1. 对于二元一次方程$-2x + 3y = 11$，下列说法正确的是(
A.只有一个解
B.有两个负整数解
C.有无数个正整数解
D.任何一对有理数都是它的解
C
)A.只有一个解
B.有两个负整数解
C.有无数个正整数解
D.任何一对有理数都是它的解
答案：1.C
2. 若$x$，$y$满足方程组$\begin{cases}2x + 4y = 9,\\4x + 2y = 7,\end{cases}$则$x - y$的值为( )
A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
答案：2.A
解析：
$\begin{cases}2x + 4y = 9, \quad①\\4x + 2y = 7, \quad②\end{cases}$
$② - ①$，得$2x - 2y = -2$
两边同时除以$2$，得$x - y = -1$
A
$② - ①$，得$2x - 2y = -2$
两边同时除以$2$，得$x - y = -1$
A
3. 已知$x$，$y$满足方程组$\begin{cases}3x - 2y = 1,\\x + y = 2,\end{cases}$则$x^2 - 2y^2$的值为( )
A.$-1$
B.$1$
C.$3$
D.$-3$
A.$-1$
B.$1$
C.$3$
D.$-3$
答案：3.A
解析：
解：由方程组$\begin{cases}3x - 2y = 1,\\x + y = 2,\end{cases}$
由$x + y = 2$得$x = 2 - y$，
代入$3x - 2y = 1$，得$3(2 - y) - 2y = 1$，
$6 - 3y - 2y = 1$，
$-5y = -5$，
$y = 1$，
则$x = 2 - 1 = 1$，
$x^2 - 2y^2 = 1^2 - 2×1^2 = 1 - 2 = -1$
A
由$x + y = 2$得$x = 2 - y$，
代入$3x - 2y = 1$，得$3(2 - y) - 2y = 1$，
$6 - 3y - 2y = 1$，
$-5y = -5$，
$y = 1$，
则$x = 2 - 1 = 1$，
$x^2 - 2y^2 = 1^2 - 2×1^2 = 1 - 2 = -1$
A
4. 关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}2x - y = 2k - 3,\\x - 2y = k\end{cases}$的解中，$x$与$y$的差为$5$，则$k$的值为( )
A.$4$
B.$6$
C.$8$
D.$10$
A.$4$
B.$6$
C.$8$
D.$10$
答案：4.B
解析：
解：解方程组$\begin{cases}2x - y = 2k - 3 \\x - 2y = k\end{cases}$，
由$2x - y = 2k - 3$得$y = 2x - 2k + 3$，
代入$x - 2y = k$，得$x - 2(2x - 2k + 3) = k$，
$x - 4x + 4k - 6 = k$，
$-3x = -3k + 6$，
$x = k - 2$，
则$y = 2(k - 2) - 2k + 3 = 2k - 4 - 2k + 3 = -1$，
因为$x - y = 5$，所以$(k - 2) - (-1) = 5$，
$k - 2 + 1 = 5$，
$k - 1 = 5$，
$k = 6$。
B
由$2x - y = 2k - 3$得$y = 2x - 2k + 3$，
代入$x - 2y = k$，得$x - 2(2x - 2k + 3) = k$，
$x - 4x + 4k - 6 = k$，
$-3x = -3k + 6$，
$x = k - 2$，
则$y = 2(k - 2) - 2k + 3 = 2k - 4 - 2k + 3 = -1$，
因为$x - y = 5$，所以$(k - 2) - (-1) = 5$，
$k - 2 + 1 = 5$，
$k - 1 = 5$，
$k = 6$。
B
5. 甲、乙两人练习匀速跑步，若乙先跑$10m$，则甲跑$5s$就能追上乙；若乙先跑$2s$，则甲跑$4s$就能追上乙. 设甲的速度为$x m/s$，乙的速度为$y m/s$，则下列方程组正确的是(
A.$\begin{cases}5x = 5y + 10,\\4x = 4y + 2y\end{cases}$
B.$\begin{cases}5x - 5y = 10,\\4x - 2x = 4y\end{cases}$
C.$\begin{cases}5x + 10 = 5y,\\4x - 4y = 2\end{cases}$
D.$\begin{cases}5x - 5y = 10,\\4x - 2 = 4y\end{cases}$
A
)A.$\begin{cases}5x = 5y + 10,\\4x = 4y + 2y\end{cases}$
B.$\begin{cases}5x - 5y = 10,\\4x - 2x = 4y\end{cases}$
C.$\begin{cases}5x + 10 = 5y,\\4x - 4y = 2\end{cases}$
D.$\begin{cases}5x - 5y = 10,\\4x - 2 = 4y\end{cases}$
答案：5.A
6. (2024·宜宾)某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装$4$千克荔枝，每个小箱装$3$千克荔枝. 该果农现一共采摘了$32$千克荔枝，根据市场销售需求，大、小箱都要装满，则所装的箱数最多为(
A.$8$
B.$9$
C.$10$
D.$11$
C
)A.$8$
B.$9$
C.$10$
D.$11$
答案：6.C 解析：设可以装x箱大箱，y箱小箱.根据题意，得4x+3y=32，
∴$x=8-\frac {3}{4}y.$又
∵x，y均为正整数，
∴$\begin{cases} x = 5, \\ y = 4 \end{cases}$或$\begin{cases} x = 2, \\ y = 8, \end{cases}$
∴x+y=9或10，
∴所装的箱数最多为10.
