12. (新考向·数学文化)对于正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如 $ 11 $，$ 343 $ 等. 有下列命题：① $ 6666 $ 是“回文数”；② 所有两位数中，有 $ 9 $ 个“回文数”；③ 所有三位数中，有 $ 90 $ 个“回文数”；④ 任意六位的“回文数”是 $ 11 $ 的倍数. 其中，真命题为
①②③④
(填序号).答案：12.①②③④ 解析：①$6666$正读倒读都一样，故$6666$是“回文数”，
∴①是真命题.②两位“回文数”为$11$，$22$，$33$，$44$，$55$，$66$，$77$，$88$，$99$，合计$9$个，
∴②是真命题.③三位“回文数”中，百位和个位上的数字是$1$的为$101$，$111$，$121$，$131$，$141$，$151$，$161$，$171$，$181$，$191$，合计$10$个.同理，百位和个位上的数字是$2$的有$10$个，依次类推，则三位“回文数”共$10 × 9 = 90$(个)，
∴③是真命题.④设任意六位“回文数”$p$的十万位、万位、千位、百位、十位、个位上的数字分别为$a$，$b$，$c$，$d$，$e$，$f$，则$p = 100000a + 10000b +1000c + 100d + 10e + f$，$a = f$，$b = e$，$c = d$，
∴$p = 100001a +10010b + 1100c = 11 × 9091a + 11 × 910b + 11 × 100c = 11 ×(9091a + 910b + 100c)$，
∴$p$是$11$的倍数，
∴④是真命题.综上所述，真命题为①②③④.
∴①是真命题.②两位“回文数”为$11$，$22$，$33$，$44$，$55$，$66$，$77$，$88$，$99$，合计$9$个，
∴②是真命题.③三位“回文数”中，百位和个位上的数字是$1$的为$101$，$111$，$121$，$131$，$141$，$151$，$161$，$171$，$181$，$191$，合计$10$个.同理，百位和个位上的数字是$2$的有$10$个，依次类推，则三位“回文数”共$10 × 9 = 90$(个)，
∴③是真命题.④设任意六位“回文数”$p$的十万位、万位、千位、百位、十位、个位上的数字分别为$a$，$b$，$c$，$d$，$e$，$f$，则$p = 100000a + 10000b +1000c + 100d + 10e + f$，$a = f$，$b = e$，$c = d$，
∴$p = 100001a +10010b + 1100c = 11 × 9091a + 11 × 910b + 11 × 100c = 11 ×(9091a + 910b + 100c)$，
∴$p$是$11$的倍数，
∴④是真命题.综上所述，真命题为①②③④.
13. (新考法·开放题)如图，$ AB ⊥ BC $，$ \angle 1 + \angle 2 = 90^{\circ} $. 现有三个条件：① $ \angle 2 = \angle 3 $；② $ \angle 2 + \angle 3 = 90^{\circ} $；③ $ BE // DF $.
(1) 请在上述三个条件中选择一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是
(2) 证明(1)中的真命题，并写出完整的证明过程和证明依据.
(1) 请在上述三个条件中选择一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是
①
，结论是③
(填序号)；(2) 证明(1)中的真命题，并写出完整的证明过程和证明依据.
答案：13.(1)① ③(或③ ①) (2)若选择的条件是①，结论是③，则证明如下：
∵$AB ⊥ BC$(已知)，
∴$\angle ABC = 90^{\circ}$(垂直的定义)，
∴$\angle3 + \angle4 = 90^{\circ}$(余角的定义).
∵$\angle1 + \angle2 = 90^{\circ}$，且$\angle2 = \angle3$(已知)，
∴$\angle1 + \angle3 = 90^{\circ}$(等量代换)，
∴$\angle1 = \angle4$(等角的余角相等)，
∴$BE // DF$(同位角相等，两直线平行) 若选择的条件是③，结论是①，则证明如下：
∵$BE // DF$(已知)，
∴$\angle1 = \angle4$(两直线平行，同位角相等).
∵$AB ⊥ BC$(已知)，
∴$\angle ABC = 90^{\circ}$(垂直的定义)，
∴$\angle3 + \angle4 = 90^{\circ}$(余角的定义)，
∴$\angle3 + \angle1 = 90^{\circ}$(等量代换).
