15. (2024·福建)已知 $ a $，$ b $，$ c $，$ m $，$ n $ 满足 $ 3m + n = \frac{b}{a} $，$ mn = \frac{c}{a} $.
(1) 求证：$ b^{2} - 12ac $ 为非负数.
(2) 若 $ a $，$ b $，$ c $ 均为奇数，$ m $，$ n $ 是否可以都为整数？请说明理由.
(1) 求证：$ b^{2} - 12ac $ 为非负数.
(2) 若 $ a $，$ b $，$ c $ 均为奇数，$ m $，$ n $ 是否可以都为整数？请说明理由.
答案：15.(1)
∵$3m + n = \frac{b}{a}$，$mn = -\frac{c}{a}$，
∴$b = a(3m + n)$，$c = -amn$，
∴$b^{2} - 12ac = [a(3m + n)]^{2} - 12a^{2}(-mn) = a^{2}(9m^{2} + 6mn + n^{2}) +12a^{2}mn = a^{2}(9m^{2} + 18mn + n^{2})$. （此处原答案推导可能有误，正确推导为：$b^{2}-12ac=[a(3m + n)]^{2}-12a×(-amn)=a^{2}(9m^{2}+6mn + n^{2})+12a^{2}mn=a^{2}(9m^{2}+18mn + n^{2})$ ）
∵任意一个数的平方是非负数，
∴$a^{2}(3m + n)^{2} \geqslant 0$，
∴$b^{2} - 12ac$为非负数
(2)$m$，$n$不可以都为整数 理由：假设$m$，$n$都为整数，则可能的情况如下：①$m$，$n$都为奇数；②$m$，$n$为整数，且其中至少有一个为偶数.①当$m$，$n$都为奇数时，$3m + n$必为偶数.又
∵$b =a(3m + n)$，$a$为奇数，
∴$a(3m + n)$必为偶数，这与$b$为奇数矛盾.②当$m$，$n$为整数，且其中至少有一个为偶数时，$mn$必为偶数.又
∵$c = -amn$，$a$为奇数，
∴$-amn$必为偶数，这与$c$为奇数矛盾.综上所述，假设不成立，$m$，$n$不可以都为整数.
∵$3m + n = \frac{b}{a}$，$mn = -\frac{c}{a}$，
∴$b = a(3m + n)$，$c = -amn$，
∴$b^{2} - 12ac = [a(3m + n)]^{2} - 12a^{2}(-mn) = a^{2}(9m^{2} + 6mn + n^{2}) +12a^{2}mn = a^{2}(9m^{2} + 18mn + n^{2})$. （此处原答案推导可能有误，正确推导为：$b^{2}-12ac=[a(3m + n)]^{2}-12a×(-amn)=a^{2}(9m^{2}+6mn + n^{2})+12a^{2}mn=a^{2}(9m^{2}+18mn + n^{2})$ ）
∵任意一个数的平方是非负数，
∴$a^{2}(3m + n)^{2} \geqslant 0$，
∴$b^{2} - 12ac$为非负数
(2)$m$，$n$不可以都为整数 理由：假设$m$，$n$都为整数，则可能的情况如下：①$m$，$n$都为奇数；②$m$，$n$为整数，且其中至少有一个为偶数.①当$m$，$n$都为奇数时，$3m + n$必为偶数.又
∵$b =a(3m + n)$，$a$为奇数，
∴$a(3m + n)$必为偶数，这与$b$为奇数矛盾.②当$m$，$n$为整数，且其中至少有一个为偶数时，$mn$必为偶数.又
∵$c = -amn$，$a$为奇数，
∴$-amn$必为偶数，这与$c$为奇数矛盾.综上所述，假设不成立，$m$，$n$不可以都为整数.
16. (新考法·操作实践题)如图①，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle BAC = 100^{\circ} $，$ \angle B : \angle C = 3 : 5 $，在边 $ BC $ 上有一点 $ D $ 从点 $ B $ 向点 $ C $ 运动，运动到点 $ C $ 处停止.
(1) 当 $ \angle ADB = 90^{\circ} $ 时，求 $ \angle CAD $ 的度数.
