26. (教材P42练习第3题变式)【阅读学习】在学习“第8章整式乘法”这一章内容时，我们通过用不同的方法计算同一个图形的面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，这种解决问题的方法叫作“等面积法”。而这种“数形结合”的方式是人们研究数学问题的常用思想方法。
【发现问题】
(1) 如图①，长方形的长为$b$，宽为$a$，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形(拼接时每两个长方形无重叠部分)，利用“等面积法”可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式：
【类比探究】
(2) 连接图①中每个长方形的一条对角线(如图②)，得到一个重要的几何图形“赵爽弦图”。如图③，“赵爽弦图”是由四个形状大小都相同的直角三角形(较短直角边长为$a$，较长直角边长为$b$，斜边长为$c$)拼成的一个大正方形，中间留白部分也是正方形(拼接时每两个直角三角形无重叠部分)。请根据图③，利用“等面积法”写出与直角三角形两直角边长$a$，$b$和斜边长$c$有关的等式：
【迁移应用】
(3) 在直角三角形$ABC$中，$a$，$b$为直角边长，$c$为斜边长，已知$c = 10$，$a + b = 14$，求$\triangle ABC$的面积。
【拓展提升】
(4) 如图④，在四边形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$AC⊥ BD$，$AC = BD = 3$，在直角三角形$BOC$中，$OB = x$，$OC = y$，其周长为$n$，求当$n$为何值时，$\triangle AOD$的面积为定值。
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【发现问题】
(1) 如图①，长方形的长为$b$，宽为$a$，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形(拼接时每两个长方形无重叠部分)，利用“等面积法”可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式：
$(b - a)^{2} + 4ab = (b + a)^{2}$
。【类比探究】
(2) 连接图①中每个长方形的一条对角线(如图②)，得到一个重要的几何图形“赵爽弦图”。如图③，“赵爽弦图”是由四个形状大小都相同的直角三角形(较短直角边长为$a$，较长直角边长为$b$，斜边长为$c$)拼成的一个大正方形，中间留白部分也是正方形(拼接时每两个直角三角形无重叠部分)。请根据图③，利用“等面积法”写出与直角三角形两直角边长$a$，$b$和斜边长$c$有关的等式：
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$
(写出化简后的结果)。【迁移应用】
(3) 在直角三角形$ABC$中，$a$，$b$为直角边长，$c$为斜边长，已知$c = 10$，$a + b = 14$，求$\triangle ABC$的面积。
【拓展提升】
(4) 如图④，在四边形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$AC⊥ BD$，$AC = BD = 3$，在直角三角形$BOC$中，$OB = x$，$OC = y$，其周长为$n$，求当$n$为何值时，$\triangle AOD$的面积为定值。
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答案：26. (1) $(b - a)^{2} + 4ab = (b + a)^{2}$ (2) $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ (3) 因为$a + b = 14$，$c = 10$，所以$(a + b)^{2} = 196$，即$a^{2} + b^{2} + 2ab = 196$.由(2)，得$a^{2} + b^{2} = c^{2} = 100$，所以$2ab = 96$，所以$\frac{1}{2}ab = 24$，即$S_{\triangle ABC} = 24$ (4) 因为$OB = x$，$OC = y$，$\triangle BOC$的周长为$n$，所以$BC = n - x - y$.由(2)，得在直角三角形$BOC$中，$x^{2} + y^{2} = (n -x - y)^{2}$，所以$xy = nx + ny - \frac{n^{2}}{2}$，所以$2S_{\triangle AOD} = (3 - x)(3 -y) = 9 - 3(x + y) + xy = 9 - 3(x + y) + nx + ny - \frac{n^{2}}{2} = 9 + (n -3)(x + y) - \frac{n^{2}}{2}$.因为要使$\triangle AOD$的面积为定值，所以与$x$，$y$的值无关，所以$n - 3 = 0$，即$n = 3$，所以当$n = 3$时，$\triangle AOD$的面积为定值
解析：
(1) $(b - a)^{2} + 4ab = (b + a)^{2}$
(2) $a^{2} + b^{2} = c^{2}$
(3) 因为$a + b = 14$，$c = 10$，所以$(a + b)^{2} = 14^{2} = 196$，即$a^{2} + 2ab + b^{2} = 196$。由(2)得$a^{2} + b^{2} = c^{2} = 10^{2} = 100$，所以$100 + 2ab = 196$，$2ab = 96$，$ab = 48$，$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 48 = 24$
(4) 因为$OB = x$，$OC = y$，$\triangle BOC$周长为$n$，所以$BC = n - x - y$。由(2)得$x^{2} + y^{2} = (n - x - y)^{2}$，展开得$x^{2} + y^{2} = n^{2} + x^{2} + y^{2} + 2xy - 2nx - 2ny$，化简得$0 = n^{2} + 2xy - 2nx - 2ny$，$2xy = 2nx + 2ny - n^{2}$，$xy = nx + ny - \frac{n^{2}}{2}$。因为$AC = BD = 3$，所以$OA = 3 - y$，$OD = 3 - x$，$S_{\triangle AOD} = \frac{1}{2}(3 - x)(3 - y) = \frac{1}{2}[9 - 3x - 3y + xy]$，将$xy = nx + ny - \frac{n^{2}}{2}$代入得$S_{\triangle AOD} = \frac{1}{2}[9 - 3x - 3y + nx + ny - \frac{n^{2}}{2}] = \frac{1}{2}[9 + (n - 3)(x + y) - \frac{n^{2}}{2}]$。要使面积为定值，则$n - 3 = 0$，$n = 3$，即当$n = 3$时，$\triangle AOD$面积为定值
(2) $a^{2} + b^{2} = c^{2}$
(3) 因为$a + b = 14$，$c = 10$，所以$(a + b)^{2} = 14^{2} = 196$，即$a^{2} + 2ab + b^{2} = 196$。由(2)得$a^{2} + b^{2} = c^{2} = 10^{2} = 100$，所以$100 + 2ab = 196$，$2ab = 96$，$ab = 48$，$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 48 = 24$
(4) 因为$OB = x$，$OC = y$，$\triangle BOC$周长为$n$，所以$BC = n - x - y$。由(2)得$x^{2} + y^{2} = (n - x - y)^{2}$，展开得$x^{2} + y^{2} = n^{2} + x^{2} + y^{2} + 2xy - 2nx - 2ny$，化简得$0 = n^{2} + 2xy - 2nx - 2ny$，$2xy = 2nx + 2ny - n^{2}$，$xy = nx + ny - \frac{n^{2}}{2}$。因为$AC = BD = 3$，所以$OA = 3 - y$，$OD = 3 - x$，$S_{\triangle AOD} = \frac{1}{2}(3 - x)(3 - y) = \frac{1}{2}[9 - 3x - 3y + xy]$，将$xy = nx + ny - \frac{n^{2}}{2}$代入得$S_{\triangle AOD} = \frac{1}{2}[9 - 3x - 3y + nx + ny - \frac{n^{2}}{2}] = \frac{1}{2}[9 + (n - 3)(x + y) - \frac{n^{2}}{2}]$。要使面积为定值，则$n - 3 = 0$，$n = 3$，即当$n = 3$时，$\triangle AOD$面积为定值