1. 下列命题属于真命题的是(
A.内错角相等
B.若 $ a^{10}=b^{10} $，则 $ a = b $
C.任意多边形的内角和为 $ 360^{\circ} $
D.等角的补角相等
D
)A.内错角相等
B.若 $ a^{10}=b^{10} $，则 $ a = b $
C.任意多边形的内角和为 $ 360^{\circ} $
D.等角的补角相等
答案：1.D
2. 能说明命题“对于任何数 $ a $，$ |a| ＞ -a $”是假命题的一个反例可以为(
A.$ a = -2 $
B.$ a = \frac{1}{3} $
C.$ a = 1 $
D.$ a = 1.414213562··· $
A
)A.$ a = -2 $
B.$ a = \frac{1}{3} $
C.$ a = 1 $
D.$ a = 1.414213562··· $
答案：2.A
3. (2025·烟台)如图所示为一款儿童小推车的示意图，若 $ AB // CD $，$ \angle 1 = 30^{\circ} $，$ \angle 2 = 70^{\circ} $，则 $ \angle 3 $的度数为(
A.$ 40^{\circ} $
B.$ 35^{\circ} $
C.$ 30^{\circ} $
D.$ 20^{\circ} $
A
)A.$ 40^{\circ} $
B.$ 35^{\circ} $
C.$ 30^{\circ} $
D.$ 20^{\circ} $
答案：3.A
解析：
延长BE交CD于点F，
因为AB//CD，∠1=30°，
所以∠EFD=∠1=30°，
因为∠2是△EFD的外角，∠2=70°，
所以∠2=∠EFD+∠3，
即70°=30°+∠3，
所以∠3=40°。
A
因为AB//CD，∠1=30°，
所以∠EFD=∠1=30°，
因为∠2是△EFD的外角，∠2=70°，
所以∠2=∠EFD+∠3，
即70°=30°+∠3，
所以∠3=40°。
A
4. 一个多边形的内角和与它的外角和的比为 $ 7:2 $，则这个多边形的边数为(
A.9
B.8
C.7
D.6
A
)A.9
B.8
C.7
D.6
答案：4.A
解析：
设这个多边形的边数为$n$。
多边形内角和公式为$(n - 2)×180°$，任意多边形外角和为$360°$。
由题意得$\frac{(n - 2)×180°}{360°} = \frac{7}{2}$
化简得$\frac{n - 2}{2} = \frac{7}{2}$
解得$n - 2 = 7$，$n = 9$
A
多边形内角和公式为$(n - 2)×180°$，任意多边形外角和为$360°$。
由题意得$\frac{(n - 2)×180°}{360°} = \frac{7}{2}$
化简得$\frac{n - 2}{2} = \frac{7}{2}$
解得$n - 2 = 7$，$n = 9$
A
5. (2024·河北)如图，直线 $ l $ 与正六边形 $ ABCDEF $ 的边 $ AB $，$ EF $ 分别相交于点 $ M $，$ N $，则 $ \angle \alpha + \angle \beta $的度数为(
A.$ 115^{\circ} $
B.$ 120^{\circ} $
C.$ 135^{\circ} $
D.$ 144^{\circ} $
B
)A.$ 115^{\circ} $
B.$ 120^{\circ} $
C.$ 135^{\circ} $
D.$ 144^{\circ} $
答案：5.B 解析：
∵正六边形每个内角的度数均为$\frac{(6 - 2) × 180^{\circ}}{6} =120^{\circ}$，
∴$\angle A + \angle F = 120^{\circ} + 120^{\circ} = 240^{\circ}$.
∵四边形$AMNF$的内角和为$(4 - 2) × 180^{\circ} = 360^{\circ}$，
∴$\angle AMN + \angle FNM = 360^{\circ} -240^{\circ} = 120^{\circ}$.根据对顶角相等，得$\angle\alpha + \angle\beta = 120^{\circ}$.
∵正六边形每个内角的度数均为$\frac{(6 - 2) × 180^{\circ}}{6} =120^{\circ}$，
∴$\angle A + \angle F = 120^{\circ} + 120^{\circ} = 240^{\circ}$.
∵四边形$AMNF$的内角和为$(4 - 2) × 180^{\circ} = 360^{\circ}$，
∴$\angle AMN + \angle FNM = 360^{\circ} -240^{\circ} = 120^{\circ}$.根据对顶角相等，得$\angle\alpha + \angle\beta = 120^{\circ}$.
6. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle A = 90^{\circ} $，$ BE $，$ CD $ 分别平分 $ \angle ABC $，$ \angle ACB $，且相交于点 $ F $，$ EG // BC $，$ CG ⊥ EG $ 于点 $ G $. 有下列结论：① $ \angle CEG = 2 \angle DCA $；② $ CA $ 平分 $ \angle BCG $；③ $ \angle ADC = \angle GCD $；④ $ \angle DFB = \frac{1}{2} \angle A $；⑤ $ \angle DFE = 135^{\circ} $. 其中，正确结论的个数为(
A.2
B.3
C.4
D.5
C
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案：6.C 解析：
∵$CD$平分$\angle ACB$，
∴$\angle ACB = 2\angle DCA$，$\angle ACD = \angle BCD$.
∵$EG // BC$，
∴$\angle CEG = \angle ACB = 2\angle DCA$.故结论①正确.
∵$\angle A = 90^{\circ}$，$CG ⊥ EG$，$EG // BC$，
∴$\angle ADC +\angle ACD = 90^{\circ}$，$CG ⊥ BC$，即$\angle BCG = 90^{\circ}$，
∴$\angle GCD + \angle BCD =90^{\circ}$.又
∵$\angle BCD = \angle ACD$，
∴$\angle ADC = \angle GCD$.故结论③正确.
∵$\angle A = 90^{\circ}$，
∴$\angle ABC + \angle ACB = 90^{\circ}$.
∵$BE$，$CD$分别平分$\angle ABC$，$\angle ACB$，
∴$\angle FBC = \frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle FCB = \frac{1}{2}\angle ACB$，
∴$\angle BFC = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB) = 135^{\circ}$，
∴$\angle DFB =180^{\circ} - \angle BFC = 45^{\circ}$，
∴$\angle DFB = \frac{1}{2}\angle A$.故结论④正确.
∵$\angle BFC = 135^{\circ}$，
∴$\angle DFE = \angle BFC = 135^{\circ}$.故结论⑤正确.根据现有条件，无法推出$CA$平分$\angle BCG$，故结论②错误.综上所述，正确的结论的个数为4.
∵$CD$平分$\angle ACB$，
∴$\angle ACB = 2\angle DCA$，$\angle ACD = \angle BCD$.
∵$EG // BC$，
∴$\angle CEG = \angle ACB = 2\angle DCA$.故结论①正确.
∵$\angle A = 90^{\circ}$，$CG ⊥ EG$，$EG // BC$，
∴$\angle ADC +\angle ACD = 90^{\circ}$，$CG ⊥ BC$，即$\angle BCG = 90^{\circ}$，
∴$\angle GCD + \angle BCD =90^{\circ}$.又
∵$\angle BCD = \angle ACD$，
∴$\angle ADC = \angle GCD$.故结论③正确.
∵$\angle A = 90^{\circ}$，
∴$\angle ABC + \angle ACB = 90^{\circ}$.
∵$BE$，$CD$分别平分$\angle ABC$，$\angle ACB$，
∴$\angle FBC = \frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle FCB = \frac{1}{2}\angle ACB$，
∴$\angle BFC = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB) = 135^{\circ}$，
∴$\angle DFB =180^{\circ} - \angle BFC = 45^{\circ}$，
∴$\angle DFB = \frac{1}{2}\angle A$.故结论④正确.
∵$\angle BFC = 135^{\circ}$，
∴$\angle DFE = \angle BFC = 135^{\circ}$.故结论⑤正确.根据现有条件，无法推出$CA$平分$\angle BCG$，故结论②错误.综上所述，正确的结论的个数为4.
7. (新情境·现实生活)某班甲、乙、丙、丁四名学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是丁，而班主任老师看到竞赛结果后说以上有且只有两位老师说对了，则冠军是(
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
C
)A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案：7.C 解析：
∵地理老师的话与其他三位老师的话都有矛盾，且有且只有两位老师说对了，
∴地理老师的话一定是错误的.
∵冠军只有一个，
∴历史老师和语文老师的话不能都对，则政治老师的话一定是正确的.又
∵与政治老师的话没有矛盾的是历史老师，
∴只有历史老师和政治老师的话是正确的.故冠军一定是丙.
∵地理老师的话与其他三位老师的话都有矛盾，且有且只有两位老师说对了，
∴地理老师的话一定是错误的.
∵冠军只有一个，
∴历史老师和语文老师的话不能都对，则政治老师的话一定是正确的.又
∵与政治老师的话没有矛盾的是历史老师，
∴只有历史老师和政治老师的话是正确的.故冠军一定是丙.
8. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AB // CD $，$ \angle B = 60^{\circ} $，则当 $ \angle D = $
60
$ ^{\circ} $时，$ AD // BC $.答案：8.60
9. (2025·北京改编)能说明命题“若 $ a^{2} ＞ 4b^{2} $，则 $ a ＞ 2b $”是假命题的一组有理数 $ a $，$ b $ 的值为 $ a = $
-3
，$ b = $1
.答案：9.答案不唯一，如$-3$ $1$
10. 一个多边形的外角和是内角和的 $ \frac{2}{9} $，则这个多边形的边数为
11
.答案：10.11
解析：
设这个多边形的边数为$n$。
多边形内角和公式为$(n - 2)×180°$，任意多边形外角和为$360°$。
由题意得：$360° = \frac{2}{9}×(n - 2)×180°$
化简得：$360 = \frac{2}{9}×180×(n - 2)$
$360 = 40×(n - 2)$
$n - 2 = 9$
$n = 11$
11
多边形内角和公式为$(n - 2)×180°$，任意多边形外角和为$360°$。
由题意得：$360° = \frac{2}{9}×(n - 2)×180°$
化简得：$360 = \frac{2}{9}×180×(n - 2)$
$360 = 40×(n - 2)$
$n - 2 = 9$
$n = 11$
11
11. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ BC = 6 \mathrm{ cm} $，射线 $ AG // BC $，点 $ E $ 从点 $ A $ 出发，沿射线 $ AG $ 以 $ 2 \mathrm{ cm/s} $ 的速度运动. 点 $ E $ 出发 $ 1 \mathrm{ s} $ 后，点 $ F $ 也从点 $ B $ 出发，沿射线 $ BC $ 以 $ 3.5 \mathrm{ cm/s} $ 的速度运动，连接 $ AF $，$ CE $. 设点 $ E $ 运动的时间为 $ t \mathrm{ s} $，其中 $ t ＞ 0 $. 当 $ t = $
$\frac{19}{11}$或$\frac{19}{3}$
时，$ S_{\triangle ACE} = S_{\triangle AFC} $.答案：11.$\frac{19}{11}$或$\frac{19}{3}$
解析：
解：设点$A$到$BC$的距离为$h$。
点$E$运动时间为$t\ \mathrm{s}$，则$AE = 2t\ \mathrm{cm}$。
点$F$比$E$晚出发$1\ \mathrm{s}$，运动时间为$(t - 1)\ \mathrm{s}$，则$BF = 3.5(t - 1)\ \mathrm{cm}$，$FC = |BC - BF| = |6 - 3.5(t - 1)|\ \mathrm{cm}$。
$S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2} · AE · h = \frac{1}{2} · 2t · h = th$。
$S_{\triangle AFC} = \frac{1}{2} · FC · h = \frac{1}{2} · |6 - 3.5(t - 1)| · h$。
由$S_{\triangle ACE} = S_{\triangle AFC}$，得$th = \frac{1}{2} · |6 - 3.5(t - 1)| · h$，即$2t = |6 - 3.5(t - 1)|$。
分两种情况：
1. $6 - 3.5(t - 1) \geq 0$，即$t \leq \frac{19}{7}$时，$2t = 6 - 3.5(t - 1)$，解得$t = \frac{19}{11}$。
2. $6 - 3.5(t - 1) ＜ 0$，即$t ＞ \frac{19}{7}$时，$2t = 3.5(t - 1) - 6$，解得$t = \frac{19}{3}$。
综上，$t = \frac{19}{11}$或$\frac{19}{3}$。
$\frac{19}{11}$或$\frac{19}{3}$
点$E$运动时间为$t\ \mathrm{s}$，则$AE = 2t\ \mathrm{cm}$。
点$F$比$E$晚出发$1\ \mathrm{s}$，运动时间为$(t - 1)\ \mathrm{s}$，则$BF = 3.5(t - 1)\ \mathrm{cm}$，$FC = |BC - BF| = |6 - 3.5(t - 1)|\ \mathrm{cm}$。
$S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2} · AE · h = \frac{1}{2} · 2t · h = th$。
$S_{\triangle AFC} = \frac{1}{2} · FC · h = \frac{1}{2} · |6 - 3.5(t - 1)| · h$。
由$S_{\triangle ACE} = S_{\triangle AFC}$，得$th = \frac{1}{2} · |6 - 3.5(t - 1)| · h$，即$2t = |6 - 3.5(t - 1)|$。
分两种情况：
1. $6 - 3.5(t - 1) \geq 0$，即$t \leq \frac{19}{7}$时，$2t = 6 - 3.5(t - 1)$，解得$t = \frac{19}{11}$。
2. $6 - 3.5(t - 1) ＜ 0$，即$t ＞ \frac{19}{7}$时，$2t = 3.5(t - 1) - 6$，解得$t = \frac{19}{3}$。
综上，$t = \frac{19}{11}$或$\frac{19}{3}$。
$\frac{19}{11}$或$\frac{19}{3}$