$
B.$4:27$
C.$4:9$
D.$2:27$
C
)。A.$2:9$
B.$4:27$
C.$4:9$
D.$2:27$
答案：5. (1)C
解析：
设圆柱底面半径为$r_1$，圆锥底面半径为$r_2$，圆柱高为$h_1$，圆锥高为$h_2$。
底面周长比$\frac{2\pi r_1}{2\pi r_2}=\frac{r_1}{r_2}=\frac{2}{3}$，则$r_1=\frac{2}{3}r_2$。
高的比$\frac{h_1}{h_2}=\frac{1}{3}$，则$h_1=\frac{1}{3}h_2$。
圆柱体积$V_1=\pi r_1^2 h_1=\pi (\frac{2}{3}r_2)^2 · \frac{1}{3}h_2=\pi · \frac{4}{9}r_2^2 · \frac{1}{3}h_2=\frac{4}{27}\pi r_2^2 h_2$。
圆锥体积$V_2=\frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2$。
体积比$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{27}\pi r_2^2 h_2}{\frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2}=\frac{4}{9}$。
C
底面周长比$\frac{2\pi r_1}{2\pi r_2}=\frac{r_1}{r_2}=\frac{2}{3}$，则$r_1=\frac{2}{3}r_2$。
高的比$\frac{h_1}{h_2}=\frac{1}{3}$，则$h_1=\frac{1}{3}h_2$。
圆柱体积$V_1=\pi r_1^2 h_1=\pi (\frac{2}{3}r_2)^2 · \frac{1}{3}h_2=\pi · \frac{4}{9}r_2^2 · \frac{1}{3}h_2=\frac{4}{27}\pi r_2^2 h_2$。
圆锥体积$V_2=\frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2$。
体积比$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{27}\pi r_2^2 h_2}{\frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2}=\frac{4}{9}$。
C
(2) 小齐用卷笔刀削铅笔，把铅笔的尖端削成圆锥形，削后铅笔的圆柱部分的长度是圆锥部分长度的 9 倍，那么圆锥部分的体积是削后铅笔体积的(
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{9}$
C.$\frac{1}{27}$
D.$\frac{1}{28}$
D
)。A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{9}$
C.$\frac{1}{27}$
D.$\frac{1}{28}$
答案：5. (2)D
解析：
设圆锥部分的高为$h$，则圆柱部分的高为$9h$，圆锥和圆柱的底面积均为$S$。
圆锥体积：$\frac{1}{3}Sh$
圆柱体积：$S×9h = 9Sh$
削后铅笔体积：$\frac{1}{3}Sh+9Sh=\frac{28}{3}Sh$
圆锥部分体积占比：$\frac{\frac{1}{3}Sh}{\frac{28}{3}Sh}=\frac{1}{28}$
D
圆锥体积：$\frac{1}{3}Sh$
圆柱体积：$S×9h = 9Sh$
削后铅笔体积：$\frac{1}{3}Sh+9Sh=\frac{28}{3}Sh$
圆锥部分体积占比：$\frac{\frac{1}{3}Sh}{\frac{28}{3}Sh}=\frac{1}{28}$
D
6. 将一个圆锥从顶点沿高切开，其表面积比原来增加了 $60\ \mathrm{cm}^2$。若圆锥的高是 $6\ \mathrm{cm}$，则圆锥的体积是(
157
)$\mathrm{cm}^3$。答案：6. 157
解析：
将圆锥从顶点沿高切开，增加的表面积是两个以圆锥底面直径为底、圆锥高为高的三角形面积。
每个三角形面积：$60÷2 = 30\ \mathrm{cm}^2$
三角形面积公式：$\frac{1}{2}× 底× 高 = 30$，高为圆锥的高$6\ \mathrm{cm}$，则底面直径为：$底 = 30×2÷6 = 10\ \mathrm{cm}$，半径$r = 10÷2 = 5\ \mathrm{cm}$
圆锥体积公式：$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$，代入$r = 5\ \mathrm{cm}$，$h = 6\ \mathrm{cm}$，$\pi\approx3.14$
$V=\frac{1}{3}×3.14×5^2×6 = \frac{1}{3}×3.14×25×6 = 3.14×50 = 157\ \mathrm{cm}^3$
157
每个三角形面积：$60÷2 = 30\ \mathrm{cm}^2$
三角形面积公式：$\frac{1}{2}× 底× 高 = 30$，高为圆锥的高$6\ \mathrm{cm}$，则底面直径为：$底 = 30×2÷6 = 10\ \mathrm{cm}$，半径$r = 10÷2 = 5\ \mathrm{cm}$
圆锥体积公式：$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$，代入$r = 5\ \mathrm{cm}$，$h = 6\ \mathrm{cm}$，$\pi\approx3.14$
$V=\frac{1}{3}×3.14×5^2×6 = \frac{1}{3}×3.14×25×6 = 3.14×50 = 157\ \mathrm{cm}^3$
157
7. 若把一个圆柱平行于底面切去 2 厘米厚，则表面积减少了 50.24 平方厘米，体积变成原来的 $\frac{4}{5}$。如果将这个圆柱切成一个最大的圆锥，那么圆锥的体积约是(
167.5
)立方厘米。(结果保留一位小数)答案：7. 167.5
解析：
设圆柱底面半径为$r$厘米，高为$h$厘米。
表面积减少的部分为切去部分的侧面积，即$2\pi r×2 = 50.24$，解得$r = \frac{50.24}{4\pi} = 4$厘米。
体积变成原来的$\frac{4}{5}$，则$\pi r^2(h - 2) = \frac{4}{5}\pi r^2h$，解得$h = 10$厘米。
圆柱体积为$\pi r^2h = \pi×4^2×10 = 160\pi$立方厘米，最大圆锥体积为$\frac{1}{3}×160\pi \approx 167.5$立方厘米。
167.5
表面积减少的部分为切去部分的侧面积，即$2\pi r×2 = 50.24$，解得$r = \frac{50.24}{4\pi} = 4$厘米。
体积变成原来的$\frac{4}{5}$，则$\pi r^2(h - 2) = \frac{4}{5}\pi r^2h$，解得$h = 10$厘米。
圆柱体积为$\pi r^2h = \pi×4^2×10 = 160\pi$立方厘米，最大圆锥体积为$\frac{1}{3}×160\pi \approx 167.5$立方厘米。
167.5