3. 关于下面四个图形的体积之间的关系，下面的选项中，正确的是(
① $ V_{\mathrm{甲}} = V_{\mathrm{乙}} × 3 $ ② $ V_{\mathrm{乙}} = V_{\mathrm{丙}} $ ③ $ V_{\mathrm{乙}} = V_{\mathrm{丁}} × 2 $ ④ $ V_{\mathrm{甲}} = V_{\mathrm{丁}} × 12 $
A.①③
B.①②③
C.③④
D.①②④
D
)。① $ V_{\mathrm{甲}} = V_{\mathrm{乙}} × 3 $ ② $ V_{\mathrm{乙}} = V_{\mathrm{丙}} $ ③ $ V_{\mathrm{乙}} = V_{\mathrm{丁}} × 2 $ ④ $ V_{\mathrm{甲}} = V_{\mathrm{丁}} × 12 $
A.①③
B.①②③
C.③④
D.①②④
答案：3.D
解析：
设圆柱和圆锥的底面积为$S$，高为$h$。圆柱体积$V_{\mathrm{圆柱}}=Sh$，圆锥体积$V_{\mathrm{圆锥}}=\frac{1}{3}Sh$。
甲（圆柱）：$r=5$，$h=20$，$V_{\mathrm{甲}}=\pi×5^{2}×20 = 500\pi$。
乙（圆锥）：$r=5$，$h=20$，$V_{\mathrm{乙}}=\frac{1}{3}\pi×5^{2}×20=\frac{500}{3}\pi$，则$V_{\mathrm{甲}}=3V_{\mathrm{乙}}$，①正确。
丙（两个圆锥）：上下圆锥等底等高，总高20，单个圆锥高10，$V_{\mathrm{丙}}=2×\frac{1}{3}\pi×5^{2}×10=\frac{500}{3}\pi$，故$V_{\mathrm{乙}}=V_{\mathrm{丙}}$，②正确。
丁（圆锥）：$r=\frac{5}{2}$，$h=20$，$V_{\mathrm{丁}}=\frac{1}{3}\pi×(\frac{5}{2})^{2}×20=\frac{125}{3}\pi$，$V_{\mathrm{乙}}=4V_{\mathrm{丁}}$，③错误；$V_{\mathrm{甲}}=12V_{\mathrm{丁}}$，④正确。
结论：①②④正确，选D。
甲（圆柱）：$r=5$，$h=20$，$V_{\mathrm{甲}}=\pi×5^{2}×20 = 500\pi$。
乙（圆锥）：$r=5$，$h=20$，$V_{\mathrm{乙}}=\frac{1}{3}\pi×5^{2}×20=\frac{500}{3}\pi$，则$V_{\mathrm{甲}}=3V_{\mathrm{乙}}$，①正确。
丙（两个圆锥）：上下圆锥等底等高，总高20，单个圆锥高10，$V_{\mathrm{丙}}=2×\frac{1}{3}\pi×5^{2}×10=\frac{500}{3}\pi$，故$V_{\mathrm{乙}}=V_{\mathrm{丙}}$，②正确。
丁（圆锥）：$r=\frac{5}{2}$，$h=20$，$V_{\mathrm{丁}}=\frac{1}{3}\pi×(\frac{5}{2})^{2}×20=\frac{125}{3}\pi$，$V_{\mathrm{乙}}=4V_{\mathrm{丁}}$，③错误；$V_{\mathrm{甲}}=12V_{\mathrm{丁}}$，④正确。
结论：①②④正确，选D。
4. 将右图的直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周，得到的立体图形的体积是(
A.$ 144\pi \mathrm{ cm}^3 $
B.$ 128\pi \mathrm{ cm}^3 $
C.$ 76.8\pi \mathrm{ cm}^3 $
D.无法计算
C
)。A.$ 144\pi \mathrm{ cm}^3 $
B.$ 128\pi \mathrm{ cm}^3 $
C.$ 76.8\pi \mathrm{ cm}^3 $
D.无法计算
答案：4.C 解析：将所求立体图形的体积转化为两个圆锥的体积和，两个圆锥的底面半径均是6×8÷2×2÷10=4.8(cm)，高之和是10cm，则得到的立体图形的体积是$π×4.8^2×10×\frac{1}{3}=76.8π(cm^3)。$
1. 新趋势 开放探究 仁和小区新建了一个圆柱形花坛(如图)。
① 花坛内部的底面直径为4米。 ② 花坛壁厚为0.25米。
③ 花坛内部底面周长为12.56米。 ④ 花坛内部高度为0.6米。
⑤ 每立方米的土的质量约为1.5吨。 ⑥ 花坛外部高度为1米。
(1)如果要在花坛中填满土，要知道花坛中需要用多少吨的土，需要的数据有(
(2)如果想要在花坛外侧侧面抹水泥，要知道抹水泥的面积是多少平方米，需要的数据有(
① 花坛内部的底面直径为4米。 ② 花坛壁厚为0.25米。
③ 花坛内部底面周长为12.56米。 ④ 花坛内部高度为0.6米。
⑤ 每立方米的土的质量约为1.5吨。 ⑥ 花坛外部高度为1米。
(1)如果要在花坛中填满土，要知道花坛中需要用多少吨的土，需要的数据有(
①④⑤
)(填序号)。请计算解答。(2)如果想要在花坛外侧侧面抹水泥，要知道抹水泥的面积是多少平方米，需要的数据有(
①②⑥
)(填序号)。请计算解答。答案：1.答案不唯一，如(1)①④⑤ 4÷2=2(米)
$3.14×2^2×0.6×1.5=11.304($吨)(2)①②⑥
4+0.25×2=4.5(米) 3.14×4.5×1=14.13(平方米)
$3.14×2^2×0.6×1.5=11.304($吨)(2)①②⑥
4+0.25×2=4.5(米) 3.14×4.5×1=14.13(平方米)
2. 新素养 模型意识 一个圆柱的底面直径是4厘米，高是5厘米，把它浸没在一个盛有水的圆柱形玻璃缸中，量得水面上升了2厘米；再把一个底面直径为6厘米的圆锥浸没在水中，量得水面又上升了4.5厘米（没有水溢出）。圆锥的高是多少厘米？
答案：$2.3.14×(4÷2)^2×5÷2=31.4($平方厘米)
31.4×4.5=141.3(立方厘米$) 141.3×3÷[3.14×(6÷2)^2]=15($厘米) 解析：根据题意，圆柱浸没在盛有水的玻璃缸中，水面上升了2厘米，可以求出这个圆柱形玻璃缸的底面积。这样当圆锥浸没在水中时，水面上升了4.5厘米，可以求出这个圆锥的体积，进而求出圆锥的高。
31.4×4.5=141.3(立方厘米$) 141.3×3÷[3.14×(6÷2)^2]=15($厘米) 解析：根据题意，圆柱浸没在盛有水的玻璃缸中，水面上升了2厘米，可以求出这个圆柱形玻璃缸的底面积。这样当圆锥浸没在水中时，水面上升了4.5厘米，可以求出这个圆锥的体积，进而求出圆锥的高。