∵$\angle1 + \angle2 = 90^{\circ}$(已知)，
∴$\angle2 = \angle3$(等角的余角相等)
∵$AB ⊥ BC$(已知)，
∴$\angle ABC = 90^{\circ}$(垂直的定义)，
∴$\angle3 + \angle4 = 90^{\circ}$(余角的定义).
∵$\angle1 + \angle2 = 90^{\circ}$，且$\angle2 = \angle3$(已知)，
∴$\angle1 + \angle3 = 90^{\circ}$(等量代换)，
∴$\angle1 = \angle4$(等角的余角相等)，
∴$BE // DF$(同位角相等，两直线平行) 若选择的条件是③，结论是①，则证明如下：
∵$BE // DF$(已知)，
∴$\angle1 = \angle4$(两直线平行，同位角相等).
∵$AB ⊥ BC$(已知)，
∴$\angle ABC = 90^{\circ}$(垂直的定义)，
∴$\angle3 + \angle4 = 90^{\circ}$(余角的定义)，
∴$\angle3 + \angle1 = 90^{\circ}$(等量代换).
∵$\angle1 + \angle2 = 90^{\circ}$(已知)，
∴$\angle2 = \angle3$(等角的余角相等)
14. (新考法·探究题)【问题背景】同学们，我们已经学习过三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的两个外角与它们不相邻的内角之间有怎样的数量关系呢？四边形的两个外角与它们不相邻的内角之间的数量关系又如何呢？
【问题初探】
(1) 如图①，$ \angle ACD $，$ \angle CAE $ 是 $ \triangle ABC $ 的两个外角.
① $ \angle ACD $，$ \angle CAE $ 与 $ \angle B $ 之间的数量关系是
② 请用无刻度的直尺和圆规作 $ \angle ACD $，$ \angle CAE $ 的平分线 $ CN $，$ AM $，且它们相交于点 $ O $，试探究 $ \angle AOC $ 与 $ \angle B $ 之间的数量关系，并证明你的结论.
【问题再探】
(2) 如图②，$ \angle DAE $，$ \angle DCF $ 是四边形 $ ABCD $ 的两个外角.
① $ \angle DAE $，$ \angle DCF $ 与 $ \angle B $，$ \angle D $ 之间的数量关系是
② 如图③，$ \angle DAE $，$ \angle DCF $ 的平分线 $ AM $，$ CN $ 相交于点 $ O $. 若 $ \angle B = 60^{\circ} $，$ \angle D = 134^{\circ} $，则 $ \angle AOC $ 的度数是
【迁移拓展】
(3) 如图④，$ AM $ 平分 $ \angle DAE $，$ CN $ 平分 $ \angle DCF $，当 $ \angle B $ 与 $ \angle D $ 满足怎样的数量关系时，$ AM // CN $？请说明理由.
【问题初探】
(1) 如图①，$ \angle ACD $，$ \angle CAE $ 是 $ \triangle ABC $ 的两个外角.
① $ \angle ACD $，$ \angle CAE $ 与 $ \angle B $ 之间的数量关系是
$\angle ACD+\angle CAE=\angle B+180^{\circ}$
；② 请用无刻度的直尺和圆规作 $ \angle ACD $，$ \angle CAE $ 的平分线 $ CN $，$ AM $，且它们相交于点 $ O $，试探究 $ \angle AOC $ 与 $ \angle B $ 之间的数量关系，并证明你的结论.
【问题再探】
(2) 如图②，$ \angle DAE $，$ \angle DCF $ 是四边形 $ ABCD $ 的两个外角.
① $ \angle DAE $，$ \angle DCF $ 与 $ \angle B $，$ \angle D $ 之间的数量关系是
$\angle DAE+\angle DCF=\angle ABC+\angle ADC$
.② 如图③，$ \angle DAE $，$ \angle DCF $ 的平分线 $ AM $，$ CN $ 相交于点 $ O $. 若 $ \angle B = 60^{\circ} $，$ \angle D = 134^{\circ} $，则 $ \angle AOC $ 的度数是
37
$ ^{\circ} $.【迁移拓展】
(3) 如图④，$ AM $ 平分 $ \angle DAE $，$ CN $ 平分 $ \angle DCF $，当 $ \angle B $ 与 $ \angle D $ 满足怎样的数量关系时，$ AM // CN $？请说明理由.