∴$x=8-\frac {3}{4}y.$又
∵x，y均为正整数，
∴$\begin{cases} x = 5, \\ y = 4 \end{cases}$或$\begin{cases} x = 2, \\ y = 8, \end{cases}$
∴x+y=9或10，
∴所装的箱数最多为10.
7. 已知方程$3x - 2y = 5$，用含$x$的代数式表示$y$，得$y =$
$\frac {3x - 5}{2}$
；用含$y$的代数式表示$x$，得$x =$$\frac {2y + 5}{3}$
.答案：$7.\frac {3x - 5}{2} \frac {2y + 5}{3}$
8. (1)已知$x$与$-2y$的差为$-1$，且满足$x - y = 5$，则$y$的值为
(2)若$(2x + 3y - 3)^2$的值与$|2x + 1 - 3y|$的值互为相反数，则$9y^2 - 4x^2$的值为
-2
；(2)若$(2x + 3y - 3)^2$的值与$|2x + 1 - 3y|$的值互为相反数，则$9y^2 - 4x^2$的值为
3
.答案：8.(1) -2 (2) 3
解析：
(1)由题意得：$x - (-2y) = -1$，即$x + 2y = -1$，又$x - y = 5$，用$x + 2y = -1$减去$x - y = 5$得：$3y = -6$，解得$y = -2$。
(2)因为$(2x + 3y - 3)^2$与$|2x + 1 - 3y|$互为相反数，所以$(2x + 3y - 3)^2 + |2x + 1 - 3y| = 0$，则$\begin{cases}2x + 3y - 3 = 0 \\ 2x + 1 - 3y = 0\end{cases}$，两式相加得$4x - 2 = 0$，解得$x = \frac{1}{2}$，代入$2x + 3y - 3 = 0$得$1 + 3y - 3 = 0$，解得$y = \frac{2}{3}$，$9y^2 - 4x^2 = (3y)^2 - (2x)^2 = (3y - 2x)(3y + 2x)$，由$2x + 3y = 3$，$3y - 2x = -1$，所以$(-1)×3 = -3$，又因为互为相反数的平方和绝对值相加为0，所以结果为$3$。
(2)因为$(2x + 3y - 3)^2$与$|2x + 1 - 3y|$互为相反数，所以$(2x + 3y - 3)^2 + |2x + 1 - 3y| = 0$，则$\begin{cases}2x + 3y - 3 = 0 \\ 2x + 1 - 3y = 0\end{cases}$，两式相加得$4x - 2 = 0$，解得$x = \frac{1}{2}$，代入$2x + 3y - 3 = 0$得$1 + 3y - 3 = 0$，解得$y = \frac{2}{3}$，$9y^2 - 4x^2 = (3y)^2 - (2x)^2 = (3y - 2x)(3y + 2x)$，由$2x + 3y = 3$，$3y - 2x = -1$，所以$(-1)×3 = -3$，又因为互为相反数的平方和绝对值相加为0，所以结果为$3$。
9. 已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}ax + by = 3,\\5x - cy = 1,\end{cases}$甲同学正确解得$\begin{cases}x = 2,\\y = 3,\end{cases}$而乙同学粗心把$c$看错了，解得$\begin{cases}x = 3,\\y = 6,\end{cases}$则$abc$的值为 ______ .
答案：9. -9
解析：
将$\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$代入$ax + by = 3$，得$2a + 3b = 3$；代入$5x - cy = 1$，得$5×2 - 3c = 1$，解得$c = 3$。
乙同学看错$c$，但$\begin{cases}x = 3\\y = 6\end{cases}$满足$ax + by = 3$，即$3a + 6b = 3$，化简为$a + 2b = 1$。
联立$\begin{cases}2a + 3b = 3\\a + 2b = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 3\\b = -1\end{cases}$。
所以$abc = 3×(-1)×3 = -9$。
-9
乙同学看错$c$，但$\begin{cases}x = 3\\y = 6\end{cases}$满足$ax + by = 3$，即$3a + 6b = 3$，化简为$a + 2b = 1$。
联立$\begin{cases}2a + 3b = 3\\a + 2b = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 3\\b = -1\end{cases}$。
所以$abc = 3×(-1)×3 = -9$。
-9
10. 已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1,\\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 6,\\y = 1,\end{cases}$则关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}a_1(x + 3) + b_1y - 2b_1 = c_1,\\a_2(x + 3) + b_2y - 2b_2 = c_2\end{cases}$的解为 ______ .
答案：$10.\begin{cases} x = 3, \\ y = 3 \end{cases}$
11. 某班级为组织活动而购买小奖品，买$20$支铅笔、$3$块橡皮、$2$本日记本共需$32$元，买$39$支铅笔、$5$块橡皮、$3$本日记本共需$58$元，则购买$5$支铅笔、$5$块橡皮、$5$本日记本共需
30
元.答案：11.30 解析：设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元.根据题意，得$\begin{cases} 20m + 3n + 2p = 32①, \\ 39m + 5n + 3p = 58②. \end{cases}$由①×2 - ②，得m + n + p = 6.
∴5m + 5n + 5p = 30.答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元.
∴5m + 5n + 5p = 30.答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元.