(2) 如图②，把 $ \triangle ACD $ 沿直线 $ AD $ 翻折，点 $ C $ 的对应点为 $ M $. 若点 $ M $ 在 $ \triangle ABC $ 的内部（不包含 $ \triangle ABC $ 的边）.
① 直接写出 $ \angle CAD $ 的取值范围；
② 探索 $ \angle BDM $ 与 $ \angle BAM $ 之间的数量关系，并证明你的结论.
(3) 如图③，在点 $ D $ 从点 $ B $ 向点 $ C $ 运动的过程中，设 $ \angle BAD = \alpha^{\circ} $，同时将 $ BC $ 绕点 $ B $ 按顺时针方向旋转 $ \beta^{\circ} $（点 $ C $ 的对应点为 $ C' $），即 $ \angle CBC' = \beta^{\circ} $，且满足 $ \alpha : \beta = 2 : 3 $. 若运动过程中，$ AD $，$ BC' $ 所在直线相交于点 $ P $，当 $ \angle BPD ＜ 120^{\circ} $ 时，求 $ \alpha $ 的取值范围.
(1) 当 $ \angle ADB = 90^{\circ} $ 时，求 $ \angle CAD $ 的度数.
(2) 如图②，把 $ \triangle ACD $ 沿直线 $ AD $ 翻折，点 $ C $ 的对应点为 $ M $. 若点 $ M $ 在 $ \triangle ABC $ 的内部（不包含 $ \triangle ABC $ 的边）.
① 直接写出 $ \angle CAD $ 的取值范围；
② 探索 $ \angle BDM $ 与 $ \angle BAM $ 之间的数量关系，并证明你的结论.
(3) 如图③，在点 $ D $ 从点 $ B $ 向点 $ C $ 运动的过程中，设 $ \angle BAD = \alpha^{\circ} $，同时将 $ BC $ 绕点 $ B $ 按顺时针方向旋转 $ \beta^{\circ} $（点 $ C $ 的对应点为 $ C' $），即 $ \angle CBC' = \beta^{\circ} $，且满足 $ \alpha : \beta = 2 : 3 $. 若运动过程中，$ AD $，$ BC' $ 所在直线相交于点 $ P $，当 $ \angle BPD ＜ 120^{\circ} $ 时，求 $ \alpha $ 的取值范围.
答案：
16.(1)设$\angle B = 3k$，则$\angle C = 5k$.在$\triangle ABC$中，
∵$\angle BAC = 100^{\circ}$，$\angle BAC + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$，
∴$\angle B + \angle C = 80^{\circ}$，即$8k = 80^{\circ}$，
∴$k = 10^{\circ}$，
∴$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle C = 50^{\circ}$.
∵$\angle ADB$是$\triangle ACD$的外角，
∴$\angle ADB = \angle C + \angle CAD$.
∵$\angle ADB = 90^{\circ}$，
∴$\angle CAD =90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}$ (2)①$40^{\circ} ＜ \angle CAD ＜ 50^{\circ}$ ②$\angle BAM +\angle BDM = 20^{\circ}$ 如图①，延长$AM$交$BC$于点$N$，由翻折，可知$\angle AMD = \angle C = 50^{\circ}$，
∵$\angle AMD$是$\triangle MND$的外角，
∴$\angle AMD = \angle AND + \angle BDM$.
∵$\angle AND$是$\triangle ABN$的外角，
∴$\angle AND = \angle BAM + \angle B$，
∴$\angle AMD = \angle BAM + \angle B +\angle BDM$，
∴$\angle BAM + \angle BDM = \angle AMD - \angle B = 50^{\circ} - 30^{\circ} = 20^{\circ}$
(3)
∵$\alpha : \beta = 2 : 3$，
∴设$\alpha = 2x$，$\beta = 3x$.如图②，当射线$AD$与射线$BC'$交于点$P$时，$\angle BPD = 180^{\circ} - \angle BAD - \angle ABP =180^{\circ} - 2x^{\circ} - (3x^{\circ} + 30^{\circ}) = 150^{\circ} - 5x^{\circ}$，且$\angle BPD ＜ 120^{\circ}$，
∴$150^{\circ} - 5x^{\circ} ＜ 120^{\circ}$，
∴$x ＞ 6$，
∴$\alpha ＞ 12$.如图③，当射线$DA$与射线$C'B$交于点$P$时，$\angle ABP = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle CBC' =150^{\circ} - 3x^{\circ}$，
∵$\angle BPD = \angle BAD - \angle ABP = 2x^{\circ} - (150^{\circ} -3x^{\circ}) = 5x^{\circ} - 150^{\circ}$，且$\angle BPD ＜ 120^{\circ}$，
∴$5x^{\circ} - 150^{\circ} ＜ 120^{\circ}$，
∴$x ＜54$，
∴$\alpha ＜ 108$.当直线$AD$与直线$BC'$平行时，$\angle BAD + \angle ABC' = 180^{\circ}$，$2x^{\circ} + 3x^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$，
∴$x = 30$，
∴$\alpha = 60$.
