19. 某商店$A$型号笔记本电脑的售价是$a$元/台.最近，该商店对$A$型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案.方案一：每台按售价的$9$折销售.方案二：若购买不超过$5$台，则每台按售价销售；若超过$5$台，则超过的部分每台按售价的$8$折销售.某公司一次性从该商店购买$A$型号笔记本电脑$x$台.
（1）当$x = 8$时，该公司应选择哪种方案，才能使购买费用较少？较少费用是多少元？
（2）若该公司选择方案二购买更合算，求$x$的取值范围.
（1）当$x = 8$时，该公司应选择哪种方案，才能使购买费用较少？较少费用是多少元？
（2）若该公司选择方案二购买更合算，求$x$的取值范围.
答案：19.设购买A型号笔记本电脑$x$台时的费用为$w$元。
(1)当$x = 8$时，方案一：$w = 90\% a · 8 = 7.2a$；方案二：$w = 5a + (8 - 5)a · 80\% = 5a + 2.4a = 7.4a$。$\because 7.2a ＜ 7.4a$，$\therefore$当$x = 8$时，该公司应选择方案一，才能使购买费用较少，较少费用是$7.2a$元。
(2)$\because$该公司选择方案二购买更合算，$\therefore x ＞ 5$。方案一：$w = 90\% ax = 0.9ax$；方案二：$w = 5a + (x - 5)a · 80\% = 5a + 0.8ax - 4a = a + 0.8ax$。根据题意，得$0.9ax ＞ a + 0.8ax$。结合$a ＞ 0$，可解得$x ＞ 10$。$\therefore x$的取值范围是$x ＞ 10$
(1)当$x = 8$时，方案一：$w = 90\% a · 8 = 7.2a$；方案二：$w = 5a + (8 - 5)a · 80\% = 5a + 2.4a = 7.4a$。$\because 7.2a ＜ 7.4a$，$\therefore$当$x = 8$时，该公司应选择方案一，才能使购买费用较少，较少费用是$7.2a$元。
(2)$\because$该公司选择方案二购买更合算，$\therefore x ＞ 5$。方案一：$w = 90\% ax = 0.9ax$；方案二：$w = 5a + (x - 5)a · 80\% = 5a + 0.8ax - 4a = a + 0.8ax$。根据题意，得$0.9ax ＞ a + 0.8ax$。结合$a ＞ 0$，可解得$x ＞ 10$。$\therefore x$的取值范围是$x ＞ 10$
20. 某校新建了一栋教学楼，现有$24$个班级，每个班学生最多$45$人，教师共$120$人，该教学楼共有$4$道门可进出（$1$道正门，$3$道侧门，其中$3$道侧门的大小相同）.安全检查中，对这$4$道门进行了测试：正常情况下，当同时开启一道正门和两道侧门时，$1$分钟内平均可以通过$260$人；当同时开启一道正门和一道侧门时，$3$分钟内平均可以通过$540$人.在消防演练中发现，紧急情况下，因人群拥挤，出门的效率将比正常情况下降低$20\%$，安全检查规定：在紧急情况下全大楼的师生应在$5$分钟内通过这$4$道门安全撤离.为了提高出门效率，学校安排值班教师在门口值班，此时每道门每分钟出门人数可以增加$10\%$.
（1）正常情况下，平均$1$分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少人？
（2）该大楼建设$4$道门是否符合安全检查规定？请说明理由.
（3）学校拟新增$a$个班级，每个班学生最多$45$人，在有教师值班时，为保证紧急情况下全大楼的师生仍能通过这$4$道门安全撤离，求$a$的最大值.
（1）正常情况下，平均$1$分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少人？
（2）该大楼建设$4$道门是否符合安全检查规定？请说明理由.
（3）学校拟新增$a$个班级，每个班学生最多$45$人，在有教师值班时，为保证紧急情况下全大楼的师生仍能通过这$4$道门安全撤离，求$a$的最大值.
答案：20.(1)设正常情况下，平均$1$分钟一道正门可以通过$x$人，平均$1$分钟一道侧门可以通过$y$人。根据题意，得$\begin{cases} x + 2y = 260 \\ 3x + 3y = 540 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x = 100 \\ y = 80 \end{cases}$。
答：正常情况下，平均$1$分钟一道正门可以通过$100$人，一道侧门可以通过$80$人。
(2)该大楼建设$4$道门符合安全检查规定。理由：在紧急情况下这$4$道门$5$分钟可通过的人数为$(100 + 80 × 3) × (1 - 20\%) × 5 = 1360$，全大楼的师生人数不超过$45 × 24 + 120 = 1200$，$\because 1360 ＞ 1200$，$\therefore$该大楼建设$4$道门符合安全检查规定。
(3)根据题意，得$45a + 1200 \leq 1360 × (1 + 10\%)$，解得$a \leq \frac{296}{45}$。又$\because a$为正整数，$\therefore a$的最大值为$6$。答：$a$的最大值为$6$
答：正常情况下，平均$1$分钟一道正门可以通过$100$人，一道侧门可以通过$80$人。
(2)该大楼建设$4$道门符合安全检查规定。理由：在紧急情况下这$4$道门$5$分钟可通过的人数为$(100 + 80 × 3) × (1 - 20\%) × 5 = 1360$，全大楼的师生人数不超过$45 × 24 + 120 = 1200$，$\because 1360 ＞ 1200$，$\therefore$该大楼建设$4$道门符合安全检查规定。
(3)根据题意，得$45a + 1200 \leq 1360 × (1 + 10\%)$，解得$a \leq \frac{296}{45}$。又$\because a$为正整数，$\therefore a$的最大值为$6$。答：$a$的最大值为$6$