12. 已知$P=\dfrac{77^7}{7^{77}}$,$Q=\dfrac{11^7}{7^{70}}$,求证:$P = Q$.
答案：12.
∵P=$\frac{77⁷}{7⁷⁷}$=$\frac{(7×11)⁷}{7⁷⁷}$=$\frac{7⁷×11⁷}{7⁷⁰×7⁷}$=$\frac{11⁷}{7⁷⁰}$,Q=$\frac{11⁷}{7⁷⁰}$,
∴P = Q
∵P=$\frac{77⁷}{7⁷⁷}$=$\frac{(7×11)⁷}{7⁷⁷}$=$\frac{7⁷×11⁷}{7⁷⁰×7⁷}$=$\frac{11⁷}{7⁷⁰}$,Q=$\frac{11⁷}{7⁷⁰}$,
∴P = Q
13. 定义一种幂的新运算:$x^a\oplus x^b=x^{ab}+x^{a + b}$,等式右侧为通常的混合运算,请利用这种运算规则解决下列问题:
(1)求$2^2\oplus 2^3$的值;
(2)若$2^p = 3$,$2^q = 5$,$3^q = 7$,求$2^p\oplus 2^q$的值;
(3)若$9\oplus 9^t$的运算结果为$810$,则$t$的值是多少?
(1)求$2^2\oplus 2^3$的值;
(2)若$2^p = 3$,$2^q = 5$,$3^q = 7$,求$2^p\oplus 2^q$的值;
(3)若$9\oplus 9^t$的运算结果为$810$,则$t$的值是多少?
答案：13.(1)
∵xᵃ⊕xᵇ=xᵃᵇ + xᵃ⁺ᵇ,
∴2²⊕2³=2²×³ + 2²⁺³=2⁶ + 2⁵=64 + 32=96
(2)
∵2ᵖ=3,3ᵠ=7,
∴(2ᵖ)ᵠ=3ᵠ,
∴2ᵖᵠ=7,
∴2ᵖ⊕2²ᵠ=2ᵖᵠ + 2ᵖ⁺ᵠ=7 + 3×5=7 + 15=22
(3)9⊕9ᵗ=9¹·ᵗ + 9¹⁺ᵗ=9ᵗ + 9×9ᵗ=10×9ᵗ.
∵9⊕9ᵗ=810,
∴10×9ᵗ=810,
∴9ᵗ=81,
∴t = 2
∵xᵃ⊕xᵇ=xᵃᵇ + xᵃ⁺ᵇ,
∴2²⊕2³=2²×³ + 2²⁺³=2⁶ + 2⁵=64 + 32=96
(2)
∵2ᵖ=3,3ᵠ=7,
∴(2ᵖ)ᵠ=3ᵠ,
∴2ᵖᵠ=7,
∴2ᵖ⊕2²ᵠ=2ᵖᵠ + 2ᵖ⁺ᵠ=7 + 3×5=7 + 15=22
(3)9⊕9ᵗ=9¹·ᵗ + 9¹⁺ᵗ=9ᵗ + 9×9ᵗ=10×9ᵗ.
∵9⊕9ᵗ=810,
∴10×9ᵗ=810,
∴9ᵗ=81,
∴t = 2
14. (新考法·新定义题)规定两数$a$,$b$之间的一种运算,记作$(a,b)$:如果$a^c = b$,那么$(a,b)=c$.例如:因为$2^3 = 8$,所以$(2,8)=3$.
(1)根据上述规定,填空:$(5,25)=$,$(2,1)=$,$(3,$$)=-2$.
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征:$(3^n,4^n)=(3,4)$,并作出如下的证明:
设$(3^n,4^n)=x$,则$(3^n)^x = 4^n$,即$(3^x)^n = 4^n$.
所以$3^x = 4$,即$(3,4)=x$,所以$(3^n,4^n)=(3,4)$.
试解决下列问题:
①$(4,100)=(2,$$)$;
②计算:$(8,1000)-(32,100000)$;
③请你尝试运用这种方法证明下面这个等式:$(3,2)+(3,5)=(3,10)$.
(1)根据上述规定,填空:$(5,25)=$,$(2,1)=$,$(3,$$)=-2$.
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征:$(3^n,4^n)=(3,4)$,并作出如下的证明:
设$(3^n,4^n)=x$,则$(3^n)^x = 4^n$,即$(3^x)^n = 4^n$.
所以$3^x = 4$,即$(3,4)=x$,所以$(3^n,4^n)=(3,4)$.
试解决下列问题:
①$(4,100)=(2,$$)$;
②计算:$(8,1000)-(32,100000)$;
③请你尝试运用这种方法证明下面这个等式:$(3,2)+(3,5)=(3,10)$.
答案：14.(1)2 0 $\frac{1}{9}$
(2)①10 解析:
∵(4,100)=(2²,10²),
∴(4,100)=(2,10).
②由推理过程,得(8,1000)=(2³,10³)=(2,10),(32,100000)=(2⁵,10⁵)=(2,10),
∴原式=(2,10)-(2,10)=0
③设(3,2)=a,(3,5)=b,(3,10)=c,则3ᵃ=2,3ᵇ=5,3ᶜ=10.
∵2×5=10,
∴3ᵃ×3ᵇ=3ᶜ,即3ᵃ⁺ᵇ=3ᶜ,
∴a + b = c,
∴(3,2)+(3,5)=(3,10)
(2)①10 解析:
∵(4,100)=(2²,10²),
∴(4,100)=(2,10).
②由推理过程,得(8,1000)=(2³,10³)=(2,10),(32,100000)=(2⁵,10⁵)=(2,10),
∴原式=(2,10)-(2,10)=0
③设(3,2)=a,(3,5)=b,(3,10)=c,则3ᵃ=2,3ᵇ=5,3ᶜ=10.
∵2×5=10,
∴3ᵃ×3ᵇ=3ᶜ,即3ᵃ⁺ᵇ=3ᶜ,
∴a + b = c,
∴(3,2)+(3,5)=(3,10)