∵$AD$，$BC'$所在直线相交于点$P$，
∴$\alpha \neq 60$.又
∵点$D$从点$B$运动到点$C$处停止，
∴$0 \leqslant \alpha \leqslant 100$，
∴$12 ＜ \alpha \leqslant 100$且$\alpha \neq 60$.
第16题
16.(1)设$\angle B = 3k$，则$\angle C = 5k$.在$\triangle ABC$中，
∵$\angle BAC = 100^{\circ}$，$\angle BAC + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$，
∴$\angle B + \angle C = 80^{\circ}$，即$8k = 80^{\circ}$，
∴$k = 10^{\circ}$，
∴$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle C = 50^{\circ}$.
∵$\angle ADB$是$\triangle ACD$的外角，
∴$\angle ADB = \angle C + \angle CAD$.
∵$\angle ADB = 90^{\circ}$，
∴$\angle CAD =90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}$ (2)①$40^{\circ} ＜ \angle CAD ＜ 50^{\circ}$ ②$\angle BAM +\angle BDM = 20^{\circ}$ 如图①，延长$AM$交$BC$于点$N$，由翻折，可知$\angle AMD = \angle C = 50^{\circ}$，
∵$\angle AMD$是$\triangle MND$的外角，
∴$\angle AMD = \angle AND + \angle BDM$.
∵$\angle AND$是$\triangle ABN$的外角，
∴$\angle AND = \angle BAM + \angle B$，
∴$\angle AMD = \angle BAM + \angle B +\angle BDM$，
∴$\angle BAM + \angle BDM = \angle AMD - \angle B = 50^{\circ} - 30^{\circ} = 20^{\circ}$
(3)
∵$\alpha : \beta = 2 : 3$，
∴设$\alpha = 2x$，$\beta = 3x$.如图②，当射线$AD$与射线$BC'$交于点$P$时，$\angle BPD = 180^{\circ} - \angle BAD - \angle ABP =180^{\circ} - 2x^{\circ} - (3x^{\circ} + 30^{\circ}) = 150^{\circ} - 5x^{\circ}$，且$\angle BPD ＜ 120^{\circ}$，
∴$150^{\circ} - 5x^{\circ} ＜ 120^{\circ}$，
∴$x ＞ 6$，
∴$\alpha ＞ 12$.如图③，当射线$DA$与射线$C'B$交于点$P$时，$\angle ABP = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle CBC' =150^{\circ} - 3x^{\circ}$，
∵$\angle BPD = \angle BAD - \angle ABP = 2x^{\circ} - (150^{\circ} -3x^{\circ}) = 5x^{\circ} - 150^{\circ}$，且$\angle BPD ＜ 120^{\circ}$，
∴$5x^{\circ} - 150^{\circ} ＜ 120^{\circ}$，
∴$x ＜54$，
∴$\alpha ＜ 108$.当直线$AD$与直线$BC'$平行时，$\angle BAD + \angle ABC' = 180^{\circ}$，$2x^{\circ} + 3x^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$，
∴$x = 30$，
∴$\alpha = 60$.
∵$AD$，$BC'$所在直线相交于点$P$，
∴$\alpha \neq 60$.又
∵点$D$从点$B$运动到点$C$处停止，
∴$0 \leqslant \alpha \leqslant 100$，
∴$12 ＜ \alpha \leqslant 100$且$\alpha \neq 60$.
第16题