答案：
14.(1)①$\angle ACD + \angle CAE = \angle B + 180^{\circ}$ ②如图①$\angle AOC = 90^{\circ} - \frac{1}{2}\angle B$
∵$CN$，$AM$分别平分$\angle ACD$，$\angle CAE$，
∴$\angle ACO = \frac{1}{2}\angle ACD$，$\angle CAO = \frac{1}{2}\angle CAE$，
∴$\angle CAO +\angle ACO = \frac{1}{2}(\angle CAE + \angle ACD)$.
∵$\angle ACD + \angle CAE = \angle B +180^{\circ}$，
∴$\angle CAO + \angle ACO = \frac{1}{2}(\angle B + 180^{\circ})$.
∵在$\triangle AOC$中，$\angle AOC + \angle CAO + \angle ACO = 180^{\circ}$，
∴$\angle AOC = 180^{\circ} -\frac{1}{2}(\angle B + 180^{\circ}) = 90^{\circ} - \frac{1}{2}\angle B$ (2)①$\angle DAE + \angle DCF =\angle ABC + \angle ADC$ ②37 (3)当$\angle B = \angle ADC$时，$AM // CN$理由：如图②，延长$CD$交$AM$于点$G$，
∵$CN$，$AM$分别平分$\angle DCF$，$\angle DAE$，
∴$\angle DCN = \frac{1}{2}\angle DCF$，$\angle DAM = \frac{1}{2}\angle DAE$，
∴$\angle DCN + \angle DAM = \frac{1}{2}(\angle DCF + \angle DAE)$.
∵$\angle DCF +\angle DAE = \angle B + \angle ADC$，
∴$\angle DCN + \angle DAM = \frac{1}{2}(\angle B +\angle ADC$).
∵$\angle B = \angle ADC$，
∴$\angle DCN + \angle DAM = \angle ADC$.
∵$\angle AGC + \angle DAM = \angle ADC$，
∴$\angle DCN = \angle AGC$，
∴$AM // CN$.
14.(1)①$\angle ACD + \angle CAE = \angle B + 180^{\circ}$ ②如图①$\angle AOC = 90^{\circ} - \frac{1}{2}\angle B$
∵$CN$，$AM$分别平分$\angle ACD$，$\angle CAE$，
∴$\angle ACO = \frac{1}{2}\angle ACD$，$\angle CAO = \frac{1}{2}\angle CAE$，
∴$\angle CAO +\angle ACO = \frac{1}{2}(\angle CAE + \angle ACD)$.
∵$\angle ACD + \angle CAE = \angle B +180^{\circ}$，
∴$\angle CAO + \angle ACO = \frac{1}{2}(\angle B + 180^{\circ})$.
∵在$\triangle AOC$中，$\angle AOC + \angle CAO + \angle ACO = 180^{\circ}$，
∴$\angle AOC = 180^{\circ} -\frac{1}{2}(\angle B + 180^{\circ}) = 90^{\circ} - \frac{1}{2}\angle B$ (2)①$\angle DAE + \angle DCF =\angle ABC + \angle ADC$ ②37 (3)当$\angle B = \angle ADC$时，$AM // CN$理由：如图②，延长$CD$交$AM$于点$G$，
∵$CN$，$AM$分别平分$\angle DCF$，$\angle DAE$，
∴$\angle DCN = \frac{1}{2}\angle DCF$，$\angle DAM = \frac{1}{2}\angle DAE$，
∴$\angle DCN + \angle DAM = \frac{1}{2}(\angle DCF + \angle DAE)$.
∵$\angle DCF +\angle DAE = \angle B + \angle ADC$，
∴$\angle DCN + \angle DAM = \frac{1}{2}(\angle B +\angle ADC$).
∵$\angle B = \angle ADC$，
∴$\angle DCN + \angle DAM = \angle ADC$.
∵$\angle AGC + \angle DAM = \angle ADC$，
∴$\angle DCN = \angle AGC$，
∴$AM // CN$.